高中數(shù)學(xué)的統(tǒng)計與概率東北師范大學(xué)史寧中Key

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NortheastNormalUniversity高中數(shù)學(xué)總體要求（教材、教學(xué)活動）概念表述自然：抽象過程的合理性，來自生活、數(shù)學(xué)、科學(xué)培養(yǎng)學(xué)生直觀：教學(xué)活動的可視性，利用背景、圖形、數(shù)據(jù)必修內(nèi)容（統(tǒng)計與概率）

統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析。概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，它為人們從不確定性的角度認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，為統(tǒng)計的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)。

在必修課程中，通過統(tǒng)計內(nèi)容的學(xué)習(xí)，提升數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、直觀想象、和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；通過概率模型的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)。Key

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NortheastNormalUniversity1．統(tǒng)計

本單元在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法、數(shù)據(jù)直觀圖表的表示方法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征的刻畫方法。

通過具體實例，感悟根據(jù)實際情況進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，通過實際操作、計算機(jī)模擬等活動，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

本單元的內(nèi)容包括：數(shù)據(jù)與基本概念、抽樣、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體數(shù)字特征和總體分布。Key

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(1)數(shù)據(jù)與基本概念

①

知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒，社會調(diào)查，試驗設(shè)計，普查和抽樣，互聯(lián)網(wǎng)等，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

②

了解總體、樣本、樣本量的概念。Key

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NortheastNormalUniversity描述統(tǒng)計、推斷統(tǒng)計（總體←→樣本）

總體：是指能夠通過數(shù)據(jù)表達(dá)的隱含的客觀存在

主要是指數(shù)據(jù)的取值特征和規(guī)律

樣本：獨立同分布（iid：信息貢獻(xiàn)一樣）的、取自總體的數(shù)據(jù)

總體：廣州市高中生男生身高

樣本：隨機(jī)抽取若干學(xué)校，分年級（分層抽樣）隨機(jī)抽取若干男生，

測量身高得到數(shù)據(jù)

分析：通過數(shù)據(jù)得到均值、頻率圖，推斷總體期望、分布密度

總體：隨機(jī)變量。通過取值（樣本），推斷隨機(jī)變量的參數(shù)和分布規(guī)律。

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(2)抽樣

①

簡單隨機(jī)抽樣

通過實例，了解簡單隨機(jī)抽樣的含義及解決問題的過程，掌握簡單隨機(jī)抽樣的抽簽法和隨機(jī)數(shù)法。會計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系。

②

分層隨機(jī)抽樣

通過實例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法。結(jié)合具體實例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差。

③

抽樣方法的選擇

在簡單的實際情境中，能夠根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity分層隨機(jī)抽樣

對一個總體按（某種特征）比例分層（數(shù)據(jù)）

n1/n=N1/N，……，

nk/n=Nk/N總體樣本均值：總體樣本方差：原則：利用分層計算的結(jié)果。方法可用于大數(shù)據(jù)的分布式計算。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity(3)統(tǒng)計圖表（高中教師不理解）

能夠根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性。(4)用樣本估計總體數(shù)字特征和總體分布

①

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中程度參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解位置參數(shù)的統(tǒng)計含義。

②

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義。

③

結(jié)合實例，能利用樣本估計總體取值規(guī)律。

④

結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)（四），理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理主要有三種圖扇形圖：可以用來表示各種數(shù)據(jù)所占比例。基于頻數(shù)的直方圖：可以表示取值規(guī)律，以及取值的比較（復(fù)式）。基于頻率的直方圖：可以用來推斷總體的取值分布。折線圖：可以用來表示數(shù)據(jù)的變化趨勢。Key

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(5)大數(shù)據(jù)（數(shù)學(xué)文化）

收集大數(shù)據(jù)發(fā)展的資料，撰寫論文，闡述大數(shù)據(jù)研究所包含的內(nèi)容、重要結(jié)果以及對當(dāng)代社會發(fā)展的作用。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity2．概率

本單元在義務(wù)教育階段對概率初步了解的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體實例，理解隨機(jī)事件，會計算古典概型中隨機(jī)事件的概率，加深對隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識和理解，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

本單元的內(nèi)容包括：隨機(jī)事件與有限樣本空間、頻率與概率、概率的初步應(yīng)用。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義《Key

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NortheastNormalUniversity(1)隨機(jī)事件與概率

①

結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點的關(guān)系。了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進(jìn)行隨機(jī)事件并、交的運算。

②

結(jié)合具體實例，理解古典概型；能計算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率。

③

通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運算法則。

④

結(jié)合實例，會用頻率估計概率。(2)隨機(jī)事件的獨立性

結(jié)合有限樣本空間，了解兩個和三個隨機(jī)事件獨立性的含義。結(jié)合古典概型，利用獨立性來計算概率。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity有限樣本空間問題一：拋擲一枚骰子，求出現(xiàn)正面的概率。問題二：拋擲兩枚骰子，求點數(shù)和是偶數(shù)的概率。樣本空間是什么？樣本空間只與背景有關(guān)，與問題無關(guān)。T(x)（X，A，p）——（Y，B，pT）T(x)：隨機(jī)變量二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity選修內(nèi)容

本主題的內(nèi)容是必修統(tǒng)計與概率的延續(xù)，在古典概型和有限樣本空間的基礎(chǔ)上，了解隨機(jī)變量；學(xué)習(xí)二項分布、超幾何分布等離散型隨機(jī)變量的分布模型；通過正態(tài)分布的初步學(xué)習(xí)，了解連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布。

為了掌握這些知識，本主題的內(nèi)容還包括計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理。本主題還將學(xué)習(xí)一些統(tǒng)計方法：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型、2×2列聯(lián)表等。本主題的內(nèi)容包括：計數(shù)原理、概率、統(tǒng)計。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity1.計數(shù)原理

計數(shù)問題是數(shù)學(xué)的研究對象之一。在計數(shù)問題中，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是最基本、最重要的，也稱為基本計數(shù)原理。

通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解兩個基本計數(shù)原理，能運用計數(shù)原理探索排列、組合、二項式定理等問題，提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。本單元的內(nèi)容包括：兩個基本計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity(1)兩個基本計數(shù)原理

通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義。(2)排列與組合

通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組

合數(shù)公式。(3)二項式定理

能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與

二項展開式有關(guān)的簡單問題。二、數(shù)學(xué)的推理、命題和定義Key

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NortheastNormalUniversity2.概率

通過本單元的學(xué)習(xí)，能夠理解隨機(jī)事件的獨立性、了解條件概率并能進(jìn)行簡單計算；感悟離散隨機(jī)變量及其分布列的含義，知道可以通過隨機(jī)變量更好地刻畫隨機(jī)現(xiàn)象；能夠理解伯努利試驗，掌握二項分布；了解超幾何分布；感悟服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，知道連續(xù)型隨機(jī)變量。能夠基于隨機(jī)變量及其分布解決簡單的實際問題。本單元的內(nèi)容包括：隨機(jī)事件的獨立性與條件概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列、正態(tài)分布。

三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity(1)隨機(jī)事件的條件概率

①

結(jié)合古典概型，了解條件概率，并能計算簡單隨機(jī)事件的條件概率。

②

結(jié)合古典概型，會利用乘法公式計算概率。

③

結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計算概率。*了解貝葉斯公式。(2)離散型隨機(jī)變量及其分布列

①

通過具體實例，了解離散性隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）。

②

通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題。

③

通過具體實例，了解超幾何分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題。三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity條件概率：事件B給定事件A的條件概率為=規(guī)定？事實上：，？

三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity(3)正態(tài)分布

①

通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征。

②

了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義。三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity誤差模型（高斯）

x=a+ε抽樣

x1

=a+ε1……

xn

=a+εn求和

x1+…+xn=na+ε1+…+εn

估計

三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity統(tǒng)計

通過本單元的學(xué)習(xí)，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，能夠運用這些方法解決簡單的實際問題，能夠利用統(tǒng)計軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等素養(yǎng)。本單元的內(nèi)容包括：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型、2×2列聯(lián)表。三、什么是有邏輯的推理Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理(1)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

①

結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系。

②

結(jié)合實例，通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性。Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理相關(guān)系數(shù)：借助成對數(shù)據(jù)，利用內(nèi)積（夾角）研究兩個隨機(jī)變量的關(guān)系。(x1，y1），……，(xn，yn）兩個隨機(jī)變量x和y的相關(guān)系數(shù)：余弦函數(shù)取值（-1，1）之間，是反函數(shù)：角越小、相關(guān)系數(shù)越大。Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理(2)一元線性回歸模型

①

結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件。

②

針對實際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測。(3)2×2列聯(lián)表

①

通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義。

②

通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用，會使用統(tǒng)計表。Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理皮爾遜擬合似然檢驗

20世紀(jì)人類20個重大發(fā)明之一Key

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NortheastNormalUniversity謝謝！Key

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NortheastNormalUniversity統(tǒng)計學(xué)與數(shù)學(xué)的差異

研究起點數(shù)學(xué)：定義、假設(shè)；統(tǒng)計：數(shù)據(jù)、模型

思維方法數(shù)學(xué)：演繹推理；統(tǒng)計：歸納推理結(jié)果判斷數(shù)學(xué)：對不對；統(tǒng)計：好不好統(tǒng)計學(xué)與概率的區(qū)別共性：都是研究隨機(jī)現(xiàn)象差異：概率是用數(shù)學(xué)的方法

統(tǒng)計是用數(shù)據(jù)分析的方法Key

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NortheastNormalUniversity某小學(xué)男生對于香港演員只喜歡周星馳（0）和成龍（1）。函數(shù)：1-3年級男生喜歡周星馳；4-5年級男生喜歡成龍。

f(x)=0，x=1,2,3；

=1，x=4,5,6。概率：40%男生喜歡周星馳；60%男生喜歡成龍。

p(X=0)=40%；

p(X=1)=60%。統(tǒng)計：隨機(jī)調(diào)查n名男生（理解隨機(jī)），如果有m名喜歡周星馳，那么，

推斷p=m/n。Key

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NortheastNormalUniversity度量的不同函數(shù)：測度空間（X，A，μ），μ

是測度；概率：概率空間（X，A，p），p是概率測度；

統(tǒng)計：統(tǒng)計空間（X，A，P），P是概率族，

P={pθ；θ∈Θ}。

通過數(shù)據(jù)推斷具體的p

是什么。通常采用最大似然原理

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邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是具有傳遞性的推理。

關(guān)系傳遞（演繹推理）令A(yù)是一個集合，≈是集合上的一個二元關(guān)系。稱這個關(guān)系對于集合具有傳遞性，對于集合中的元素a，b和c，如果a≈b，b≈c，則a≈c。

進(jìn)一步，令⊙是集合A上的一種運算。稱這個關(guān)系對于運算具有傳遞性，如果a≈b，則a⊙c≈b⊙c。

稱具有關(guān)系傳遞性的推理為關(guān)系傳遞性推理。Key

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NortheastNormalUniversity性質(zhì)傳遞第一類性質(zhì)傳遞（結(jié)論必然成立）

（演繹）

令A(yù)是一個集合，P是一個性質(zhì)。A→P。如果x∈A。則x→P。

第二類性質(zhì)傳遞（結(jié)論或然成立）(A：歸納)令A(yù)是一個集合，P是一個性質(zhì)。

x→P。如果x∈A。則A→P。(B：類比)令A(yù)和B是兩個集合，Q是一個屬性，P是一個性質(zhì)。A和B中的元素都具有屬性Q。如果A→P。則B→P。第二類性質(zhì)傳遞特征：通過經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗過的東西，是創(chuàng)造性

思維方法的核心?？梢越y(tǒng)稱為歸納推理。Key

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歸納推理的規(guī)則（結(jié)論或然成立）

x→P。如果x∈A。則A→P。其中特殊的一類，這就是統(tǒng)計（基于隨機(jī)變量）的歸納推理，基本特征：

不僅結(jié)論是或然成立的，

結(jié)論表述形式本身也是或然的。比如：這學(xué)期有10次數(shù)學(xué)測試。A同學(xué)有7次進(jìn)入班級前五名。

所以，這學(xué)期的期末數(shù)學(xué)考試，A同學(xué)有7/10的可能性

進(jìn)入班級前五名。

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的過程。主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論。（概念內(nèi)涵）數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)手段，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會生活和科學(xué)研究的各個方面。（學(xué)科價值）通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升從數(shù)據(jù)中獲取有價值信息的能力，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實問題的意識；積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗，形成重視調(diào)查、基于證據(jù)認(rèn)識事物的思維品質(zhì)。（素養(yǎng)內(nèi)涵）Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理每個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的闡述，都涉及四個方面：情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思。三種情境：生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境三個層次：熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的三類問題：簡單的、較為復(fù)雜的、復(fù)雜的上述三個要素是構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的基礎(chǔ)。水平一：三種情境中的熟悉；三類問題中的簡單；水平二：三種情境中的關(guān)聯(lián)；三類問題中的較為復(fù)雜；水平三：三種情境中的綜合；三類問題中的復(fù)雜；Key

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NortheastNormalUniversity三、什么是有邏輯的推理水平1（必修結(jié)束、高中畢業(yè)）

能夠結(jié)合具體情境，識別隨機(jī)現(xiàn)象；能夠在學(xué)過的類似情境中發(fā)現(xiàn)并提出概率或統(tǒng)計問題。

能夠?qū)o定的概率問題，選擇合適的概率模型，解決問題；能夠?qū)o定的統(tǒng)計問題，選擇合適的抽樣方法收集數(shù)據(jù)，掌握描述、刻畫、分析數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計方法，解決問題。

能夠結(jié)合具體隨機(jī)現(xiàn)象的案例，知道可以通過概率的方法對隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小進(jìn)行度量，可以通過統(tǒng)計的方法根據(jù)數(shù)據(jù)對度量進(jìn)行估計；能夠用統(tǒng)計和