第五章常微分方程數(shù)值解計(jì)算機(jī)數(shù)值方法1第五章常微分方程數(shù)值解5.1引言(基本求解公式)5.2Runge-Kutta法5.3微分方程組和高階方程解法簡(jiǎn)介2本章要點(diǎn)：本章作業(yè)本章主要研究基于微積分?jǐn)?shù)值解法的常微分方程數(shù)值解，主要方法有線性單步法中的Euler方法、Simpson方法、Runge-Kutta方法高階微分方程和微分方程組的數(shù)值解法P208.1.3.4.7.8.10.11.12.3本章應(yīng)用題:驅(qū)逐艦在濃霧中搜索潛艇，其時(shí)發(fā)現(xiàn)潛艇在3英里的海面上，但潛艇立即下潛，驅(qū)逐艦速度兩倍于潛艇，且已知潛艇下潛后即以全速朝某一未知方向直線前進(jìn)，問(wèn)驅(qū)逐艦應(yīng)采取什么路線才能保證它會(huì)開過(guò)潛艇的上方以投放深水炸彈？提示取極坐標(biāo)，并以發(fā)現(xiàn)潛艇時(shí)潛艇的位置為原點(diǎn)———反潛45.1引言(基本求解公式)在工程和科學(xué)技術(shù)的實(shí)際問(wèn)題中，常需要求解微分方程只有簡(jiǎn)單的和典型的微分方程可以求出解析解而在實(shí)際問(wèn)題中的微分方程往往無(wú)法求出解析解在高等數(shù)學(xué)中我們見過(guò)以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)5-----------(3)(1),(2)式稱為初值問(wèn)題,(3)式稱為邊值問(wèn)題-----------(4)另外,在實(shí)際應(yīng)用中還經(jīng)常需要求解常微分方程組:本課程主要研究問(wèn)題(1)的數(shù)值解法,對(duì)(2)~(4)只作簡(jiǎn)單介紹我們首先介紹初值問(wèn)題(1)的解存在的條件6定理1.

對(duì)于問(wèn)題(1),要求它的數(shù)值解7-----------(1)從(1)的表達(dá)式可以看出,求它的數(shù)值解的關(guān)鍵在于而數(shù)值微分或數(shù)值積分問(wèn)題我們都已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)8一、基于數(shù)值微分的常微分方程數(shù)值解法-----------(1)對(duì)于初值問(wèn)題(1)在下列子區(qū)間上分別應(yīng)用兩點(diǎn)數(shù)值微分公式為了討論方便,假設(shè)以下節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)9--------(5)(一)Euler公式10由(5)式每組的前一半可得--------(6)--------(7)記其中(6)和(7)式稱為求解初值問(wèn)題(1)的(前進(jìn))Euler公式和誤差項(xiàng)11由(5)式每組的后一半可得記其中--------(8)--------(9)(8)和(9)式稱為求解初值問(wèn)題(1)的后退Euler公式和誤差項(xiàng)12從(6)或(8)式不難看出,這種類型的方法稱為單步格式或單步法Euler方法的幾何體現(xiàn):前進(jìn)Euler公式后退Euler公式13Euler1.m例1.解:由前進(jìn)Euler公式14得依此類推,有01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.784815由于后退Euler公式是隱形公式,計(jì)算例1將很麻煩事實(shí)上大多數(shù)情況下用后退Euler公式都較困難就可得到新的Euler公式--------(10)此方法稱為預(yù)測(cè)—校正系統(tǒng)16用Euler公式的預(yù)測(cè)——校正系統(tǒng)求解例1.例2.解:由(10)式,有Euler1.m17依此類推,得01.00000.10001.09180.20001.17630.30001.25460.40001.32780.50001.39640.60001.46090.70001.52160.80001.57860.90001.63211.00001.6819比較不同的結(jié)果18(二)常微分方程數(shù)值解的截?cái)嗾`差評(píng)價(jià)一個(gè)微分方程求解公式的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)然是其精度而在求解公式中誤差項(xiàng)19定義1.因?yàn)橐话闱闆r下,求解公式的每一步都存在誤差,因此有定義2.定義3.2021Euler公式的局部截?cái)嗾`差為具有1階精度后退Euler公式的局部截?cái)嗾`差為也具有1階精度顯然一個(gè)求解公式的精度越高,計(jì)算解的精確性也就越好從前面的分析可知,Euler法的精度并不算高因此有必要找尋精度更高的求解公式22二、基于數(shù)值積分的常微分方程數(shù)值解法-----------(1)對(duì)于初值問(wèn)題-----------(11)23矩形求積公式梯形求積公式,誤差為Simpson求積公式,誤差為將以上求積公式代入(11)式,并加以處理就可得到相對(duì)應(yīng)的求解公式24(一)矩形求解公式由可得令-----------(12)(12)式稱為矩形公式(矩形法)實(shí)際上就是Euler求解公式25(二)梯形求解公式由可得令------(13)稱(13)式為梯形求解公式(梯形法)注意:(13)式是隱形公式26則梯形公式第k步的截?cái)嗾`差為顯然梯形法具有二階精度由于梯形公式為隱形公式,一般情況下不易顯化27------(14)以上公式稱為改進(jìn)的Euler求解公式(改進(jìn)Euler法),即------(15)28例3.用Euler公式、梯形公式和改進(jìn)Euler公式求解初值問(wèn)題,并比較結(jié)果的精度解:(1)Euler公式29(2)梯形公式3031(3)改進(jìn)Euler公式xy01.00000.10.90500.20.81900.30.74120.40.67080.50.6071使用MATLAB軟件Euler2.m結(jié)果為320.90500.81900.74120.67080.6071Euler公式梯形公式改進(jìn)Euler公式結(jié)果比較Euler法的精度不如梯形公式3334(三)Simpson求解公式將Simpson求積公式代入（11）簡(jiǎn)化后,得------(16)35由Simpson求積公式