第十六章

電勢(shì)

ElectricPotential本章主要內(nèi)容§16-1

靜電場(chǎng)的保守性§16-2

電勢(shì)差和電勢(shì)§16-3

電勢(shì)疊加原理§16-4

電勢(shì)梯度§16-5

電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能§16-6

電荷系的靜電能§16-7

靜電場(chǎng)的能量第十六章電勢(shì)電勢(shì)是靜電場(chǎng)中的重要物理量。通過(guò)研究靜電場(chǎng)力對(duì)電荷做功，發(fā)現(xiàn)靜電場(chǎng)力是保守力。

由于靜電場(chǎng)力是保守力，可以引入電勢(shì)和電勢(shì)能。和電場(chǎng)強(qiáng)度一樣，電勢(shì)也是描述靜電場(chǎng)分布規(guī)律的，它本身也是空間分布函數(shù)。第三章電勢(shì)§16-1靜電場(chǎng)的保守性

ConservativePropertyofElectrostaticField做功與路徑無(wú)關(guān)（或沿閉合路徑一周做功為零）的力，稱(chēng)為保守力（如引力、彈性力）。靜電場(chǎng)力是不是保守力？靜電場(chǎng)力對(duì)檢驗(yàn)電荷q0做功為考慮對(duì)單位正檢驗(yàn)電荷做功：場(chǎng)強(qiáng)對(duì)路徑的線(xiàn)積分先考慮點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)：積分結(jié)果只與檢驗(yàn)電荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)！§3-1靜電場(chǎng)的保守性再考慮點(diǎn)電荷系（或任意帶電體）產(chǎn)生的場(chǎng)：由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，有求和中每一項(xiàng)代表對(duì)應(yīng)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)的沿

P1

到

P2

的線(xiàn)積分——與積分路徑無(wú)關(guān)。因此總場(chǎng)的積分也與路徑無(wú)關(guān)。結(jié)論：靜電場(chǎng)力對(duì)電荷所做的功與路徑無(wú)關(guān)。即靜電場(chǎng)力是保守力，或稱(chēng)靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。conservationfield§3-1靜電場(chǎng)的保守性或表示為：靜電場(chǎng)環(huán)路定理：靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑積分等于零。靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)不可能閉合

換言之：電荷沿任意閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，靜電場(chǎng)力所做的功為零。§4-3保守力§16-2電勢(shì)和電勢(shì)差

ElectricPotentialandPotentialDifference

因?yàn)殡妱?shì)是通過(guò)它的改變量來(lái)引入的，所以它具有零點(diǎn)的相對(duì)性。通常需選定某參考點(diǎn)

P0為電勢(shì)零點(diǎn)，則任意點(diǎn)

P

處的電勢(shì)為:由于

與積分路徑無(wú)關(guān)（只決定于起點(diǎn)

P1

和終點(diǎn)

P2

的位置），積分結(jié)果必定可以表示為某空間函數(shù)

j的改變量：定義

j為電勢(shì)，即從

P1

到

P2

沿任意路徑場(chǎng)強(qiáng)的線(xiàn)積分等于電勢(shì)的負(fù)增量。j1

-j2

U12為

P1

與

P2

兩點(diǎn)間的電勢(shì)差。電勢(shì)和電勢(shì)差原則上，電勢(shì)零點(diǎn)可以任意選取，但應(yīng)視問(wèn)題的方便而定?！?-2電勢(shì)和電勢(shì)差通常電荷在有限區(qū)域時(shí)，將無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)選為電勢(shì)零點(diǎn)，此時(shí)任一點(diǎn)

P(x,y,z)的電勢(shì)為說(shuō)明：電勢(shì)是空間坐標(biāo)的函數(shù)：，如已知靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布，可以求出電勢(shì)分布——?jiǎng)莺瘮?shù)。電勢(shì)差與電場(chǎng)對(duì)檢驗(yàn)電荷做功的關(guān)系：（重要）

點(diǎn)電荷的電勢(shì)為[

j()=0

]與場(chǎng)強(qiáng)不同，電勢(shì)是標(biāo)量。（以點(diǎn)電荷的電勢(shì)討論正負(fù)）§3-2電勢(shì)和電勢(shì)差[例1]求（1）均勻帶電球面；（2）均勻帶電球體，產(chǎn)生場(chǎng)的電勢(shì)分布。設(shè)總電量均為

q，球的半徑為

R

。解：（1）均勻帶電球面，由Guass

定理求得：（2）均勻帶電球體，由Guass

定理求得：查看

[例1]設(shè)電荷為均勻帶電的（1）球面；（2）球體?？傠姾蔀?/p>

Q，球的半徑為

R，求球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題，場(chǎng)強(qiáng)沿徑向，且

E=E(r)。

(1)做半徑為r的同心球面為高斯面。

(2)設(shè)

r=3Q/4pR3

為體電荷密度，做半徑為r的同心球面為高斯面。返回討論：在

r=R處：對(duì)于帶電

球面，E不連續(xù)，j

連續(xù)

；對(duì)于帶電球體，

E連續(xù)，

j

連續(xù)。這一特性是普遍

的.

r>R處（球外區(qū)域）的場(chǎng)強(qiáng)

和電勢(shì)，都相當(dāng)于電荷集中于中心的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)和勢(shì)。這是球?qū)ΨQ(chēng)電荷的共性。[例2]求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。解：1）無(wú)限長(zhǎng)帶電直線(xiàn)周?chē)膱?chǎng)強(qiáng)的大小為：根據(jù)高斯定理可知：方向垂直帶電直線(xiàn)且向外。2）無(wú)限長(zhǎng)帶電直線(xiàn)周?chē)我稽c(diǎn)P的電勢(shì)為：選距離帶電直線(xiàn)為r0的P0點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)(why)，則P點(diǎn)電勢(shì)為：P0r0PrKey：當(dāng)電荷的分布擴(kuò)展到無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能選在無(wú)限遠(yuǎn)處。P’§16-3電勢(shì)疊加原理

SuperpositionPrincipleofElectricPotential每一

ji

必須有共同的電勢(shì)零點(diǎn)方法2——

利用電勢(shì)疊加原理：把電荷系統(tǒng)分解為點(diǎn)電荷系，再把各點(diǎn)電荷的電勢(shì)疊加，即對(duì)點(diǎn)電荷系和連續(xù)帶電體分別有利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可以導(dǎo)出：電勢(shì)疊加原理：在由電荷系產(chǎn)生的電場(chǎng)中，任一點(diǎn)的電勢(shì)等于各個(gè)帶電體單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。電勢(shì)的計(jì)算電勢(shì)疊加原理方法1——

利用電勢(shì)的定義式：，已知場(chǎng)強(qiáng)分布，選方便的路徑積分；和§3-3電勢(shì)疊加原理和電勢(shì)的計(jì)算[例1]求電偶極子周?chē)碾妱?shì)分布。解：正、負(fù)點(diǎn)電荷在

P點(diǎn)單獨(dú)產(chǎn)生的電勢(shì)為：根據(jù)電勢(shì)疊加原理，P點(diǎn)的電勢(shì)為：[例2]求總電量為

q,半徑為

R,均勻帶電的細(xì)圓環(huán),在其軸線(xiàn)上任點(diǎn)的電勢(shì)。解：1)方法1:已知軸線(xiàn)上場(chǎng)強(qiáng)為:選取積分路徑為從

P沿

x軸到無(wú)限遠(yuǎn)(電勢(shì)零點(diǎn))2)方法2:利用電勢(shì)疊加原理環(huán)心出(x=0)的電勢(shì)為[例3]兩個(gè)同心的均勻帶電球面，半徑分別為RA和RB，分別帶有電量qA和qB。求距球心距離為r1，r2，r3處的電勢(shì)。RARBr1r2r3P1P2P3qAqB解：1)方法1:利用電勢(shì)疊加原理。已知一個(gè)帶電球面的電勢(shì)分布為：2)方法2:利用電勢(shì)定義。略

GradientofElectricPotential§16-4電勢(shì)梯度

等勢(shì)面——電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的曲面。引入等勢(shì)面也是為了形象地描述靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布。等勢(shì)面的性質(zhì)：

沿等勢(shì)面移動(dòng)電荷，靜電場(chǎng)力做的功為零；(a)孤立點(diǎn)電荷(b)一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷實(shí)例：

虛線(xiàn)——等勢(shì)面

實(shí)線(xiàn)——電場(chǎng)線(xiàn)1.等勢(shì)面§3-4電勢(shì)梯度證明：設(shè)檢驗(yàn)電荷

q從等勢(shì)面上任意一點(diǎn)

a經(jīng)過(guò)元位移移動(dòng)到點(diǎn)

b,靜電場(chǎng)力做的功為,

而，根據(jù)功的定義：即因此，電場(chǎng)強(qiáng)度與等勢(shì)面處處正交。電場(chǎng)線(xiàn)指向電勢(shì)降低的方向；

因沿電場(chǎng)線(xiàn)方向移動(dòng)單位正電荷，電場(chǎng)力做正功。等勢(shì)面與電場(chǎng)線(xiàn)處處正交；

等勢(shì)面密的地方，場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值大；反之，場(chǎng)強(qiáng)小。2.電勢(shì)梯度及其與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系求導(dǎo)保守力場(chǎng)強(qiáng)勢(shì)能電勢(shì)積分結(jié)論：電場(chǎng)強(qiáng)度等于相聯(lián)系的電勢(shì)的梯度的負(fù)值：P1P2取極限得方向?qū)?shù)：§3-4電勢(shì)梯度§16-5電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能

ElectrostaticPotentialEnergy點(diǎn)電荷在已知場(chǎng)中的靜電勢(shì)能引入靜電勢(shì)能W（簡(jiǎn)稱(chēng)電勢(shì)能）：即電勢(shì)能為其中

P0

為勢(shì)能零點(diǎn)。保守力的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值電勢(shì)是屬于靜電場(chǎng)的，而電勢(shì)能屬于已知電場(chǎng)和點(diǎn)電荷

q0

所共有。電勢(shì)的物理意義可以理解為：靜電場(chǎng)中單位正電荷所具有的電勢(shì)能，即

j=W/q0

。與路徑無(wú)關(guān)（保守場(chǎng)），靜電場(chǎng)力對(duì)電荷

q0

所做的功也與路徑無(wú)關(guān)（保守力）?！?-5靜電勢(shì)能[例1]求電偶極子（）在均勻電場(chǎng)中的電勢(shì)能。解：設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，則

+q和

-q在A,B兩點(diǎn)的電勢(shì)為和，有[例2]電子與原子核距離為

r,電子帶電量為–e,原子核帶電量為

Ze。求電子在原子核電場(chǎng)中的電勢(shì)能。C解：設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，有§16-6電荷系的靜電能

ElectrostaticEnergyofChargeSystem點(diǎn)電荷系的靜電能

將各個(gè)電荷從無(wú)窮遠(yuǎn)移到彼此鄰近的位置而形成電荷系，外力克服靜電場(chǎng)力所做的功，稱(chēng)為這個(gè)電荷系的靜電相互作用能，簡(jiǎn)稱(chēng)靜電能或互能。對(duì)任意點(diǎn)電荷系統(tǒng)總靜電能為除qi

外其他所有電荷在

qi

位置上所產(chǎn)生的電勢(shì)靜電能的推導(dǎo)§3-5靜電勢(shì)能考慮兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)：q1

和

q2。移動(dòng)電荷

q1

時(shí)，無(wú)靜電力作用，但

q1

就位后，在把

q2移到距

q1

距離為

r處的過(guò)程中，會(huì)受到

q1

產(chǎn)生電場(chǎng)的作用，克服此作用力外力需要做功：任意點(diǎn)電荷系統(tǒng)總靜電能的推導(dǎo)：q2移到q1產(chǎn)生電場(chǎng)中，克服此作用力外力需做功：先將q1移到r1處：所以帶電體系的相互作用能：W=A2=q2U12P1P2rq1和q2兩個(gè)點(diǎn)電荷相距的距離如果先將q2移來(lái)：A2＝0然后q1移到q2產(chǎn)生電場(chǎng)中，克服此作用力外力需做功：所以帶電體系的相互作用能：W’=A1=q1U21寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式：對(duì)任意離散點(diǎn)電荷系統(tǒng)總靜電能為除qi

外其他所有電荷在

qi

位置上所產(chǎn)生的電勢(shì)P1P2rq1和q2兩個(gè)點(diǎn)電荷相距的距離Q–dq

Q對(duì)連續(xù)分布的帶電體，分割它為諸多