學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（三）(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知正數(shù)x，y，z，且x＋y＋z＝6，則lgx＋lgy＋lgz的取值范圍是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D.[3lg2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)，∴xyz≤8.∴l(xiāng)gx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.【答案】B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，….啟發(fā)我們可能推廣結(jié)論為：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，則a的值為()A．nnB．2nC．n2D．2n＋1【解析】x＋eq\f(a,xn)＝＋eq\f(a,xn)，要使和式的積為定值，則必須nn＝a，故選A.【答案】A3．設(shè)0<x<1，則x(1－x)2的最大值為()\f(1,8)B．1\f(\r(3,18),3)\f(4,27)【解析】∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)2＝eq\f(1,2)·2x·(1－x)·(1－x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－x＋1－x,3)))3＝eq\f(4,27).當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)，等號(hào)成立．【答案】D4．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，則()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750016】A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x ≤y≤x【解析】由a，b，c大于0，易知eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，即x≥y.又z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,3)，x2＝eq\f(a＋b＋c2,9)，且x2＝eq\f(a2＋b2＋c2＋2ab＋bc＋ca,9)≤eq\f(3a2＋b2＋c2,9)＝eq\f(a2＋b2＋c2,3)，∴x2≤z2，則x≤z，因此z≥x≥y.【答案】B5．設(shè)x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，則x2y3z的最大值為()A．2 B．7C．8 【解析】∵6＝x＋3y＋4z＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋y＋y＋y＋4z≥6eq\r(6,x2y3z)，∴x2y3z≤1，當(dāng)eq\f(x,2)＝y(tǒng)＝4z時(shí)，取“＝”，即x＝2，y＝1，z＝eq\f(1,4)時(shí)，x2y3z取得最大值1.【答案】D二、填空題6．若記號(hào)“*”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均的運(yùn)算，即a*b＝eq\f(a＋b,2)，則兩邊均含有運(yùn)算“*”和“＋”，且對(duì)任意3個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c都能成立的一個(gè)等式可以是________．【解析】由題意知a＋(b*c)＝a＋eq\f(b＋c,2)＝eq\f(2a＋b＋c,2)，(a＋b)*(a＋c)＝eq\f(a＋b＋a＋c,2)＝eq\f(2a＋b＋c,2)，所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．【答案】a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)7．若a＞2，b＞3，則a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)的最小值為________．【解析】∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，則a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,a－2b－3)＋5≥3eq\r(3,a－2×b－3×\f(1,a－2b－3))＋5＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a－2＝b－3＝eq\f(1,a－2b－3)，即a＝3，b＝4時(shí)等號(hào)成立．【答案】88．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，對(duì)于下列不等式：①abc≤eq\f(1,27)；②eq\f(1,abc)≥27；③a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).其中正確的不等式序號(hào)是________．【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，0<abc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up10(3)＝eq\f(1,27)，eq\f(1,abc)≥27，從而①正確，②也正確．又a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)，③正確．【答案】①②③三、解答題9．已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋（eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)）eq\s\up10(2)≥6eq\r(3)，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號(hào)成立．【證明】因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由算術(shù)-幾何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))， ①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)eq\s\up10(-\f(1,3)).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up10(2)≥9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3)). ②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))eq\s\up10(2)≥3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))＋9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3)).又3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))＋9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3))≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)， ③所以原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立．當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)eq\s\up10(\f(2,3))＝9(abc)eq\s\up10(-\f(2,3))時(shí)，③式等號(hào)成立．即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\r(4,3)時(shí)，原式等號(hào)成立．10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.(1)求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)的最小值；(2)證明：3≤x2＋y2＋z2<9.【解】(1)因?yàn)閤＋y＋z≥3eq\r(3,xyz)>0，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)≥eq\f(3,\r(3,xyz))>0，所以(x＋y＋z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)))≥9，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)，eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＝eq\f(1,z)取最小值3.(2)證明：x2＋y2＋z2＝eq\f(x2＋y2＋z2＋x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2,3)≥eq\f(x2＋y2＋z2＋2xy＋yz＋zx,3)＝eq\f(x＋y＋z2,3)＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，所以3≤x2＋y2＋z2<9.[能力提升]1．已知圓柱的軸截面周長(zhǎng)為6，體積為V，則下列總成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥eq\f(1,8)πD．V≤eq\f(1,8)π【解析】設(shè)圓柱半徑為r，則圓柱的高h(yuǎn)＝eq\f(6－4r,2)，所以圓柱的體積為V＝πr2·h＝πr2·eq\f(6－4r,2)＝πr2(3－2r)≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))eq\s\up10(3)＝π.當(dāng)且僅當(dāng)r＝3－2r，即r＝1時(shí)取等號(hào)．【答案】B2．若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＞0，且x2y＝2，則xy＋x2的最小值是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750017】A．1B．2C．3D．4【解析】xy＋x2＝eq\f(1,2)xy＋eq\f(1,2)xy＋x2≥3eq\r(3,\f(1,2)xy·\f(1,2)xy·x2)＝3eq\r(3,\f(1,4)x2y2)＝3eq\r(3,\f(4,4))＝3.【答案】C3．已知關(guān)于x的不等式2x＋eq\f(1,x－a2)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．【解析】∵2x＋eq\f(1,x－a2)＝(x－a)＋(x－a)＋eq\f(1,x－a2)＋2a.又∵x－a＞0，∴2x＋eq\f(1,x－a2)≥3eq\r(3,x－ax－a\f(1,x－a2))＋2a＝3＋2a，當(dāng)且僅當(dāng)x－a＝eq\f(1,x－a2)，即x＝a＋1時(shí)，取等號(hào)．∴2x＋eq\f(1,x－a2)的最小值為3＋2a.由題意可得3＋2a≥7，得a≥2.【答案】24．如圖1-1-3(1)所示，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器，如圖1-1-3(2)所示，求這個(gè)正六棱柱容器容積的最大值．圖1-1-3【解】設(shè)正六棱柱容器底面邊長(zhǎng)為x(0＜x＜1)，高為h，由圖可有2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2·h＝eq\f(3\