獨立性檢驗的基本思想在現(xiàn)實生活中，會遇到各種各樣的變量，并需要研究它們之間的關系，觀察下面兩組變量，分析在取不同的“值”時表示的個體有何差異?

(1)國籍、宗教信仰、性別（2）成績、身高、年齡（1）中的變量每取不同的“值”時，表示不同的類別；（2）中的變量每取不同的“值”時，表示不同的個體。獨立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗問題。在日常生活中，我們常常關心分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？性別是否對于喜歡數學課程有影響？等等。5月31日是世界無煙日，有關醫(yī)學研究表明，許多疾病，如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關，吸煙已成為繼高血之后的第二號全球殺手。這些疾病與吸煙有關的結論是怎么得出的呢？我們來看下面的問題為調查吸煙是否對患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機地調查了9965人,得到如下結果(單位:人)不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965那么吸煙是否對肺癌有影響?吸煙與患肺癌列聯(lián)表列出兩個分類變量的頻數表,稱為列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關：1.列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計98749199652.等高條形圖y1y2總計x1aba+bx1cdc+d總計a+cb+da+b+c+d假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數列聯(lián)表和登高條形圖如下表所示，試說明如何根據圖表來判斷分類變量X和Y是否可能有關系？

上面我們通過分析數據和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關”，為此先假設

H0：吸煙與患肺癌沒有關系.不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把表中的數字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關系”等價于“吸煙與患肺癌獨立”，即假設H0等價于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強。不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應該有

為了使不同樣本容量的數據有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分析，我們構造一個隨機變量-----卡方統(tǒng)計量（1）若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關系”，則K2應很小。根據表3-7中的數據，利用公式（1）計算得到K2的觀測值為：那么這個值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨立性檢驗在H0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說，在H0成立的情況下，對隨機變量K2進行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯的概率為0.01。判斷是否成立的規(guī)則如果，就判斷不成立，即認為吸煙與患肺癌有關系；否則，就判斷成立，即認為吸煙與患肺癌有關系。獨立性檢驗的定義上面這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗。在該規(guī)則下，把結論“成立”錯判成“不成立”的概率不會差過即有99%的把握認為不成立。獨立性檢驗的基本思想（類似反證法）(1)假設結論不成立,即“兩個分類變量沒有關系”.(2)在此假設下我們所構造的隨機變量K2應該很小,如果由觀測數據計算得到K2的觀測值k很大,則在一定可信程度上說明不成立.即在一定可信程度上認為“兩個分類變量有關系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測數據沒有發(fā)現(xiàn)反對的充分證據。(3)根據隨機變量K2的含義,可以通過評價該假設不合理的程度,由實際計算出的,說明假設不合理的程度為1%,即“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信度為約為99%.怎樣判斷K2的觀測值k是大還是小呢？這僅需要確定一個正數，當時就認為K2的觀測值k大。此時相應于的判斷規(guī)則為：如果，就認為“兩個分類變量之間有關系”；否則就認為“兩個分類變量之間沒有關系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關系”錯誤的判斷為“兩個分類變量之間有關系”的概率為P().在實際應用中，我們把解釋為有的把握認為“兩個分類變量之間有關系”；把解釋為不能以的把握認為“兩個分類變量之間有關系”，或者樣本觀測數據沒有提供“兩個分類變量之間有關系”的充分證據。表1-112x2聯(lián)表

一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在實際應用中，要在獲取樣本數據之前通過下表確定臨界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.828具體作法是：(1)根據實際問題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測數據計算得到隨機變量的觀測值；(3)如果，就以的把握認為“X與Y有關系”；否則就說樣本觀測數據沒有提供“X與Y有關系”的充分證據。0.50.40.250.150.10.050.0250.010.0050.001xo0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828卡方臨界值表：則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；（1)若觀測值χ2＞10.828.（3)若觀測值χ2＞2.706，則（4)若觀測值χ2＜2.706，則（2)若觀測值χ2＞6.635，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；則沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能作出結論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系。例1為了探究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關,某同學調查了361名高二在校學生,調查結果如下:理科對外語有興趣的有138人,無興趣的有98人,文科對外語有興趣的有73人,無興趣的有52人．試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關？【解】列出2×2列聯(lián)表獨立性檢驗理文合計有興趣13873211無興趣9852150合計236125361【名師點評】運用獨立檢驗的方法:(1)列出2×2列聯(lián)表,根據公式計算K2的觀測值k.(2)比較k與k0的大小作出結論．特別注意本題類型的無關問題．跟蹤訓練1.研究人員選取170名青年男女大學生作為樣本,對他們進行一種心理測驗,發(fā)現(xiàn)60名女生對該心理測驗中的最后一個題目的反應是:作肯定的有22名,作否定的有38名;男生110名在相同的題目上作肯定的有22名,作否定的有88名,問:性別與態(tài)度之間是否存在某種關系？試用獨立性檢驗的方法判斷．解:根據題意,得如下2×2列聯(lián)表:肯定否定合計男生2288110女生223860合計441261701．K2的計算公式中字母取值勿取錯;在2×2列聯(lián)表中,a,b,c,d是有順序的,因此在計算K2的值時容易取錯字母a,b,c,d的值．2．只有當K2的值大于或等于k0時,我們才說兩個變量“有關系”;否則就說“沒有充分的證據顯示兩個變量有關系”,即認為兩個變量無關系．方法感悟精彩推薦典例展示獨立性檢驗中的易誤點對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究,調查他們是否又發(fā)作過心臟病,調查結果如下表所示:試根據上述數據,比較這兩種手術對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別．例2易錯警示又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計心臟搭橋手術39157196血管清障手術29167196合計68324392【常見錯誤】

在獨立性檢驗中當K2≤2.706時,得出結論:“我們判定又發(fā)作過心臟病和他是否做過這兩種手術無關”,這里的錯誤主要是結論下的太過武斷．【防范措施】

在利用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗時,如果K2≤2.706,并不是表示兩個分類變量沒有關系,只是沒有充分證據表明它們有關系而已,