第三節(jié)盡可能地描述函數(shù)曲線：判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，尋找特殊點(diǎn)—極值及拐點(diǎn)，曲線的凸性與漸近線機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用

第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束幾何上解釋：

1.導(dǎo)數(shù)大于零：切線斜率大于0，單調(diào)增

2.導(dǎo)數(shù)小于零：切線斜率小于0，單調(diào)減回憶：函數(shù)曲線在局部看成斜率為f’(x)的直線。例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束y在y在二、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時,(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得不可導(dǎo)點(diǎn)：3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn)：(2)

最大值最小值機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:

當(dāng)在上單調(diào)時,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義.

對于可導(dǎo)單調(diào)函數(shù)，對應(yīng)的函數(shù)曲線(1)往上凸：位于該曲線上任一點(diǎn)切線的下方。該曲線被稱為上凸曲線，對應(yīng)的函數(shù)稱為上凸函數(shù)。(2)往下凸：位于該曲線上任一點(diǎn)切線的下方。該曲線被稱為下凸曲線，對應(yīng)的函數(shù)稱為下凸函數(shù)。

函數(shù)曲線上凸與下凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.三、曲線的凸性與拐點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.(凸性判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)是下凸的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)是上凸的.“證”:從前面圖像可觀察到：下凸：曲線切線斜率越來越大，即導(dǎo)函數(shù)單增；二階導(dǎo)數(shù)>0.上凸：曲線切線斜率越來越小，即導(dǎo)函數(shù)單減；二階導(dǎo)數(shù)<0.

嚴(yán)格證明見P71定理3.13：利用一階泰勒公式（P71定理3.12)可得。

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例4.判斷曲線的凸性.解:故曲線在上是向上凸的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:則曲線的凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點(diǎn)是曲線的一個拐點(diǎn).例5.求曲線的凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).下凸下凸上凸機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束點(diǎn)M

與某一直線L的距離趨于0,四、曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點(diǎn)M

沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時,則稱直線L為曲線C

的漸近線.或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束只講：

水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例6.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.根據(jù)第二步判別增減及上下凸區(qū)間4.求水平和垂直漸近線;5.在坐標(biāo)上描出這些特殊點(diǎn),再依據(jù)上面其他三個步驟逐段描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn)，以及對應(yīng)的極值和拐點(diǎn)（統(tǒng)稱特殊點(diǎn)）;并考察其對稱性及周機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

描繪的圖形.解:1)定義域?yàn)闊o對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn)）(極小)4)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.描繪方程的圖形.解:1)定義域?yàn)?)求特殊點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為垂直漸近線無定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5）繪圖(極大)(極小)綠色斜漸近線不用畫?。。〈怪睗u近線特殊點(diǎn)