1量子力學

氫原子堿金屬原子2目錄一、中心力場問題回顧二、氫原子三、堿金屬原子的價電子3H的本征方程1.哈密頓算符xz球坐標ry此式使用了L2

的表達式：（一）中心力場下的能量本征方程問題回顧4（2）分離變量求解方程()yymmErVrLrrrr=ú?ùê?é++????-222222?)(2h5角向方程的解中心力場問題可以分離變量簡化為兩個方程，一個是角向方程，另一個是徑向方程。下面來分別討論

角向方程就是角動量平方算符的本征值方程,它的解已得到了.于是中心力場問題歸結為求解徑向方程：顯然，對于不同的值，有不同的徑向方程。先求得方程的通解，再考慮波函數(shù)標準條件，即可得到能級和波函數(shù)。一般講，能級和徑向波函數(shù)：它們都與兩個量子數(shù)n和l有關。6波函數(shù)的統(tǒng)計解釋對波函數(shù)漸進行為的要求

_波函數(shù)平方可積7一、中心力場的守恒量-角動量二、中心力場能級簡并

角動量算符的對易關系三、中心力場力學量完全集四、無限深球方勢阱五、三維各向同性諧振子勢8原子的穩(wěn)定性問題

原子塌陷與氫原子光譜

按經(jīng)典理論，如果采用盧瑟福的原子有核模型，電子繞核做加速運動，因而以連續(xù)譜的形式向外輻射能量，并最終因能量耗盡而掉到原子核里，原子的壽命約為1ns。實驗觀測到:氫原子光譜是彼此分裂的線狀光譜，每一條譜線具有確定的波長（或頻率）玻爾的假設?9二、氫原子 量子力學發(fā)展史上最突出得成就之一是對氫原子光譜和化學元素周期律給予了相當滿意的解釋。氫原子是最簡單的原子，其Schrodinger方程可以嚴格求解，氫原子理論還是了解復雜原子及分子結構的基礎。氫原子中一個電子在庫倫勢中相對于核運動的波函數(shù)

(r)所滿足的方程，相對運動能量E就是氫原子的能級。10二、氫原子(1)11二、氫原子(2)12二、氫原子(3)我們只討論束縛態(tài)E<013二、氫原子(4)14二、氫原子(5)15二、氫原子(6)5、氫原子能級圖Bohr半徑主量子數(shù)Lyman線系Balmer線系Paschen線系連續(xù)譜16二、氫原子(7)17下面列出了前幾個徑向波函數(shù)Rnl表達式：對于氫原子Z=118二、氫原子(8)19二、氫原子(9)20二、氫原子(10)21（1）能級和波函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n有關，而本征函數(shù)與n,,m有關，故能級存在簡并。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（三）小結22能級En

是n2度簡并(不考慮自旋).當n=1對應于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，E1=μZ2e4/22，相應基態(tài)波函數(shù)是ψ100=R10Y00，所以基態(tài)是非簡并態(tài)。當n確定后，

=n-nr-1，所以最大值為n-1。當確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：2324（4）簡并度與力場對稱性

由上面求解過程可以知道，由于中心力場是球對稱的，所以徑向方程與

m無關，而與

有關。因此，對一般的有心力場，解得的能量E不僅與徑量子數(shù)

nr有關，而且與

有關，即

E=Enl，簡并度就為

(2+1)

度。

但是對于庫侖場

-Ze2/r

這種特殊情況，得到的能量只與

n=nr++1有關，所以又出現(xiàn)了對

的簡并度。這是由于庫侖場具有比一般中心力場

有更高的對稱性的表現(xiàn)。

25n=1的態(tài)是基態(tài)，E1=-(e4/22)，當n→∞時，E∞=0，則電離能為：ε=E∞-E1=-E1=μe4/22=13.579eV.（1）能級1.基態(tài)及電離能2.氫原子譜線線狀光譜！26（2）波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布1.氫原子的徑向波函數(shù)272.徑向幾率分布例如：對于基態(tài)電子在(r,θ,)點附近體積元d=r2sindrdd

內的幾率在半徑rr+dr球殼內找到電子的幾率考慮球諧函數(shù)的歸一化28二、氫原子(11)29二、氫原子(12)30二、氫原子(13)31二、氫原子(14)323.幾率密度隨角度變化Rnl(r)已歸一電子在(θ,)附近立體角d

內的幾率下面圖示出了各種,m態(tài)下，Wm()關于的函數(shù)關系，由于它與角無關，所以圖形都是繞z軸旋轉對稱的立體圖形。該幾率與角無關例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，與也無關，是一個球對稱分布。xyz33例2.=1,m=±1時，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2

。在

=π/2時，有最大值。在

=0沿極軸方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0時，W1,0()={3/4π}cos2。正好與例2相反，在

=0時，最大；在

=π/2時，等于零。zzyxxyZxz球坐標ry34m=-2m=+2m=+1m=-1m=0

=235二、氫原子(15)36（1）原子中的電流密度電子在原子內部運動形成了電流，其電流密度1.由于ψnlm的徑向波函數(shù)Rnl(r)和與有關的函數(shù)部分Plm(cos)都是實函數(shù)，所以代入上式后必然有：（四）原子中的電流和磁矩372.繞z軸的環(huán)電流密度j

是上式電流密度的向分量：最后得：38（2）軌道磁矩則總磁矩（沿z軸方向）是：j

是繞z軸的旋轉對稱的,通過截面d

的電流元對磁矩的貢獻是圓面積S=(rsin)2波函數(shù)已歸一rsindjxzyor39幾點討論：1.由上式可以看出，磁矩與m有關，這就是把m稱為磁量子數(shù)的理由。2.對s態(tài)，(=0)，磁矩MZ=0，這是由于電流為零的緣故。3