第7章信號(hào)的時(shí)頻表示與小波變換7.1短時(shí)Fourier變換與Gabor變換7.2小波變換7.3離散小波變換的快速算法——Mallat算法7.4常用小波函數(shù)7.5小波變換的應(yīng)用7.1短時(shí)Fourier變換與Gabor變換滿足傅里葉積分定理的信號(hào)f(t)的傅里葉變換和逆變換定義為:(7-1)(7-2)為了了解信號(hào)的局部特征，人們最初想到的是通過(guò)預(yù)先加窗的辦法使頻譜反映時(shí)間局部特征，通常稱為短時(shí)Fourier變換（STFT）或加窗Fourier變換（WFT）。以符號(hào)g(t-b)表示以b為中心的窗函數(shù)g(t)的復(fù)共軛，記作(7-3)定義短時(shí)Fourier變換（STFT）為(7-4)時(shí)刻b的STFT是信號(hào)f(t)與可移動(dòng)窗函數(shù)g(t-b)乘積的Fourier變換。設(shè)窗函數(shù)g(t-b)的有效寬度為Dt，由于窗函數(shù)過(guò)濾了作用范圍外的信號(hào)，因此在一定程度上可以反映信號(hào)在時(shí)間域 的頻譜信息。圖7-1是窗口傅里葉變換的時(shí)域示意圖。圖7.1窗口Fourier變換的時(shí)域示意圖設(shè)g(t)的傅里葉變換為G(jΩ),在復(fù)頻域的有效寬度為DΩ，則Sb,Ω0(t)的傅里葉變換為G(jΩ-jΩ0)e-j(Ω-Ω0)b，根據(jù)Parseval恒等式可得(7-5)也就是說(shuō)，在時(shí)域范圍內(nèi)考察的是以b為中心，寬度為 的局部信號(hào)信息;在頻域范圍內(nèi)考察的是以Ω0

為中心，寬度為 的局部信息。換句話說(shuō)，經(jīng)過(guò)加窗，F(xiàn)ourier變換保留了信號(hào)的時(shí)間特征。首先，為了保證Fourier變換的有效性，窗函數(shù)必須是能量有限的;以L2(R)表示能量有限的信號(hào)的全體，則必有g(shù)(t)∈L2(R)。其次，為了具有時(shí)間和頻率定位能力，它必須具有時(shí)域和頻域范圍內(nèi)的有限寬度，也即同時(shí)滿足條件tg(t)∈L2(R)和ΩG(jΩ)∈L2(R)，這里G(jΩ)是g(t)的傅里葉變換。當(dāng)然，也要求G(jΩ)和g(t)是連續(xù)的。從前面的分析可以看出，對(duì)于給定的窗函數(shù)，其分辨力是特定的。窗函數(shù)只能在時(shí)間和頻率軸上平移，這就意味著無(wú)論高頻還是低頻，都使用一種尺度來(lái)衡量，這是不利于研究高頻和低頻信號(hào)的。而且可以證明，時(shí)域窗和頻域窗乘積恒定，不能同時(shí)取任意窄的窗函數(shù)。在取高斯函數(shù)（7-6）時(shí)，寬Dt與頻寬DΩ的乘積達(dá)到最小值的1/2，窗函數(shù)的性質(zhì)最好。信號(hào)f(t)的STFT成為(7-7)這就是有名的Gabor變換。現(xiàn)在，讓我們換一個(gè)角度來(lái)思考信號(hào)的變換。首先介紹幾個(gè)基本概念：函數(shù)空間：滿足一定條件的函數(shù)組成的集合稱函數(shù)空間。例如,全體平方可積函數(shù)構(gòu)成信號(hào)處理的典型空間L2(R)，定義在(0,2π)的全體平方可積函數(shù)構(gòu)成空間L2(0,2π)。在空間上定義向量加法與向量乘法則構(gòu)成線性空間。

基:線性空間中的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組稱為該空間的一組基。該空間的任一元素均是基的惟一線性組合。如e-jΩt是函數(shù)空間L2(0,2π)的一組基，所有函數(shù)均可由它惟一線性表出，表出系數(shù)稱為該函數(shù)在基上的坐標(biāo)。

內(nèi)積：在函數(shù)空間上常定義內(nèi)積 是函數(shù)f(t)與g(t)的定義域），內(nèi)積表征了兩信號(hào)的關(guān)系，信號(hào)與基的內(nèi)積實(shí)質(zhì)上就是信號(hào)在相應(yīng)基上的投影。標(biāo)準(zhǔn)正交基：設(shè)a1(t),a2(t),…,an(t)是函數(shù)空間的一組基，a1(t),a2(t),…,an(t)稱為基函數(shù)。如果任意兩互異基函數(shù)的內(nèi)積為0，即〈ai(t),aj(t)〉=0，i≠j，則稱這組基是正交基。若每一基函數(shù)長(zhǎng)度為1，即 ，則這組基是該函數(shù)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。顯然e-jΩt是函數(shù)空間L2(0,2π)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。令h(t)=ejΩt，則傅里葉變換和反變換可表示為:(7-8)(7-9)傅里葉變換的Paseval恒等式可表示為(7-10)令h(t)=ga(t-b)ejΩt后，Gabor變換或窗口變換的定義可表示為這表明，忽略基函數(shù)的具體形式，變換具有統(tǒng)一性。我們希望變換手段在考察信號(hào)的時(shí)候能根據(jù)信號(hào)的性質(zhì)而相應(yīng)地改變。如果能構(gòu)造出一種基函數(shù)具備這種適應(yīng)性，則利用變換的統(tǒng)一形式可構(gòu)造出一種新型的變換。幸運(yùn)的是，我們找到了這種變換。7.2小波變換7.2.1小波變換的定義

設(shè)函數(shù)φ(t)的傅里葉變換為Φ(jΩ)，若它滿足(7-12)式中，R*表示(-∞,0)∪(0,+∞)，則稱φ(t)為基本小波函數(shù)。式(7-12)常稱為小波函數(shù)的容許性條件。實(shí)際上，式(7-12)等價(jià)于(7-13)這就是說(shuō),φ(t)與整個(gè)橫軸所圍面積的代數(shù)和為0，也意味著其圖形應(yīng)圍繞橫軸上下波動(dòng)且定義域有限。同時(shí)，它還給出了另外一個(gè)信息，即Φ(jΩ)|Ω=0=0。

引入尺度因子a和平移因子b，設(shè)a,b∈R,a≠0,φ(t)在a,b作用下得到連續(xù)小波函數(shù)

(7-14)于是可以定義信號(hào)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換(CWT)為(7-15)利用Fourier變換的Parseval恒等式，易證得連續(xù)小波變換的逆變換(ICWT)為(7-16)7.2.2連續(xù)小波變換的性質(zhì)1.線性設(shè)信號(hào)f(t)=mf1(t)+nf2(t)，且它們對(duì)應(yīng)的小波變換分別為(Wφf(shuō)1)(a,b)和（Wφf(shuō)2)(a,b)，則存在(Wφf(shuō))(a,b)=m(Wφf(shuō)1)(a,b)+n(Wφf(shuō)2)(a,b)

2.時(shí)移性若信號(hào)f(t)的小波變換為(Wφf(shuō))(a,b)，則f(t-t0)的小波變換為(Wφf(shuō))(a,b-t0)。

3.尺度特性

若信號(hào)f(t)的小波變換為(Wφf(shuō))(a,b)，則f(ct)的小波變換為 。4.微分運(yùn)算(7-18)5.能量守恒(7-19)6.Moyal定理性質(zhì)5與性質(zhì)6實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)一的。7.2.3離散小波變換小波變換可以看成是把一維時(shí)間信號(hào)映射到二維空間，因而存在大量的冗余信息，能否適當(dāng)選取一些離散點(diǎn)的小波變換值來(lái)完整地描述信號(hào)？答案是肯定的。這就需要對(duì)尺度a和平移因子b進(jìn)行離散采樣。通常按某個(gè)常數(shù)a0的整數(shù)冪進(jìn)行取樣,即取a=a0j

(a0>0,j∈Z)。為了使采樣后不同尺度小波的頻帶相互鄰接排列，覆蓋整個(gè)正頻率軸，取b=kb0aj0(b0∈R,j∈Z)。則小波φa,b(t)變?yōu)?7-21)令a0=2，即得到著名的二進(jìn)小波，相應(yīng)的變換稱為二進(jìn)小波變換。令b0=1，則得到二進(jìn)正交小波。即(7-22)已經(jīng)證明，二進(jìn)正交小波是函數(shù)空間L2(R)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，相應(yīng)的小波變換稱為二進(jìn)正交小波變換。將式（7-22）代入式（7-15），則得到二進(jìn)離散小波變換（DWT）(7-23)進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，我們關(guān)心的是時(shí)域離散信號(hào)x(n)。定義序列x(n)的離散小波變換為(j,k,n∈Z)（7-24）7.3離散小波變換的快速算法——Mallat算法7.3.1多分辨分析與尺度函數(shù)我們將函數(shù)空間L2(R)直觀地表示在數(shù)軸上，如圖7-2所示。取一基準(zhǔn)空間V0，首先將其壓縮為原來(lái)的1/2，得到新的空間記為V1，同時(shí)在圖上直觀地看出形成了“兩段小空間”，即是V1和V1的補(bǔ)空間W1，顯然V0=V1⊕W1（表示空間的直和）;對(duì)空間V1做同樣的運(yùn)算，得到V2和W2。照這樣下去，得到一系列空間V0,V1,V2,…和W0,W1,W2,…。反過(guò)來(lái)對(duì)空間V0進(jìn)行擴(kuò)展，即加上空間W0形成V-1，使得V-1進(jìn)行1/2壓縮后可以形成空間V0，照此對(duì)V-1進(jìn)行擴(kuò)展，依次下去，得到一系列空間…V-2,V-1,V0和…W-2,W-1,W0。顯然，這些空間滿足下列關(guān)系：（1）單調(diào)性：VjVj-1,j∈Z；（2）漸進(jìn)完全性： （3）伸縮性：（4）平移不變性：（5）i≠j,Wi∩Wj=φ;j∈Z,Vj-1=Vj⊕Wj;i≤j,

圖7-2函數(shù)空間分解示意圖已經(jīng)證明，對(duì)空間V0存在函數(shù)λ(t)∈V0，使得｛λ(t-k),k∈Z｝構(gòu)成V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。即對(duì)于函數(shù)空間V0的任意一個(gè)函數(shù)x(t)都有由基函數(shù)構(gòu)成的惟一線性組合(7-25)常稱λ(t)為尺度函數(shù)。由于Vj的伸縮性，空間Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基為 。基λ(t)∈V0V-1，因而能被V-1空間的基 展開(7-26)該式被稱為尺度函數(shù)的“兩尺度關(guān)系式”。式中, 稱為尺度函數(shù)濾波器脈沖序列。

同樣,空間Ｗ0也存在標(biāo)準(zhǔn)正交基φ(t-k),k∈Z?？臻g序列Wj的標(biāo)準(zhǔn)正交基為 。由空間序列Wj的性質(zhì)，這組基將構(gòu)成完備空間L2(R)上具備小波特性的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，這就是我們的目標(biāo)。對(duì)于小波函數(shù)，同樣有尺度關(guān)系式(7-27)式中， 稱為小波函數(shù)濾波器脈沖序列。設(shè)λ(t),φ(t),｛hk｝和｛gk｝對(duì)應(yīng)的Fourier變換分別為Λ(jΩ)、Φ(jΩ),H(jΩ)和G(jΩ)。下面簡(jiǎn)單地列舉它們的一些性質(zhì)：(不予具體證明，有興趣的讀者可以參閱相應(yīng)的參考書。)（6）設(shè)尺度函數(shù)λ(t)∈L1(R)，｛hk｝是可和序列，且 ,則Λ(0)=1,Λ(2πk)=0(k≠0,k∈Z)，同時(shí)有H(0)=1,7.3.2Mallat算法Mallat算法是一種有效的小波變換的快速算法，其地位和作用相當(dāng)于FFT。

1.分解算法由于 因而空間Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基即尺度函數(shù) 和空間Wj的標(biāo)準(zhǔn)正交基即小波函數(shù) 均可由空間Vj-1的標(biāo)準(zhǔn)正交基 展開：（7-28）（7-29）于是有（7-30）和（7-31）對(duì)信號(hào)序列，以n代替t；同時(shí),令 令 令， ,則式（7-30）和式（7-31）可重寫為：（7-32）（7-33）這就是Mallat算法的分解算法。稱ajn為近似分量信號(hào)，dnj為細(xì)節(jié)分量。如圖7-3所示，圖中↓2表示“隔一抽一”，即樣點(diǎn)數(shù)減少一半。圖7-3小波分解的Mallat算法示意圖2.合成算法分解算法的逆過(guò)程即為合成算法，其計(jì)算公式為（7-34）如圖7-4所示，圖中↑2表示“以零內(nèi)插”，即樣點(diǎn)數(shù)增加一倍。圖7-4小波合成的Mallat算法示意圖7.4常用小波函數(shù)7.4.1Haar小波Haar小波是由A.Haar于1990年提出的一種最簡(jiǎn)單的小波函數(shù)，是在小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐（當(dāng)|t|充分大時(shí)φ(t)≡0）的正交小波函數(shù)，如圖7-5所示。其表達(dá)式為尺度函數(shù)0≤x≤1其他由于Haar小波函數(shù)不是連續(xù)可微的函數(shù)，因此應(yīng)用范圍有限，多用于理論研究。圖7-5Haar小波函數(shù)7.4.2Daubechies小波簡(jiǎn)稱D-小波，記為dbN（N是其階數(shù)，N=1即為Haar小波），它是具有緊支集的規(guī)范正交小波。dbN不具有解析式，且不具備對(duì)稱性，從而不具有線性相位，光滑性也較差。若要增加光滑性，則需增加其階數(shù)，而運(yùn)算量相應(yīng)地增加了很多。dbN小波具有N階消失矩。D-小波常用數(shù)表給出h(n)，g(n)由公式g(n)=(-1)N-1h(2N-n+1)n=1,2,…,2N

（7-35）表7-1Daubechies小波濾波器系數(shù)（低通濾波器）圖7-6dbN小波7.4.3Morlet小波Morlet小波沒有尺度函數(shù)，是非正交分解。常用復(fù)值orlet小波的表達(dá)式為(7-36)式中，C為常數(shù)。為簡(jiǎn)化運(yùn)算，常忽略最后一項(xiàng)且取Ω≥5，即Ω≥5(7-37)但這破壞了其收斂性，這在某些情況下有可能引起較大的誤差，有學(xué)者進(jìn)行了如下改進(jìn)：Ω≥0(7-38)Morlet是一種復(fù)值小波，能夠提取信號(hào)中的幅值和相位信息，具有很好的對(duì)稱性，適于做連續(xù)小波變換。圖7-7實(shí)值Morlet小波函數(shù)7.4.4墨西哥草帽小波（Bubble小波）小波函數(shù)(7-39)很明顯，該函數(shù)無(wú)窮次可微，因而對(duì)單獨(dú)的噪聲點(diǎn)不敏感，但由于它的獨(dú)特的時(shí)域性質(zhì)使它可以對(duì)信息進(jìn)行漫畫式的夸張，使信息特征點(diǎn)特別突出。通?？梢赃x取Gauss函數(shù)作為其尺度函數(shù)，即(7-40)而得到其Mallat算法所用的濾波器系數(shù)h(n)和g(n)，見表7-2。墨西哥草帽小波函數(shù)(Bubble小波)如圖7-8所示。圖7-8Bubble小波表7-2一組墨西哥草帽小波的h(n)和g(n)值墨西哥草帽小波主要用于圖像邊緣提取和對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行基音分析等。其他的小波函數(shù)還有可看成是對(duì)D-小波進(jìn)行改進(jìn)的Symlet小波和Coiflet小波，具有無(wú)限可微的Mayer小波和基于樣條的雙正交小波等，在相應(yīng)的領(lǐng)域都有特殊的用途。7.5小波變換的應(yīng)用7.5.1信號(hào)奇異點(diǎn)檢測(cè)信號(hào)奇異點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是時(shí)域上表象地出現(xiàn)了數(shù)學(xué)上定義的第一類或第二類間斷點(diǎn)；二是信號(hào)自身的性質(zhì)如頻率、相位等發(fā)生了變化。奇異點(diǎn)檢測(cè)的主要任務(wù)是確定變化發(fā)生的時(shí)間、強(qiáng)度及斷點(diǎn)類型等。

例7-1頻率改變信號(hào)的奇異點(diǎn)檢測(cè)。信號(hào)如圖7-9S欄所示，為一低頻信號(hào)在500點(diǎn)處突然變化為一較高頻信號(hào)。我們采用db5小波進(jìn)行5層分解，1－5層分解系數(shù)示為d1－d5，細(xì)節(jié)信號(hào)表示為a5，圖7-9d1清楚地表明了信號(hào)突變發(fā)生的時(shí)刻。圖7-9頻率斷點(diǎn)信號(hào)的小波檢測(cè)（小波：db5分解層次：5）

例7-2不連續(xù)信號(hào)的分析。圖7-10中表面看上去光滑的二階多項(xiàng)式曲線存在不連續(xù)點(diǎn)，分別采用db1，即Haar小波和db4小波對(duì)其進(jìn)行2層分解，顯然，db4小波可以很明確地對(duì)不連續(xù)點(diǎn)進(jìn)行定位，而db1小波的檢測(cè)顯然有些失敗。這是因?yàn)閐b4小波4階可導(dǎo)，也即其消失矩為4，對(duì)于二階多項(xiàng)式曲線有良好的信號(hào)抑制性能，因此，明確地表示了信號(hào)特征。而db1小波只具有