第二節(jié)Newton-Cotes公式4.2.1牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式中,當所取節(jié)點是等距時稱為牛頓-柯特斯公式。在插值求積公式其中插值多項式

求積系數(shù)

公式的推導設(shè)將積分區(qū)間[a,b]n等分，求積節(jié)點為那么，

令x=a+th，則t=(x-a)/h，且由可知．所以記：Cotes系數(shù)且則有：Newton-Cotes求積公式Cotes系數(shù)性質(zhì)幾種常用的Newton-Cotes求積公式梯形公式，辛普生公式，Cotes公式1.n=1時的梯形求積公式按Newton-Cotes系數(shù)公式計算得

abab故求積系數(shù)A0,A1為記求積公式為-----梯形求積公式容易驗證梯形公式的代數(shù)精確度的次數(shù)為1.在[a,b]上積分，可得考慮梯形求積公式的誤差估計假定

用推廣的積分中值定理，將過(a,f(a)),(b,f(b))點的線性插值的余項

2.

n=2時的Simpson（拋物線）求積公式按Newton-Cotes系數(shù)公式可以計算出

ab容易驗證Simpson求積公式具有３次的代數(shù)精確度．余項公式為：所以上述公式稱為Simpson求積公式。3.n=4時的Cotes求積公式按Newton-Cotes系數(shù)公式可以計算出由此可得Cotes求積公式：ab余項公式為：n階Newton-Cotes求積公式當n為偶數(shù)時代數(shù)精度為n+1x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709例：分別用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計算準確值為：0.9460831解：利用梯形公式可得：x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709利用辛普生公式得：利用柯特斯公式得：例:用辛普森公式和柯特斯公式計算定積分的近似值,并估計其誤差(計算結(jié)果取5位小數(shù))解:辛普森公式由辛普森公式余項知其誤差為由于

柯特斯公式

誤差為該定積分的準確值

這個例子告訴我們，對于同一個積分，當n≥2時，公式卻是精確的，這是由于辛普森公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對被積函數(shù)為三次多項式當然是精確成立的。

誤差與區(qū)間長度有關(guān)，區(qū)間長度越長，誤差越大。利用積分區(qū)間可加性，將較長區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別應用Newton-Cotes求積公式，再相加，即可得到復化的積分公式。4.2.2復化求積公式及其收斂性常用復化求積公式

復化梯形公式2.復化辛普生公式3.復化柯特斯公式

1.復化梯形公式復化梯形公式復化梯形公式（單擊播放）2.復化辛普生（拋物線）公式復化辛普生（拋物線）公式

復化辛普生（拋物線）（單擊播放）3.復化柯特斯公式

仿照同樣的方法可得復化柯特斯公式：例：分別用復化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計算準確值為：0.9460831解：利用復化梯形公式可得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709準確值為：0.9460831利用復化辛普生公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709利用復化柯特斯公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709準確值為：0.9460831

比較上面復化求積公式結(jié)果，它們都需要提供9個點上的函數(shù)值，計算量基本相同，然而精度卻差別很大，同積分的準確值比較，復化梯形法的結(jié)果只有三位有效數(shù)字，而復化辛普生法的結(jié)果卻有六位有效數(shù)字。下面我們考察復化求積公式的截斷誤差。4復化求積公式的截斷誤差：定理1：例用復化梯形公式計算定積分問區(qū)間[0,1]應分多少等份,才能使誤差不超過