第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

基本內(nèi)容與學(xué)習(xí)要求掌握平面圖形的形心、靜矩、慣性矩、極慣性矩和平行移軸公式的應(yīng)用；了解轉(zhuǎn)軸公式；掌握平面圖形的形心主慣性軸、形心主慣性平面和形心主慣性矩的概念。知識(shí)要點(diǎn)與重點(diǎn)難點(diǎn)靜矩與形心；慣性矩、極慣性矩、慣性積；平行移軸公式；移軸公式；主慣性軸的概念；形心主慣性軸、形心主慣性平面與形心主慣性矩的概念；形心主慣性軸確定、形心主慣性矩計(jì)算。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

一靜矩、形心及相互關(guān)系二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑三平行移軸定理四轉(zhuǎn)軸定理五形心主軸、形心主矩第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

為什么要研究平面圖形的幾何性質(zhì)材料力學(xué)的研究對(duì)象為桿件,桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。桿件的承載能力,不僅與截面大小有關(guān),而且與截面的幾何形狀有關(guān)。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

課堂小實(shí)驗(yàn)相同的材料、相同的截面積,截面的幾何形狀不同,承載能力差異很大。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

研究平面圖形幾何性質(zhì)的方法:化特殊為一般實(shí)際桿件的橫截面第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

平面圖形的幾何性質(zhì)包括:

形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、主慣性矩等第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

一靜矩、形心及相互關(guān)系z(mì)yOdAyz圖形對(duì)于y

軸的靜矩圖形對(duì)于z

軸的靜矩第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系定義AzyOdAyzzyOzCCyC分力之矩之和合力之矩第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系計(jì)算靜矩與形心坐標(biāo)之間的關(guān)系

已知靜矩可以確定圖形的形心坐標(biāo)

已知圖形的形心坐標(biāo)可以確定靜矩第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系組合圖形的靜矩與形心計(jì)算性質(zhì):①靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的,靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)②截面對(duì)某一軸的靜矩等于零,則該軸必通過(guò)形心。③截面對(duì)通過(guò)形心軸的靜矩恒等于零。即:

第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系決定因素:靜矩與截面尺寸、形狀、軸的位置有關(guān)。數(shù)值范圍:可以為正、或負(fù)、或等于零。單位:mm3

、cm3

、m3第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系

例題試確定圖示梯形面積的形心位置，及其對(duì)底邊的靜矩。解：圖形對(duì)底邊的靜矩形心位置abhzyOC1C2第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系第8章平面圖形的幾何性質(zhì)二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑－圖形對(duì)y軸的慣性矩－圖形對(duì)z軸的慣性矩－圖形對(duì)yz軸的慣性積－圖形對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩zyOdAyzA第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑定義：－圖形對(duì)y軸的慣性半徑－圖形對(duì)z軸的慣性半徑zyOdAyz第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑定義：第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑zyOdAyz計(jì)算：zyOdAyzA第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑慣性矩與極慣性矩之間的關(guān)系：性質(zhì)：1、慣性矩和慣性積是對(duì)一定軸而定義的，而極慣矩，是對(duì)點(diǎn)定義的。2、任何平面圖形對(duì)于通過(guò)其形心的對(duì)稱軸和與此對(duì)稱軸垂直的軸的慣性積為零。3、對(duì)于面積相等的截面，截面相對(duì)于坐標(biāo)軸分布的越遠(yuǎn)，其慣性矩越大。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑?jīng)Q定因素:截面形狀、尺寸、軸的位置。數(shù)值范圍:慣性矩、極慣性矩和慣性半徑恒為正;

慣性積可以為正、為負(fù)、為零。單位:慣性矩、極慣性矩和慣性積的單位相

同,均為mm4

、cm4

、m4

慣性半徑:mm、cm、m第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系例題矩形截面慣性矩的計(jì)算hozybydy同理：第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/一靜矩、形心及相互關(guān)系例題圓截面慣性矩、極慣性矩計(jì)算ddACyz第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/二慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑第8章平面圖形的幾何性質(zhì)三平行移軸定理

移軸定理是指圖形對(duì)于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。即通過(guò)已知圖形對(duì)于一對(duì)坐標(biāo)的慣性矩、慣性積，求圖形對(duì)另一對(duì)坐標(biāo)的慣性矩與慣性積。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/三平行移軸定理zcycyzOadA在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/三平行移軸定理

應(yīng)用平行移軸定理應(yīng)注意的問(wèn)題

兩平行軸中，必須有一軸為形心軸,截面對(duì)任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系,應(yīng)通過(guò)平行的形心軸慣性矩來(lái)?yè)Q算。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/三平行移軸定理例題試求圖示三角形：（1）對(duì)z軸靜矩；

（2）對(duì)z軸的慣性矩；（3）對(duì)z1軸的慣性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzc

例題圖示為三個(gè)等直徑圓相切的組合問(wèn)題,求對(duì)形心軸zc的慣性矩.O1O2O3zcO2、O3到zc軸的距離O1到zc軸的距離四轉(zhuǎn)軸定理第8章平面圖形的幾何性質(zhì)

所謂轉(zhuǎn)軸定理是研究坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圖形對(duì)這些坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。

第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理zyOz1y1dAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z1第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理zyOz1y1dAyzy1z1第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理

圖形對(duì)一對(duì)垂直軸的慣性矩之和與轉(zhuǎn)軸時(shí)的角度無(wú)關(guān)，即在軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其和保持不變。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理zyOz0y000dAyzy0z0y0、z0－通過(guò)O點(diǎn)的主軸平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理

當(dāng)

改變時(shí)，Iyl、Izl的數(shù)值也發(fā)生變化，而當(dāng)=0時(shí)，二者分別為極大值和極小值。Iy0、Iz0－主慣性矩zyOz0y000dAyzy0z0第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理主慣性矩：第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理

對(duì)于任意一點(diǎn)（圖形內(nèi)或圖形外）都有主軸，而通過(guò)形心的主軸稱為形心主軸，圖形對(duì)形心主軸的Iy慣性矩稱為形心主慣性矩，簡(jiǎn)稱形心主矩。工程計(jì)算中有意義的是形心主軸與形心主矩。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/四轉(zhuǎn)軸定理五形心主軸、形心主矩第8章平面圖形的幾何性質(zhì)第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩1主慣性軸、主慣性矩對(duì)于任何形狀的截面,總可以找到一對(duì)特殊的直角坐標(biāo),使截面對(duì)于這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零。慣性積等于零的一對(duì)坐標(biāo)軸就稱為該截面的主慣性軸,而截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩2形心主慣性軸、形心主慣性矩當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí),他們就被稱為該截面的形心主慣性軸。而截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩就稱為形心主慣性矩。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩

(1)如果平面圖形有一條對(duì)稱軸,則此軸必定是形心主慣性軸,而另一條形心主慣性軸通過(guò)形心,并與此軸垂直.觀察法確定形心主軸的位置:第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩

(2)如果平面圖形有兩條對(duì)稱軸,則此兩軸都為形心主慣性軸.第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩

(3)如果平面圖形具有三條或更多條對(duì)稱軸,那么通過(guò)證明后可以知道:過(guò)該圖形形心的任何軸都是形心主慣性軸,而且該平面圖形對(duì)于其任一形心慣性軸的慣性矩都相等。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩對(duì)于沒(méi)有對(duì)稱軸的截面,其形心主慣性軸的位置通過(guò)轉(zhuǎn)軸定理確定。第8章平面圖形的幾何性質(zhì)/五形心主軸、形心主矩(1)矩形截面的形心主慣性矩

常見(jiàn)截面的形心主矩:(2)圓形截面的形心主慣性矩

例題：求圖示截面形心軸YC和ZC的慣性矩解：1.取參考軸Z2.求形心則a1＝2cm，a2＝2cm。3.求對(duì)形心軸的慣性矩Zz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc12（yc）在下列關(guān)于平面圖形的結(jié)論中，（）是錯(cuò)誤的。A.圖形的對(duì)稱軸必定通過(guò)形心；B.圖形兩個(gè)對(duì)稱軸的交點(diǎn)必為形心；D.使靜矩為零的軸必為對(duì)稱軸。C.圖形對(duì)對(duì)稱軸的靜矩為零；D在平面圖形的幾何性質(zhì)中，（）的值可正、可負(fù)、也可為零。A.靜矩和慣性矩；B.極慣性矩和慣性矩；C.慣性矩和慣性積；D.靜矩和慣性積。D課程練習(xí)題

圖示任意形狀截面，它的一個(gè)形心軸zc把截面分成Ⅰ和Ⅱ兩部分，在以下各式中，（）一定成立。ⅠⅡZCC課程練習(xí)題

圖a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設(shè)它們對(duì)對(duì)稱軸x的慣性矩分別為對(duì)對(duì)稱軸y的慣性矩分別為，則（）。C課程練習(xí)題圖示半圓形，若圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）。xyD課程練習(xí)題

任意圖形的面積為A，x0軸通過(guò)形心C，x1

軸和x0軸平行，并相距a，已知圖形對(duì)x1

軸的慣性矩是I1，則對(duì)x0

軸的慣性矩為（）。B課程練習(xí)題

設(shè)圖示截面對(duì)y軸和x軸的慣性矩分別為Iy、Ix，則二者的大小關(guān)系是（）。B課程練習(xí)題

圖示任意形狀截面，若Oxy軸為