數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型在靜態(tài)條件下，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法用解析法建立系統(tǒng)或子系統(tǒng)（也稱元件）微分方程的一般步驟是：1、清楚系統(tǒng)的工作原理，確定系統(tǒng)和子系統(tǒng)之間的輸入、輸出變量；2、從系統(tǒng)的輸入端開始，根據(jù)各子系統(tǒng)所遵守的物理規(guī)律列寫出它們的微分方程，一般為微分方程組；3、消去中間變量，寫出僅含有系統(tǒng)輸入輸出變量的微分方程。一般情況下，與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在微分方程的右端，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在微分方程的左端，微分方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。ucuriRC【例2-1】試編寫出圖2-1所示RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。電壓為輸入量，電壓為輸出量。解：根據(jù)電路理論，可寫出如圖所示，i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流。消去中間變量i，得到令T=RC，則式中T稱為網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)。上式表示了RC電路的輸入量與輸出量之間的關(guān)系。線性微分方程的求解（3）對(duì)輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。

線性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯變換法、計(jì)算機(jī)輔助求解拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換，變成變量s的代數(shù)方程。（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。2.2傳遞函數(shù)2.2.1傳遞函數(shù)的基本概念1.傳遞函數(shù)定義2-1線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。線性定常系統(tǒng)的微分方程一般可寫為在零初始條件下，根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，對(duì)上式取拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-2求例2-1所示RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。設(shè)輸入量為，輸出量。解：由例2-1得該電路的微分方程為對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得傳遞函數(shù)為

2．傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)▲傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)內(nèi)在的動(dòng)態(tài)特性，與系統(tǒng)輸入什么樣的類型信號(hào)無(wú)關(guān)。▲傳遞函數(shù)只能反映系統(tǒng)在零初始條件下輸入、輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，不能反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的傳遞關(guān)系?！鴤鬟f函數(shù)是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，用數(shù)學(xué)方法抽象出來(lái)的，相同的微分方程，可以有相同的傳遞函數(shù)。但是，無(wú)法代表具體系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。▲傳遞函數(shù)描述的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，它與描述系統(tǒng)的微分方程是一一對(duì)應(yīng)的。傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，它決定系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。分母多項(xiàng)式中的最高階數(shù)表示系統(tǒng)的階數(shù)，具有n階特征多項(xiàng)式的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。令系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式等于零所得到的方程稱為系統(tǒng)的特征方程；系統(tǒng)的特征方程的解稱為系統(tǒng)的特征根。傳遞函數(shù)還可寫成式中和均為常數(shù)，為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。將零、極點(diǎn)標(biāo)注在一個(gè)復(fù)平面上則得到關(guān)于零極點(diǎn)的分布圖，這個(gè)復(fù)平面稱為s平面。一般情況下，零點(diǎn)用圈號(hào)表示，極點(diǎn)用叉號(hào)表示。某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖如圖所示。2.2.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1）比例環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來(lái)表示式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。比例環(huán)節(jié)實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等2）慣性環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的常系數(shù)非齊次微分方程式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：式中T

——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。

實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)3）積分環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的微分方程式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。4）微分環(huán)節(jié)：是積分的逆運(yùn)算，其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：式中——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)5）振蕩環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來(lái)表示。傳遞函數(shù)為：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6）延遲環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來(lái)表示傳遞函數(shù)為：式中——延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。以上6種是常見的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型1）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對(duì)應(yīng)的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)，有不同的傳遞函數(shù)；3）環(huán)節(jié)是相對(duì)的，一定條件下可以轉(zhuǎn)化；4）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)1．比例環(huán)節(jié)2．慣性環(huán)節(jié)3．積分環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為4．微分環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為5．振蕩環(huán)節(jié)6．延遲環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為2.3系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.1結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成任何線性控制系統(tǒng)，都可以用方框、相加點(diǎn)、信號(hào)線和分支點(diǎn)所組成的結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示。方框：標(biāo)有某一元件傳遞函數(shù)的方框圖。方框的輸出量等于方框的輸入量與傳遞函數(shù)的乘積。信號(hào)線：帶有箭頭的直線，它有方向性，用箭頭表示信號(hào)傳遞的方向，箭頭處用字母符號(hào)代表信號(hào)。)RrG(s)(s)C(s信號(hào)線方框(t)c(t)相加點(diǎn)：也稱綜合點(diǎn)，用“”符號(hào)表示，箭頭表示信號(hào)傳遞方向，表示兩個(gè)以上信號(hào)的代數(shù)和。當(dāng)反饋信號(hào)為正反饋時(shí)，用“+”號(hào)表示；當(dāng)反饋信號(hào)為負(fù)反饋時(shí)，用“-”號(hào)表示?！?”號(hào)可以省略不寫。分支點(diǎn)：用“”符號(hào)表示由方框出來(lái)的信號(hào)，從這一點(diǎn)同時(shí)進(jìn)入另一方框或相加點(diǎn)，信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上沒有任何變化。ERC±CCC+X1X1+X2X2+想加點(diǎn)示意圖分支點(diǎn)示意圖)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：第一步：根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，將系統(tǒng)分解成若干個(gè)環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入量、輸出量，寫出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。第二步：繪制出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。第三步：按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞方向，把各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)，就得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖?！纠?-4】繪制濾波網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖uri1R1C1uci2R2C2u1解：根據(jù)電路理論的KVL、KCL運(yùn)算法則，可直接列寫出下列各式1/R11/R21/C1s1/C2S1/R11/C1s1/C2S1/R21/R11/R21/C1s1/C2S2.3.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.前向通道傳遞函數(shù)：輸出量與偏差量之比。2.反饋通道傳遞函數(shù)：反饋量與輸出量之比。3.開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋量與偏差量之比。4.閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出量與輸入量之比。5.誤差（偏差）傳遞函數(shù)：偏差量與輸入量之比。典型的閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中代表輸入量，代表輸出量，代表偏差量，代表反饋量。解：按照上述開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)以及誤差傳遞函數(shù)的定義，可知開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)【例2-5】控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中前向通道傳遞函數(shù)，反饋通道傳遞函數(shù)。試求該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)以及誤差傳遞函數(shù)。為了由方塊圖寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對(duì)方塊圖進(jìn)行等效變換。

等效變換的原則：變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。

在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由響應(yīng)環(huán)節(jié)的方塊經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。2.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.4.1串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換特點(diǎn)：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。

n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)

R(s)C(s))(1sU（a）)(1sG)(2sG結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)，當(dāng)然還有“-”的情況。

2.4.2并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換特點(diǎn)：輸入信號(hào)是相同的，輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和.（a）R(s)C(s))(2sG)(1sG)(2sC)(1sC

2.4.3反饋環(huán)節(jié)的等效變換

推導(dǎo)(負(fù)反饋)：右邊移過(guò)來(lái)整理得即：這是一種應(yīng)用非常廣泛的等效變換方法，可將所有閉環(huán)系統(tǒng)等效為一個(gè)環(huán)節(jié)。當(dāng)正反饋時(shí)，分母取“-”號(hào)；當(dāng)負(fù)反饋時(shí)，分母取“+”號(hào)。

1.綜合點(diǎn)的移動(dòng)（前移、后移）2.4.4結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則

2.分支點(diǎn)的移動(dòng)（前移、后移）

4.引出點(diǎn)之間互移3.比較點(diǎn)之間互移5.比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間不能互移X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)ababX(s)Z(S)=C(s)Y(s)C(s)X(s)Y(s)C(s)