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文檔簡介

三重積分及其計算一、三重積分的概念將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域，被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)，就得到三重積分的定義其中

dv稱為體積元，其它術(shù)語與二重積分相同若極限存在，則稱函數(shù)可積若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則一定可積由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分的物理背景以

f(x,y,z)為體密度的空間物體的質(zhì)量下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計算方法。①先單后重——也稱為先一后二，切條法（先z次y后x

）注意用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分?；畏e分的步驟⑴投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點—下限，穿出點—上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法例1將化成三次積分其中為長方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面解將投影到xoy面得D，它是一個矩形在D內(nèi)任意固定一點（x,y)作平行于

z軸的直線交邊界曲面于兩點，其豎坐標(biāo)為l

和

m（l

<m)Dxyzo解畫出區(qū)域D解除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分先重后單，就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分若f(x,y,z)在上連續(xù)介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截得區(qū)域則②先重后單易見，若被積函數(shù)與x,y無關(guān)，或二重積分容易計算時，用截面法較為方便，就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計算尤其當(dāng)f(x,y,z)與x,y無關(guān)時例6解一解二先單后重將投影到xoy面得D先重后單（用極坐標(biāo)，用對稱性）此例介紹的是一種計算三重積分的方法，這種方法也具有一定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計算法

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