第三章泊松過程與更新過程教師

徐鳳xdiao_3@1第二章Poission過程及更新過程23.0計(jì)數(shù)過程定義稱一個(gè)隨機(jī)過程是一個(gè)計(jì)數(shù)過程(pointprocess),若N(t)滿足:1)N(t)取非負(fù)整數(shù)值；2）若s<t,則N(t)-N(s)等于區(qū)間(s,t]中“事件”發(fā)生的次數(shù).33.1Poission過程的定義背景:考慮在時(shí)間間隔(0,t]中某保險(xiǎn)公司收到的某類保險(xiǎn)的理賠次數(shù)N(t),它是一個(gè)計(jì)數(shù)過程.此類過程有如下特點(diǎn):(1)零初值性：N（0）=0；(2)獨(dú)立增量性：在不同的時(shí)間區(qū)段內(nèi)的理賠次數(shù)彼此獨(dú)立；(3)平穩(wěn)增量性:在同樣長的時(shí)間區(qū)段內(nèi)理賠次數(shù)的概率規(guī)律是一樣的;(4)普通性:在非常短的時(shí)間區(qū)段Δt內(nèi)的理賠次數(shù)幾乎不可能超過1次,且發(fā)生1次理賠的概率近似與Δt成正比.(稀有事件)4定義3.1.1計(jì)數(shù)過程{N(t),t0}稱為具有參數(shù)(或強(qiáng)度)

的Poission過程(或Poission

流)，如果1）N(0)=0;2）具有獨(dú)立增量性;3）滿足增量平穩(wěn)性;4）對(duì)于任意t>0和充分小的，有

其中為的高階無窮小。λ又稱為Poission過程的強(qiáng)度系數(shù)5定理3.1.1

若{N(t),t0}為Poission過程，則利用定理3.1.1,可得到Poission過程的等價(jià)定義:即定義3.1.2

計(jì)數(shù)過程{N(t),t0}稱為具有參數(shù)(或強(qiáng)度)λ

的Poission過程，如果1）N(0)=0，2）具有獨(dú)立增量性，3）此即注：泊松過程的數(shù)字特征與特征函數(shù)

泊松過程的均值函數(shù)泊松過程的方差函數(shù)泊松過程的均方值函數(shù)泊松過程的自相關(guān)函數(shù)泊松過程的自協(xié)方差函數(shù)8例

3.1.1（Poisson過程在排隊(duì)論中的應(yīng)用）設(shè)某火車站售票從早上8:00開始，此售票處連續(xù)售票，乘客以10人/小時(shí)的速率到達(dá)，求以下（1）9:00-10:00間最多有5名乘客來此購票的概率（2）10:00-11:00沒有人來買票的概率（3）若已知8:00-11:00有10個(gè)人來買票，則9:00-10:00間有5名乘客買票的概率。例

3.1.2（事故發(fā)生次數(shù)及保險(xiǎn)公司接到的索賠數(shù)）設(shè)保險(xiǎn)公司接到的索賠請(qǐng)求為以Poisson過程{N(t)},又假設(shè)每次的賠付都是1，每月平均接到索賠要求為4次，則一年中保險(xiǎn)公司要支付的金額平均是多少？9例

3.1.3設(shè)N(t)表示[0,t]時(shí)段內(nèi)事件A的發(fā)生次數(shù),且{N(t),t0}形成強(qiáng)度為λ的Poisson過程.如果每次事件A發(fā)生時(shí)以概率p能夠被記錄下來,并以M(t)表示到t時(shí)刻記錄下來的事件總數(shù),試證明{M(t),t0}形成強(qiáng)度為λp的Poisson過程.解：對(duì)照Poisson過程的定義3.1.21){M(t),t0}是一計(jì)數(shù)過程,且M(0)=0;2)每次事件發(fā)生時(shí)，對(duì)它的記錄與對(duì)其它事件的記錄獨(dú)立，故{M(t),t0}具有獨(dú)立增量性；只需驗(yàn)證3)10由全概率公式，11例

3.1.4若每條蠶的產(chǎn)卵數(shù)服從Poisson分布，強(qiáng)度為λ，而每個(gè)卵變成為成蟲的概率為p，且每條卵是否變?yōu)槌上x彼此之間沒有關(guān)系，求在時(shí)間[0,t]內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k只小蠶的概率。例

3.1.5觀察資料表明，天空中星體數(shù)服從Poisson分布，其參數(shù)為λV,這里V是被觀察區(qū)域的體積。若每個(gè)星球上有生命體存在的概率為p,則在體積為V的宇宙空間中有生命體存在的星球數(shù)的分布是怎樣的？3.2泊松過程的性質(zhì)

3.2.1到達(dá)時(shí)間間隔與到達(dá)時(shí)刻的分布12設(shè){N(t),t0}為泊松過程，N(t)表示在[0,t]內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，令，表示第k個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻;表示第k-1個(gè)事件與第k個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，即先討論到達(dá)時(shí)間間隔的Tk分布.13定理3.2.1到達(dá)時(shí)間間隔序列相互獨(dú)立同分布，且服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.定理3.2.1

提供了Poisson過程的參數(shù)估計(jì)方法.設(shè)事件的發(fā)生過程{N(t),t0}為Poisson過程.某日從0點(diǎn)開始,記錄到事件發(fā)生時(shí)刻為0:33,1:00,2:27,3:05,3:36的取值:t1<t2<,…,<tnT.試用極大似然法估計(jì)該過程的強(qiáng)度λ.練習(xí)14參數(shù)λ的極大似然估計(jì):一般地,若從0時(shí)刻開始,觀察到Poisson過程{N(t),t0}的一段樣本軌道:τ1,…,τn的取值:t1<t2<,…,<tn,由于,τ1,τ2-τ1,…,τ

n-τn-1獨(dú)立同指數(shù)分布,于是似然函數(shù)為令得λ的極大似然估計(jì)為:15定理3.2.2

到達(dá)時(shí)間的概率密度函數(shù)為證明注：1）的特征函數(shù)為分布函數(shù)為：16例3.2.2

設(shè)一系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)承受的沖擊數(shù){N(t),t0}是參數(shù)為λ的泊松過程，第i次受沖擊的損失為Di.設(shè){Di,i1}獨(dú)立同分布,且與{N(t),t0}獨(dú)立,且損失隨時(shí)間按負(fù)指數(shù)衰減,即t=0時(shí)損失為D,在t時(shí)損失為,設(shè)損失是可加的,那么到系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)受到?jīng)_擊的損失之和為其中τi為第i次沖擊到達(dá)的時(shí)刻,求17定理3.2.3若計(jì)數(shù)過程{N(t),t0}的到達(dá)時(shí)間間隔序列是相互獨(dú)立同參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則{N(t),t0}是參數(shù)為λ的泊松過程.定理3.2.3提供了對(duì)泊松過程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬及其統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)與方法，只需產(chǎn)生n個(gè)同指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù),將其作為Ti,i=1,…即可得到Poisson過程的一條樣本軌道.18要檢驗(yàn){N(t),t0}是否為Poisson過程,可轉(zhuǎn)化為檢驗(yàn)相鄰兩次跳躍間隔時(shí)間{Tn=tn–tn-1,n1}是否為指數(shù)分布總體的i.i.d樣本.課外練習(xí)設(shè)觀察到某記數(shù)過程{N(t),t0}的一段樣本軌道τ1,…,τ50的取值如下,檢驗(yàn){N(t),t0}是否為Poisson過程.

0.03,0.76,1.01,1.37,1.43,1.56,1.95,3.95,4.05,4.45,4.70,4.81,4.85,5.00,5.87,6.32,6.36,6.40,6.85,6.90,8.33,8.85,8.95,11.26,12.25,13.04,13.85,14.11,14.76,15.56,17.65,17.80,18.20,18.24,18.62,19.06,19.14,19.46,20.26,20.46,20.55,22.51,22.70,23.19,23.28,23.63,23.80,24.22,24.81,25.6519設(shè)有n位顧客在0時(shí)刻排隊(duì)進(jìn)入僅有一個(gè)服務(wù)員的系統(tǒng).假定每位顧客的服務(wù)時(shí)間獨(dú)立,均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.以N(t)表示到t時(shí)刻為止已被服務(wù)過的顧客人數(shù).求（1）E[N(t)];（2）第n位顧客等候服務(wù)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望;

(3)第n位顧客能在t時(shí)刻之前完成服務(wù)的概率.提示:的分布函數(shù)是練習(xí)20解:（1）由定理3.2.3,{N(t),t≥0}為強(qiáng)度λ的possion過程，故E[N(t)]=λt；（2）記第n位顧客完成服務(wù)的時(shí)間為，根據(jù)定理3.2.2,第n位顧客等候服務(wù)時(shí)間為(3)根據(jù)定理3.2.2,或3.2.2到達(dá)時(shí)刻的條件分布21本節(jié)討論在給定N(t)=n的條件下，的條件分布及其有關(guān)性質(zhì)。這個(gè)定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性，從而在已知[0,t]上有1個(gè)事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的時(shí)間τ1應(yīng)該服從[0，t]上的均勻分布。對(duì)此我們自然要問：(1)這個(gè)性質(zhì)是否可推廣到的情形？(2)這個(gè)性質(zhì)是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是否成立？定理3.2.4

設(shè)是泊松過程，則對(duì)有22為回答(1),需要如下關(guān)于順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì):若{Ui,1in}在[0,t]上獨(dú)立同均勻分布,則其順序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合密度函數(shù)為定理3.2.5設(shè){N(t),t≥0}為參數(shù)(或強(qiáng)度)λ的泊松過程，若在[0,t)內(nèi)有n個(gè)事件相繼到達(dá)，則n個(gè)到達(dá)時(shí)刻的聯(lián)合分布和n個(gè)[0,t)上獨(dú)立同均勻分布的隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布相同.23設(shè)一系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)承受的沖擊數(shù){N(t),t0}是參數(shù)為λ的泊松過程，第i次受沖擊的損失為Di.設(shè){Di,i1}獨(dú)立同分布,且與{N(t),t0}獨(dú)立,且損失隨時(shí)間按負(fù)指數(shù)衰減,即t=0時(shí)損失為D,在t時(shí)損失為,設(shè)損失是可加的,那么到系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)受到?jīng)_擊的損失之和為其中τi為第i次沖擊到達(dá)的時(shí)刻,求用定理3.2.5解例3.2.2練習(xí)：24則{N(t),t≥0}為泊松過程.……證略.定理3.2.6

設(shè){N(t),t≥0}為計(jì)數(shù)過程，Tn為第n個(gè)事件與第n-1個(gè)事件的時(shí)間間隔，獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為F(x),若F(0)=0，且對(duì),都有對(duì)問題(2),即逆命題,有如下定理:定理3.2.7

設(shè){N(t),t≥0}為躍度為1的計(jì)數(shù)過程，滿足，t>0,N(t)P(λt),且在N(t)=n條件下，的條件概率密度是則{N(t),t≥0}為泊松過程.

……證略3.3泊松過程的疊加與分解1.泊松過程的疊加定理3.3.1

：設(shè)與為相互獨(dú)立且強(qiáng)度分別為，的泊松過程，則仍為泊松過程。且其強(qiáng)度為二泊松過程的強(qiáng)度之和。（即兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程的疊加仍為泊松過程）例3.3.1：設(shè)乘客從南北兩個(gè)方向在[0,t)時(shí)段內(nèi)到達(dá)同一飛機(jī)場的人數(shù)為，,分別服從強(qiáng)度為與的泊松過程，試求在時(shí)段內(nèi)到達(dá)機(jī)場的人數(shù)的平均值。解：依題意，(k=1,2)，且相互獨(dú)立，到達(dá)機(jī)場的總?cè)藬?shù)即為,服從強(qiáng)度為的泊松過程，故在[0,t)時(shí)段內(nèi)到達(dá)機(jī)場的人數(shù)均值為2.泊松過程的分解定理3.3.2：設(shè)，是強(qiáng)度為λ的泊松過程。為進(jìn)入子系統(tǒng)A的質(zhì)點(diǎn)數(shù);為進(jìn)入系統(tǒng)B的質(zhì)點(diǎn)數(shù).則的分解過程與相互獨(dú)立，分別是強(qiáng)度為與的泊松過程。例3.3.2

：設(shè)某個(gè)汽車站有A，B兩輛跑同一路線的長途汽車。設(shè)到達(dá)該站的旅客數(shù)是一泊松過程，平均每10分鐘到達(dá)15位旅客，而每個(gè)旅客進(jìn)入A車或B車的概率分別為2/3與1/3。試求進(jìn)入A車與進(jìn)入B車的旅客數(shù)的概率分布。

解：由平均10分鐘內(nèi)到達(dá)車站15位旅客知，到達(dá)旅客的強(qiáng)度=15/10=1.5（人/分）故在[0,t)時(shí)段內(nèi)進(jìn)入該汽車站的旅客數(shù)N(t)的分布為由定理3.3.2知，在[0,t)時(shí)段內(nèi)進(jìn)入A車的旅客數(shù)也是一個(gè)泊松過程，且其強(qiáng)度為p=1.5*(2/3)=1（人/分）。因此同理進(jìn)入B車的旅客數(shù)也是一個(gè)泊松過程且有3.4Poission過程的推廣31(3)若,則定理3.4.1

(1){X(t),t0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程;(2)其特征函數(shù)為定義3.4.1

設(shè){N(t),t0}為強(qiáng)度為λ

Poission過程,{Yi,i1}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且{Yi,i1}與{N(t),t0}獨(dú)立,記稱{X(t),t0}為復(fù)合Poission過程(compoundpoissonprocesses).32例3.4.1設(shè)保險(xiǎn)公司在[0,t]時(shí)段內(nèi)接到的索賠次數(shù)N(t)形成強(qiáng)度為λ的Poisson流,且設(shè)保險(xiǎn)公司第i次賠償額是Yi,{Yi,i=1,2,…}獨(dú)立同正態(tài)分布,則每月要付出的賠償額服從什么分布？一年中它要付出的平均金額是多少?解：[0，t]內(nèi)賠償額形成復(fù)合Poission過程，每月要付出的賠償額特征函數(shù)為一年中它要付出的平均金額是33條件Poisson過程定義3.4.2

設(shè)Λ是一個(gè)正的隨機(jī)變量,分布函數(shù)為G(x),x0,設(shè){N(t),t0}是一計(jì)數(shù)過程,且當(dāng)給定Λ=λ時(shí),{N(t),t0}是一Poisson過程,即

,有稱{N(t),t0}是條件Poisson過程.定理3.4.2

設(shè){N(t),t0}是條件Poisson過程,且則(2)E[N(t)]=tEΛ(3)34例3.4.2

設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響,有兩種可能λ1,λ2,且0<p<1為已知.且當(dāng)給定Λ=λi時(shí),[0,t]時(shí)段內(nèi)事故次數(shù)N(t)形成一強(qiáng)度為λiPoisson流.已知到時(shí)刻t為止已發(fā)生了n次事故,求[t,t+s]時(shí)段內(nèi)無事故的概率.解：在Λ=λi的條件下，N(t)是強(qiáng)度為λi

的Poisson流.P{[t,t+s]時(shí)段內(nèi)無事故|N(t)=n}3536非齊次Poisson過程當(dāng)Poisson過程的強(qiáng)度λ隨時(shí)間t變化時(shí),Poisson過程被推廣成為非齊次Poisson過程.在實(shí)際中,非齊次Poisson過程也是比較常用的.例如在考慮設(shè)備故障率時(shí),由于設(shè)備使用年限的變化,出故障的可能性會(huì)隨之變化;放射性物質(zhì)的衰變速度,會(huì)因各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲產(chǎn)卵的平均數(shù)量隨年齡和季節(jié)的變化而變化等.定義3.4.3

隨機(jī)過程{N(t),t0}稱為具有強(qiáng)度函數(shù)λ(t)

的非齊次Poisson過程，如果1）是一計(jì)數(shù)過程,且N(0)=0，2）具有獨(dú)立增量性，3）對(duì)任意實(shí)數(shù)t0,s>0,N(t+s)-N(t)為具有參數(shù)的Poisson分布.37

設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年,在前5年內(nèi)它平均2.5年需要維修一次,后5年平均2年需要維修一次.試求它在使用期內(nèi)只維修過一次的概率練習(xí)383.5更新過程一個(gè)計(jì)數(shù)過程,若它們相鄰事件到達(dá)時(shí)間間隔Tn是指數(shù)分布,則此過程為Poisson流.若是一般分布,則此過程為更新過程(renewalprocesses).

更新機(jī)器零件問題是更新過程的典型例子.某機(jī)器上有一個(gè)零件是易損件,每當(dāng)它損壞時(shí),就要換上新的零件.t=0時(shí)開始裝上一個(gè)零件,機(jī)器持續(xù)地運(yùn)轉(zhuǎn)一段時(shí)間T1,該零件損壞,立即用壽命T2的零件來更換,這樣不斷地進(jìn)行下去,關(guān)于這一列{Tn}的更新過程{N(t),t0}就表示到t時(shí)刻為止更換的零件數(shù).393.5.1更新過程的定義

則稱{N(t),t0}為更新過程。顯然,更新過程是一個(gè)計(jì)數(shù)過程.在更新過程中,我們將事件發(fā)生一次叫作一次更新,從而定義中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的時(shí)間,τn是第n次更新發(fā)生的時(shí)刻.N(t)就是t時(shí)刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù).定義3.5.1

設(shè)為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為F(x),且F(0)<1。令τ0=0，記40?更新過程一定是獨(dú)立增量過程嗎?設(shè)更新過程的基本結(jié)論：

過程的統(tǒng)計(jì)特性可由序列的共同分布完全刻畫；N(t)是關(guān)于t的單調(diào)遞增階梯函數(shù)，對(duì)于固定的t，N(t)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量；的分布函數(shù)為41

,即在有限時(shí)間內(nèi)不可能進(jìn)行無窮次更新.N(t)的概率分布為42例3.5.1

設(shè)更新過程的更新間距服從參數(shù)為m,λ

的Gamma分布，即的概率密度函數(shù)為

求注：1）的特征函數(shù)為分布函數(shù)為：3.5.2更新函數(shù)

43令,稱為過程{N(t),t0}的