第五章§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問題（2課時(shí)）

高二數(shù)學(xué)新授課1.通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時(shí)速度的過程.2.理解割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系.3.體會極限思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)區(qū)間測速車輛油耗高臺跳水思考引入一、平均速度二、瞬時(shí)速度三、拋物線的切線的斜率重點(diǎn)內(nèi)容問題1

在高臺跳水中，運(yùn)動員相對于水面的高度h與起跳后的時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，根據(jù)上述探究，你能求該運(yùn)動員在0≤t≤0.5,1≤t≤2

內(nèi)的平均速度嗎？知識建構(gòu)1知識建構(gòu)

為了精準(zhǔn)刻畫運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念.我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.那么，如何求運(yùn)動員的瞬時(shí)速度呢？比如，

時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？

我們先考察

附近的情況.任取一個(gè)時(shí)刻

，

是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.當(dāng)時(shí)，在1之前；當(dāng)時(shí)，在1之后.知識建構(gòu)2

時(shí),在時(shí)間段

內(nèi)

時(shí)，在時(shí)間段

內(nèi)…………當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢?知識建構(gòu)2

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)趨近于0時(shí)，即無論

t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值.從物理的角度看，時(shí)間間隔無限變小時(shí)，平均速度就無限趨近于時(shí)的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動員在

時(shí)的瞬時(shí)速度是.

為了表述方便，我們用表示“當(dāng)，

趨近于0時(shí)，平均速度趨近于確定值”.知識建構(gòu)21.瞬時(shí)速度：物體在

的速度稱為瞬時(shí)速度.2.瞬時(shí)速度的計(jì)算：設(shè)物體運(yùn)動的時(shí)間與位移的函數(shù)關(guān)系式為y＝h(t)，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為

.3.瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當(dāng)時(shí)間間隔|Δt|無限趨近于0時(shí)，平均速度

就無限趨近于t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度.注意點(diǎn)：Δt可正，可負(fù)，但不能為0.某一時(shí)刻知識建構(gòu)例1

某物體的運(yùn)動路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度.即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.學(xué)有所用1.若本例中的條件不變，試求物體的初速度.解求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，＝1＋Δt，即物體的初速度為1m/s.學(xué)有所用解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.2.若本例中的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.學(xué)有所用問題3

前面我們從物理的角度研究了瞬時(shí)速度的問題，它反映到我們幾何上是什么意思？知識建構(gòu)3

xyO121234P知識建構(gòu)3割線位置

無限逼近

切線位置

割線斜率

無限逼近

切線斜率記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1+Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)即為

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割線P0P的斜率知識建構(gòu)3從代數(shù)的角度列表展示上述過程：

讓橫坐標(biāo)變化量Δx趨近于0，割線斜率的趨近于2.

知識建構(gòu)3

我們把”2”叫做“當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，的極限“，記為

從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無限變小時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T。割線P0P的斜率k無限趨近于點(diǎn)P0處的切線的斜率k0.

因此，切線P0T的斜率k0=2.知識建構(gòu)31.切線：設(shè)P0是曲線上一定點(diǎn)，P是曲線上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線在點(diǎn)P0處的切線.2.切線的斜率：設(shè)P0(x0，y0)是曲線y＝f(x)上一點(diǎn)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，y0)處的切線的斜率為k0＝

.知識建構(gòu)23.切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無限變小時(shí)，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0，于是割線PP0無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T，這時(shí)，割線PP0的斜率k無限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T的斜率k0.注意點(diǎn)：極限的幾何意義：曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率.知識建構(gòu)2P64頁思考問題，小組完成回答問題答

：

前者的幾何意義是過點(diǎn)（1，h(t)）、(1+Δt,h(1+Δt))的割線的斜率；后者是過點(diǎn)（1，h(t)）的切線的斜率。知識建構(gòu)3例3

求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(diǎn)(1,2)處的切線方程.所以切線的方程為y－2＝0×(x－1)，即y＝2.學(xué)有所用延伸探究本例函數(shù)不變，求與2x－y＋4＝0平行的該曲線的切線方程.學(xué)有所用＝2x0－2＋Δx，故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切點(diǎn)為(2,3)，所求切線方程為2x－y－1＝0.學(xué)有所用(1)求拋物線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟(2)求曲線過某點(diǎn)的切線方程需注意，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，需另設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo).反思感悟1.知識清單：(1)平均速度.