宏觀系統(tǒng)的微觀描寫宏觀系統(tǒng)的微觀描寫2/5/2023115統(tǒng)計(jì)方法分類宏觀系統(tǒng)由大量微觀粒子組成。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本觀念是：系統(tǒng)的宏觀特性是微觀粒子行為的集體表現(xiàn)。宏觀量是相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均。19世紀(jì)已經(jīng)在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)法。由于微觀粒子遵循量子規(guī)律，嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)法必須在量子力學(xué)的基礎(chǔ)上建立，叫做量子統(tǒng)計(jì)法。兩類統(tǒng)計(jì)法的基本統(tǒng)計(jì)原理相同，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)法是量子統(tǒng)計(jì)法在一定條件下的近似結(jié)果。在量子力學(xué)中，系統(tǒng)的量子態(tài)用波函數(shù)描寫，它滿足定態(tài)薛定諤方程：方程中的一個(gè)下標(biāo)代表一組完備的量子數(shù)，也叫守恒量完全集，而能量本征值一般取分立的數(shù)值。2/5/2023215廣義坐標(biāo)與廣義動量分析力學(xué)用廣義坐標(biāo)q

和廣義動量p

描寫粒子的運(yùn)動。直角坐標(biāo)系中的自由粒子：球坐標(biāo)系中的自由粒子：一般地考察有r

個(gè)自由度的系統(tǒng)。任意時(shí)刻的狀態(tài)由廣義坐標(biāo)與廣義動量的值確定：由r

個(gè)廣義坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)r

維位形空間，而r

個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動量構(gòu)成2r

維相空間。從經(jīng)典的觀點(diǎn)看，相空間中的一個(gè)點(diǎn)代表粒子的一種可能狀態(tài)，一條相軌代表一種可能的運(yùn)動方式。如果系統(tǒng)由多個(gè)沒有相互作用的粒子組成，則每個(gè)粒子都有三個(gè)自由度，分別對應(yīng)三個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義動量。如果組成系統(tǒng)的粒子之間有相互作用，則要加上約束條件，結(jié)果獨(dú)立的廣義坐標(biāo)與廣義動量的數(shù)目要減少。2/5/2023315相格與量子態(tài)原則上說，量子描述才是準(zhǔn)確的，但在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所處理的問題中，普朗克常數(shù)可以忽略。這時(shí)，物理客體的粒子性占主要地位，粒子近似地沿確定的軌道運(yùn)動，可以用半經(jīng)典方法加以描寫。因此，在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，粒子的運(yùn)動近似地用廣義坐標(biāo)和廣義動量描寫，但要加上量子力學(xué)的限制：在一維的情況下，這表示在二維相空間中一個(gè)面積為h

的小面元內(nèi)不可能準(zhǔn)確地確定粒子的狀態(tài)。把這結(jié)果推廣到有r

個(gè)自由度的系統(tǒng)，與面元對應(yīng)的就是一個(gè)2r

維相空間中的小體元，其相體積為。顯然，這樣一個(gè)小體元內(nèi)各點(diǎn)之間的差異可以忽略。把整個(gè)相空間看做由這樣的小體元組成，把每個(gè)小體元稱為一個(gè)相格，每個(gè)相格代表一個(gè)量子態(tài)。2/5/2023415量子態(tài)與玻爾茲曼系統(tǒng)在量子力學(xué)中，一個(gè)粒子的量子態(tài)由一組量子數(shù)描寫。兩組量子數(shù)只要有一對不一樣，這兩組數(shù)就不相同。由N

個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)就要由N

組數(shù)描寫。這N

組數(shù)的每一種排列代表系統(tǒng)的一種可能的量子態(tài)?？紤]由全同粒子組成的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)。由于相互作用極其微弱，每個(gè)粒子孤立存在時(shí)量子態(tài)的概率分布不會受到別的粒子的干擾；由于存在微弱的相互作用，粒子的狀態(tài)可以互相傳遞，最終使系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)。從經(jīng)典的角度看，每一個(gè)粒子都是可分辨的，要確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，必須確定每一個(gè)粒子的量子態(tài)。由于可分辨性，每個(gè)單粒子量子態(tài)可容納任意個(gè)粒子。具有這種性質(zhì)的全同粒子系叫做玻爾茲曼系統(tǒng)。2/5/2023515玻色系統(tǒng)與費(fèi)米系統(tǒng)從量子的角度看，全同粒子是不可分辨的，要確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，只能確定每一個(gè)單粒子態(tài)上的粒子數(shù)。由于交換對稱性，系統(tǒng)的波函數(shù)要么對稱要么反對稱。如果波函數(shù)關(guān)于交換對稱，其成員粒子叫做玻色子，由玻色子組成的全同粒子系叫做玻色系統(tǒng)。玻色系統(tǒng)不受泡利不相容原理的限制，處在同一單粒子態(tài)上的粒子數(shù)可以取任意值。如果波函數(shù)關(guān)于交換反對稱，其成員粒子叫做費(fèi)米子，由費(fèi)米子組成的全同粒子系叫做費(fèi)米系統(tǒng)。費(fèi)米系統(tǒng)遵從泡利不相容原理，每一個(gè)單粒子態(tài)(由一組量子數(shù)描寫)最多只能容納一個(gè)費(fèi)米子。玻色系統(tǒng)與費(fèi)米系統(tǒng)的這個(gè)差別必定造成這兩種系統(tǒng)所遵從的統(tǒng)計(jì)法有巨大差別。2/5/2023615量子態(tài)數(shù)的半經(jīng)典描寫考慮被限制在邊長為L的立方體內(nèi)的全同粒子系。分別考察對系統(tǒng)的半經(jīng)典描寫與量子描寫。在半經(jīng)典描寫中，三維自由粒子的能量表達(dá)式：如果系統(tǒng)的總能量等于E，則每個(gè)粒子的能量取值將有可能在0~E

之間變化，在6維相空間中，表征粒子運(yùn)動狀態(tài)的點(diǎn)所能到達(dá)的范圍的相體積：對能量的限制相當(dāng)于三維動量空間中的球體相格的體積在代表點(diǎn)能夠達(dá)到的范圍內(nèi)，相格的總數(shù)就是W。這就是能量等于E

的系統(tǒng)能夠容納的量子態(tài)的總數(shù)。2/5/2023715量子態(tài)數(shù)的量子描寫在量子描寫中，被限制在立方體內(nèi)的粒子的能量：如果系統(tǒng)的總能量等于E，每個(gè)粒子的能量取值仍然在0~E間變化。對能量的限制相當(dāng)于抽象的三維量子數(shù)空間中的球體的第一卦限：它的體積等于其中包含的相格的數(shù)目，正是總能量為E時(shí)可能的量子態(tài)總數(shù)：結(jié)果與用半經(jīng)典描寫得到的一樣。2/5/2023815能態(tài)密度自由粒子的自由度是3，對應(yīng)的相空間是6維的。根據(jù)相格的定義，在空間體積V內(nèi)，動量處于范圍內(nèi)，粒子的微觀態(tài)數(shù)在球坐標(biāo)系下，動量體積元對角度積分，就得到在空間體積V內(nèi)，動量的大小處于范圍內(nèi)，粒子的微觀態(tài)數(shù)由此得到在空間體積V內(nèi)，能量處于范圍內(nèi)，粒子的微觀態(tài)數(shù)單位能量間隔內(nèi)的微觀態(tài)數(shù)叫做能態(tài)密度或態(tài)密度如果把自旋考慮進(jìn)來，則要乘以自旋態(tài)數(shù)，對電子是22/5/2023915宏觀態(tài)與微觀態(tài)當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，各種宏觀量有確定的值。系統(tǒng)的宏觀態(tài)由一組完備的宏觀量(態(tài)參量)描寫。每一組態(tài)參量構(gòu)成一個(gè)抽象的狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)宏觀態(tài)。盡管系統(tǒng)的宏觀態(tài)確定，粒子的微觀運(yùn)動狀態(tài)仍然有各種可能性，并且在不斷地變化。系統(tǒng)的微觀態(tài)就是由一組完備的量子數(shù)決定的量子態(tài)?？紤]由N

個(gè)全同粒子組成的系統(tǒng)，它的總能量是E，這就是系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)。在這個(gè)宏觀態(tài)下，在各個(gè)單粒子能級上粒子數(shù)的分配可以有大量不同的方式：各種分配方式必須滿足2/5/20231015等概率假設(shè)系統(tǒng)的宏觀態(tài)確定后，各種微觀態(tài)以一定的概率出現(xiàn)。這反映出個(gè)別粒子的行為是受偶然性支配的。這意味著不可能也沒有必要追蹤微觀態(tài)的變化。系統(tǒng)有確定的宏觀量則反映出整體行為受必然性支配。這意味著宏觀行為必定是微觀行為的集體表現(xiàn)。于是，由大量粒子組成的系統(tǒng)遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在一定的宏觀條件下，在某個(gè)時(shí)刻，各種微觀態(tài)以一定的概率出現(xiàn)。確定這個(gè)概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的首要任務(wù)。沒有任何依據(jù)顯示，某個(gè)微觀態(tài)比其他微觀態(tài)更優(yōu)越。1871年，玻爾茲曼提出，對于處在平衡態(tài)的系統(tǒng)，各個(gè)可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。等概率假設(shè)如果平衡態(tài)下系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為W，則其中任意一個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率就是1/W。2/5/20231115粒子數(shù)按能級的分布考慮由N

個(gè)全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，它的總能量是E，這正是系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)。單粒子能級：這個(gè)能級的簡并度：該能級上的粒子數(shù)：粒子數(shù)按能級的一個(gè)分布：對于一個(gè)確定的系統(tǒng)，所有可能實(shí)現(xiàn)的分布必須滿足：一個(gè)簡單例子：滿足這兩個(gè)約束條件的可能實(shí)現(xiàn)的分布是大量的，每一個(gè)可能的分布對應(yīng)有多個(gè)可能的微觀態(tài)，每一個(gè)微觀態(tài)只對應(yīng)于一個(gè)可能的分布。2/5/20231215玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀態(tài)在玻爾茲曼系統(tǒng)中，組成系統(tǒng)的粒子是可分辨的，Ni個(gè)粒子的每一個(gè)都可以占據(jù)ei

能級上wi個(gè)量子態(tài)中的任何一個(gè)，有wi種可能的占據(jù)方式。Ni個(gè)粒子占據(jù)ei

能級上wi個(gè)態(tài)的占據(jù)數(shù)為考慮一個(gè)確定的分布個(gè)可分辨的粒子分別占據(jù)上各個(gè)量子態(tài)的可能的占據(jù)數(shù)為另一方面，由于粒子是可分辨的，因此，一個(gè)分布共有種組合方式。與一個(gè)確定的分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)假定能量為ei

的粒子在相空間中占據(jù)的相體積為Dwi

，則對應(yīng)的半經(jīng)典表達(dá)式：2/5/20231315玻色系統(tǒng)的微觀態(tài)對玻色系統(tǒng)，粒子占據(jù)各量子態(tài)的方式可以這樣考慮：把態(tài)看做盒子，粒子看做小球，盒子右邊的小球?qū)儆谠摵凶?。暫時(shí)把盒子與小球看做是相同的物體。這相當(dāng)于盒子與球一起做排列，但是第一個(gè)位置必須放置一個(gè)態(tài)。共有排列數(shù)等于盒子相互交換位置或小球相互交換位置不影響結(jié)果。只有組合數(shù)才有測量意義：這就是Ni個(gè)粒子占據(jù)wi個(gè)量子態(tài)的可能的占據(jù)數(shù)。與一個(gè)確定的分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)2/5/20231415費(fèi)米系統(tǒng)的微觀態(tài)如果系