同學們好！第五章角動量角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律角動量轉(zhuǎn)動慣量角動量變化率力矩角動量定理角動量守恒定律空間旋轉(zhuǎn)對稱性學時：6重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋轉(zhuǎn)運動；微觀粒子的角動量具有量子化特征；角動量遵守守恒定律，與空間旋轉(zhuǎn)對稱性相對應。§5.1

角動量轉(zhuǎn)動慣量力矩一、角動量問題：將一繞通過質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個質(zhì)點系，則由于該系統(tǒng)質(zhì)心速度為零，所以，系統(tǒng)總動量為零，系統(tǒng)有機械運動，總動量卻為零？說明不宜用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機械運動量。*引人與動量對應的角量——角動量（動量矩）大?。悍较颍河沂致菪▌t1.質(zhì)點的角動量xyzmo*質(zhì)點對某參考點的角動量反映質(zhì)點繞該參考點旋轉(zhuǎn)運動的強弱。o例：玻爾氫原子理論假設之一：電子對核的角動量量子化oo2.質(zhì)點系角動量系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點對同一參考點角動量的矢量和由第一項：即將質(zhì)點系全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的一個質(zhì)點上，該質(zhì)點對參考點的角動量描述質(zhì)點系整體繞參考點的旋轉(zhuǎn)運動：第二項：質(zhì)心對自己的位矢于是反映質(zhì)點系繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運動，與參考點的選擇無關，描述系統(tǒng)的內(nèi)稟性質(zhì)：第三項：各質(zhì)點相對于質(zhì)心角動量的矢量和3.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量即對的角動量：轉(zhuǎn)軸角速度剛體上任一質(zhì)點轉(zhuǎn)軸與其轉(zhuǎn)動平面交點繞圓周運動半徑為轉(zhuǎn)動平面剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：(1)質(zhì)點均在垂直于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，作半徑不同的圓周運動；

(2)各質(zhì)點的角速度大小相等，且均沿軸向。定義：質(zhì)點對點的角動量的大小，稱為質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量。剛體對z

軸的總角動量為：式中剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對z軸的總角動量為：對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：式中剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量二、剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量1.定義剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸距離的平方之積求和。若質(zhì)量連續(xù)分布，則積分元選?。?.

計算剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量J與剛體總質(zhì)量有關與剛體質(zhì)量分布有關與轉(zhuǎn)軸的位置有關練習1.由長l的輕桿連接的質(zhì)點如圖所示，求質(zhì)點系對過A垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動慣量2.

一長為的細桿，質(zhì)量均勻分布，求該桿對垂直于桿，分別過桿的中點和一端端點的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：(1)軸過中點(2)軸過一端端點3.求質(zhì)量m,半徑R

的球殼對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：取離軸線距離相等的點的集合為積分元4.求質(zhì)量m,半徑R的球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：以距中心，厚的球殼為積分元Ro注意：

對同軸的轉(zhuǎn)動慣量才具有可加減性。平行軸定理正交軸定理對平面剛體證明見教材80頁教材P.81一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量表練習求長L、質(zhì)量m的均勻桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量解一：解二：解三：三、角動量的時間變化率力矩1、質(zhì)點角動量的時間變化率質(zhì)點位矢合力m定義：2、力矩1)對參考點的力矩大小：方向：服從右手螺旋法則2)對軸的力矩第一項方向垂直于軸，其效果是改變軸的方位，在定軸問題中，與軸承約束力矩平衡。第二項方向平行于軸，其效果是改變繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)，稱為力對軸的矩，表為代數(shù)量：即：力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量軸與轉(zhuǎn)動平面的交點o到力作用點的位矢力對o

點的力矩在z軸方向的分量注意：1.力矩求和只能對同一參考點（或軸）進行。矢量和代數(shù)和2.3、質(zhì)點系角動量的時間變化率對個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，由可得兩邊求和得于是：質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系所受外力矩的矢量和(合外力矩)注意：合外力矩是質(zhì)點系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。由圖可知[例]質(zhì)量為，長為的細桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為，求摩擦力矩。

1)桿的質(zhì)量均勻分布

2)桿的密度與離軸距離成正比解1）解2）設桿的線密度實際意義半徑R

，質(zhì)量m的勻質(zhì)圓盤，與桌面間摩擦系數(shù)μ，求摩擦力矩等效簡化模型：長R

，線密度總質(zhì)量m

的細桿本講內(nèi)容：三個基本概念1.角動量質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體2.轉(zhuǎn)動慣量3.力矩同學們好上講內(nèi)容：三個基本概念1.角動量質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體2.轉(zhuǎn)動慣量3.力矩§5.2

角動量定理一、角動量定理的微分形式1.質(zhì)點質(zhì)點角動量的時間變化率等于質(zhì)點所受的合力矩0質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系所受外力矩的矢量和。內(nèi)力矩只改變質(zhì)點系總角動量在系內(nèi)的分配，不影響總角動量。2.質(zhì)點系3.定軸剛體比較由得是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因剛體定軸轉(zhuǎn)動定律例:

一定滑輪的質(zhì)量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。已知：求：思路：先求角加速度解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。以向下為正方向以向上為正方向思考：×+以順時針方向為正方向四個未知數(shù)：三個方程？繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：解得：

如圖示，兩物體質(zhì)量分別為和，滑輪質(zhì)量為，半徑為。已知與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，求下落的加速度和兩段繩中的張力。解：在地面參考系中，選取、和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得：練習向里+列方程如下：可求解例.

質(zhì)量為M

的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為

m、長為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側(cè)繩長差為s

時，繩的加速度的大小。解：在地面參考系中，建立如圖x坐標，設滑輪半徑為r有：ox1x2sMABrxox1x2sMABrxCBCA用隔離法列方程:(以逆時針方向為正)T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBg解得：二、角動量定理的積分形式積分形式（有限時間過程）微分形式(瞬時效應)質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體注意:1.力矩對時間的積累：角沖量定義：效果：改變角動量3.同一式中，等角量要對同一參考點或同一軸計算。一定時間過程的變化量與對應時間變化率與對應2.比較：一定時間過程的變化量與對應時間變化率與對應三、旋進——角動量定理的應用舉例1、陀螺若，則在重力矩作用下，陀螺將繞垂直于板面的軸轉(zhuǎn)動，即倒地。(2)當時，重力矩將改變的方向，而不改變的大小(因)。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)

——

旋進旋進角速度2.車輪的旋進（演示）討論：

改變的方向，旋進方向是否改變？改變配重G，對旋進有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？3.回轉(zhuǎn)儀實驗：如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋轉(zhuǎn)時，移動平衡物B，桿不會傾斜，而是在水平面內(nèi)繞O旋轉(zhuǎn)。這種運動稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)效應。4、炮彈的旋進c5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質(zhì)的磁化的本質(zhì)；…...大作業(yè)：物理現(xiàn)象的觀察和分析錄象：1-2-9②角動量定理

1-2-9③角動量守恒同學們好！§5.3

角動量守恒定律一、角動量守恒定律分量式：對定軸轉(zhuǎn)動剛體，當時，由角動量定理：當時，恒矢量研究對象：質(zhì)點系當質(zhì)點系所受外力對某參考點（或軸）的力矩的矢量和為零時，質(zhì)點系對該參考點（或軸）的角動量守恒。角動量守恒定律：注意1.守恒條件：或能否為2.與動量守恒定律對比：當時，恒矢量恒矢量當時，彼此獨立請看:貓剛掉下的時候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會摔死。請你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉(zhuǎn)向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動量守恒過程。為什么貓從高處落下時總能四腳著地？

角動量守恒現(xiàn)象舉例適用于一切轉(zhuǎn)動問題，大至天體，小至粒子...直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？為什么銀河系呈旋臂盤形結構？體操運動員的“晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水…...茹科夫斯基凳實驗例.

一半徑為R、質(zhì)量為

M的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動,質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周(不計阻力)，相對于地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？R選地面為參考系，設對轉(zhuǎn)軸人：J,;臺：J′,′解：系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：設人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周的時間為t：人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：二.有心力場中的運動物體在有心力作用下的運動力的作用線始終通過某定點的力力心有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體對力心的角動量守恒。應用廣泛，例如：天體運動（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星...）

微觀粒子運動（電子繞核運動；原子核中質(zhì)子、中子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射...）例.

P.1005-18解：衛(wèi)星~質(zhì)點m

地球~均勻球體對稱性：引力矢量和過地心對地心力矩為零衛(wèi)星

m

對地心o

角動量守恒O

dFmdmdm’dF1dF2h2h1已知:地球R=6378km

衛(wèi)星近地:h1=439km

v1=8.1kms-1

遠地:h2=238km

求

:v2衛(wèi)星m對地心o

角動量守恒增加通訊衛(wèi)星的可利用率探險者號衛(wèi)星偏心率高近地遠地h2h1地球同步衛(wèi)星的定點保持技術衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面傾角為零嚴格同步條件軌道嚴格為圓形運行周期與地球自轉(zhuǎn)周期完全相同（23小時56分4秒）地球扁率，太陽、月球攝動引起同步衛(wèi)星星下點漂移（p.43圖3.5-8)用角動量、動量守恒調(diào)節(jié)~定點保持技術研究微觀粒子相互作用規(guī)律自學教材P.94[例五]三、角動量守恒與空間旋轉(zhuǎn)對稱性（了解）空間絕對位置是不可測量的空間具有平移對稱性動量守恒空間絕對方向是不可測量的

空間具有旋轉(zhuǎn)對稱性角動量守恒空間各向同性：各方向?qū)ξ锢矶傻葍r。孤立系統(tǒng)在某個角位置具有角動量，則在其它角位置也應具有相同的角動量，即孤立系統(tǒng)角動量守恒。當有力矩作用于質(zhì)點系時，力矩的方向為一可測量方向，空間旋轉(zhuǎn)對稱性發(fā)生破缺。因此，角動量將不再守恒，其規(guī)律為角動量定理：第五章角動量角動量守恒習題課復習提要：一、轉(zhuǎn)動慣量二、角動量

質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體三、力矩

質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體五、角動量守恒四、角動量定理例.已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，求：接觸且無相對滑動時.o1m1R1.o2R2m2o1.o2.解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸，外力矩為零，則：J1+J2系統(tǒng)角動量守恒，以順時針方向為正：接觸點無相對滑動：又：聯(lián)立1、2、3、4式求解，對不對？o1.o2.問題：(1)式中各角量是否對同軸而言？

(2)J1+J2

系統(tǒng)角動量是否守恒？問題：(1)式中各角量是否對同軸而言？

(2)J1+J2

系統(tǒng)角動量是否守恒？分別以m1,m2

為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f2系統(tǒng)角動量不守恒！解二：分別對m1,m2用角動量定理列方程設：f1=f2=f，以順時針方向為正m1對o1軸：m2對o2軸：接觸點：o2F2o1.F1f1f2聯(lián)立各式解得：解一：m

和m2系統(tǒng)動量守恒

mv0=(m+m2)v解二：m

和(m+m2)系統(tǒng)動量守恒mv0=(m+m1+m2)v解三：mv0=(m+m2)v+m12v以上解法對不對？m2m1mA例.

已知：輕桿，m1=m,m2=4m,油灰球m，

m以速度v0撞擊m2，發(fā)生完全非彈性碰撞

求：撞后m2的速率v?因為相撞時軸A作用力不能忽略不計，故系統(tǒng)動量不守恒。因為重力、軸作用力過軸，對軸力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒。由此列出以下方程：或：得：m2m1mNyNxA注意：區(qū)分兩類沖擊擺

水平方向：Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

對o

點：，守恒mv0l=(m+M)vl質(zhì)點

定軸剛體（不能簡化為質(zhì)點）olmMFyFx(2)軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對o

軸合力矩為零，角動量守恒(1)olmM質(zhì)點質(zhì)點柔繩無切向力回顧作業(yè)P.724-10mMFOA、B、C系統(tǒng)不守恒；A、B、C系統(tǒng)對o軸角動量守恒回顧作業(yè)P724-11C

BNxNyAo練習：已知m=20克，M=980克,v0=400米/秒，繩不可伸長。求m

射入M

后共同的v=?哪些物理量守恒？請列方程。解：m、M系統(tǒng)水平方向動量守恒（Fx=0)豎直方向動量不守恒（繩沖力不能忽略）對o

點軸角動量守恒（外力矩和為零）omM或：v=4m·s-1得：解：碰撞前后AB棒對O的角動量守恒思考：碰撞前棒對O角動量L=?

碰撞后棒對O角動量=？例.

已知：勻質(zhì)細棒m,

長2l

；在光滑水平面內(nèi)以v0

平動，與支點O

完全非彈性碰撞。

求：碰后瞬間棒繞O

的v0clBAl/2l/2

O撞前：(1)(2)各微元運動速度相同，但到O距離不等，棒上段、下段對軸O角動量方向相反設垂直向外為正方向，總角動量：質(zhì)元角動量：線密度：取質(zhì)元：xdm-l/23l/2撞后：令得：例.

P.1005-17