HΨ=EΨ

第三章量子力學(xué)基礎(chǔ)Chapter3.IntroductiontoQuantumMechanics教學(xué)內(nèi)容§3.1波粒二象性德布羅意物質(zhì)波§3.2波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)詮釋§3.3不確定關(guān)系§3.4力學(xué)量的算符及本征值方程§3.5薛定諤方程§3.6一維問(wèn)題的薛定諤方程解§3.7量子力學(xué)對(duì)氫原子的處理教學(xué)要求（1）掌握德布羅依假設(shè)和波粒二象性，了解戴維孫—革末實(shí)驗(yàn)和雙縫干涉實(shí)驗(yàn)。（2）掌握不確定關(guān)系，并能用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。（3）掌握波函數(shù)的物理意義。（4）了解薛定諤方程在量子力學(xué)中的作用，掌握定態(tài)的概念，了解求解定態(tài)薛定諤方程（本征問(wèn)題）的基本步驟。（5）掌握運(yùn)用定態(tài)薛定諤方程求解氫原子問(wèn)題的基本步驟，掌握描述電子空間運(yùn)動(dòng)的三個(gè)量子數(shù)。重點(diǎn)德布羅依假設(shè)和微觀粒子的波粒二象性波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋不確定關(guān)系定態(tài)的概念求解定態(tài)薛定諤方程（本征問(wèn)題）的基本步驟量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述及三個(gè)量子數(shù)難點(diǎn)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋不確定關(guān)系量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述

1）十九世紀(jì)末經(jīng)典物理學(xué)的成功

2）經(jīng)典物理學(xué)上空所漂浮的兩朵烏云

3）舊量子論的形成(沖破經(jīng)典－－量子假說(shuō))

1900Planck振子能量量子化

1905Einstein電磁輻射能量量子化

1913N.Bohr原子能量量子化量子力學(xué)發(fā)展

4）量子力學(xué)誕生

1923deBroglie電子具有波動(dòng)性

1926-27Davisson,G.P.Thomson電子衍射實(shí)驗(yàn)1925Heisenberg矩陣力學(xué)

1926Schroedinger波動(dòng)方程

1928Dirac相對(duì)論波動(dòng)方程

§3.1實(shí)物微粒的波粒二象性1.實(shí)物微粒的波粒二象性

實(shí)物微粒是指靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子(m0≠0),如電子、原子、分子、中子、質(zhì)子等，以區(qū)別于靜止質(zhì)量等于零的光子。DeBrogile

1924年deBroglie受光的波粒二象性的啟示，大膽提出了實(shí)物微粒也具有波性的假設(shè)。在光學(xué)上，是否太多針對(duì)波動(dòng)的研究方法而忽略了粒子的研究方法？在實(shí)物微粒上，是不是把粒子的圖象想得太多而過(guò)于忽略了波的圖象？（1）德布羅依（DeBrogile）假設(shè)DeBrogile關(guān)系式deBroglie波的傳播速度為相速度u,不等于粒子運(yùn)動(dòng)速度v;

它可以在真空中傳播，因而不是機(jī)械波；它產(chǎn)生于所有帶電或不帶電物體的運(yùn)動(dòng)，因而也不是電磁波。DeBroglie提出實(shí)物微粒也具有波性，以此作為克服舊量子論的缺點(diǎn)，探求微觀粒子運(yùn)動(dòng)的根本途徑，這種實(shí)物微粒所具有的波就稱為物質(zhì)波或德布羅依波。這個(gè)假設(shè)形式上與Einstein關(guān)系式相同，但它實(shí)際上是一個(gè)完全嶄新的假設(shè)，因?yàn)樗粌H適用于光，而且對(duì)實(shí)物微粒也適用。

動(dòng)量為p的在一維方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子（位能V=常數(shù)或V=0），其波函數(shù)可與一維平面單色波相聯(lián)系得到：一維實(shí)物波的波函數(shù)：（2）德布羅意波長(zhǎng)的估算

動(dòng)量為P的自由粒子，當(dāng)它的運(yùn)動(dòng)速度比光速小得多時(shí)（c）

若V=1000V，則波長(zhǎng)為39pm。可見對(duì)電子等實(shí)物粒子，其德布羅意波長(zhǎng)具有?數(shù)量級(jí)，與x射線相近，用普通光柵無(wú)法檢出其波性。

（V為加速電子運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)電勢(shì)差）求以1.0×106m·s-1的速度運(yùn)動(dòng)的電子，其deBroglie波波長(zhǎng)。大小相當(dāng)于分子大小的數(shù)量級(jí)，說(shuō)明原子中和分子中電子運(yùn)動(dòng)的波效應(yīng)是重要的。但與宏觀體系的線度相比，波效應(yīng)是微小的。

λ==（6.6×10-34J.s）/(9.1×10-31kg×1.0×106m.s-1)=7×10-10m=7?例a.1000kg重的汽車以100m·s-1的速度運(yùn)動(dòng)，其deBroglie波波長(zhǎng)為6.6×10-39m。s-1b.10g重的子彈以500m·s-1的速度運(yùn)動(dòng)，其deBroglie波波長(zhǎng)為1.3×10-34m。c.10-6g重的灰塵以1cm·s-1的速度運(yùn)動(dòng)，其deBroglie波波長(zhǎng)為6.6×10-23m。宏觀粒子也具有波動(dòng)性，m大時(shí),0（3）DeBrogile波的實(shí)驗(yàn)證實(shí)

當(dāng)V=102～104V時(shí)，從理論上已估算出電子德布羅依波長(zhǎng)為1.2～0.12?，與x光相近（0.1～100?），用普通的光學(xué)光柵（周期

?）是無(wú)法檢驗(yàn)出其波動(dòng)性的。戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)——單晶鎳（C.J.Davisson-L.H.Germer）湯姆遜實(shí)驗(yàn)——金-釩多晶（G.P.Thomson）兩個(gè)證實(shí)的實(shí)驗(yàn)：Davisson-Germer單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)電子在單晶鎳上的衍射

Davisson和Germer認(rèn)識(shí)到晶體中粒子周期性排列的特征可看作周期數(shù)量級(jí)為?的光柵。將被一定電勢(shì)差加速得到一定的速度的電子射擊到單晶鎳上，可能觀察到電子的衍射。波程差：

對(duì)Dovissn和Germer單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)，由布拉格（Bragg）方程和可分別計(jì)算出衍射電子的波長(zhǎng)λ。兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常吻合，證實(shí)電子確實(shí)具有波動(dòng)性。對(duì)Thomson多晶電子衍射實(shí)驗(yàn)，由花紋的半徑及底片到衍射源之間的距離等數(shù)值，也可以求出。都證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論推斷一致，電子確實(shí)具有波動(dòng)性。后來(lái)，人們采用電子、質(zhì)子、氫原子和氦子等粒子流，也觀察到衍射現(xiàn)象，充分證明了實(shí)物微粒具有波性，而不只限于電子。電子顯微鏡以及用電子衍射和中子衍射測(cè)定分子結(jié)構(gòu)都是實(shí)物微粒波性的應(yīng)用。電子在金-釩多晶上的衍射

Thomson多晶電子衍射實(shí)驗(yàn)單電子雙縫實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以做到一次一個(gè)電子通過(guò)縫7個(gè)電子在觀察屏上的圖像100個(gè)電子在屏上的圖像屏上出現(xiàn)的電子說(shuō)明了電子的粒子性（4）微觀粒子的波粒二象性的理解隨著電子數(shù)目的增多，在屏上逐漸形成了衍射圖樣說(shuō)明“一個(gè)電子”就具有的波動(dòng)性30002000070000微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性；在另一些條件下表現(xiàn)出波動(dòng)性。兩種性質(zhì)雖寓于同一體中卻不能同時(shí)表現(xiàn)出來(lái)少女？老婦？?jī)煞N圖像不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在你的視覺中

deBroglie如何得到軌道角動(dòng)量量子化條件

由這一條件導(dǎo)出的

表明圓軌道周長(zhǎng)S是波長(zhǎng)的整數(shù)倍，這正是在圓周上形成穩(wěn)定的駐波所需要的。

盡管這種軌跡確定的軌道被不確定原理否定了，但“定態(tài)與駐波相聯(lián)系”的思想還是富有啟發(fā)性的.

（5）德布羅意波和量子態(tài)

deBroglie波不僅對(duì)建立量子力學(xué)和原子、分子結(jié)構(gòu)理論有重要意義，而且在技術(shù)上有重要應(yīng)用.

使用deBroglie波的電子顯微鏡分辨率達(dá)到光學(xué)顯微鏡的千倍,為我們打開了微觀世界的大門.

deBroglie波的提出是類比法的成功典范

從科學(xué)方法論的角度講,由光的波粒二象性到實(shí)物微粒的波粒二象性是一種類比推理.類比是由兩個(gè)或兩類對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤乃枷敕椒?，是一種由特殊到特殊、由此類及彼類的過(guò)程.

類比可以提供重要線索，啟迪思想，是發(fā)展科學(xué)知識(shí)的一種有效的試探方法.我們?cè)谘芯抗ぷ髦行枰匾曔@種方法.

然而，它是一種或然性推理，而不是必然性推理，因而有局限性，其結(jié)論的正確與否必須由實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn).德布羅意獲1929年諾貝爾物理獎(jiǎng)戴維遜、湯姆遜共同獲1937年諾貝爾物理獎(jiǎng)又稱測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系或測(cè)不準(zhǔn)原理，是由微觀粒子本質(zhì)特性決定的物理量間的相互關(guān)系的原理，它反映物質(zhì)波的一種重要性質(zhì)。同理Heisenberg

§3.2

不確定原理（uncertaintyprinciple）

因?yàn)閷?shí)物微粒具有波粒二象性，從微觀體系得到的信息會(huì)受到某些限制。例如一個(gè)粒子不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和相同方向的動(dòng)量分量。這一關(guān)系是1927年首先由海森堡（Heisenberg）推導(dǎo)得出的。1.從電子的單縫衍射現(xiàn)象理解位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系2.不確定關(guān)系的物理表述及物理意義x表示粒子在x方向上的位置的不確定范圍，px表示粒子在x方向上動(dòng)量的不確定范圍，其乘積不得小于一個(gè)常數(shù)。若一個(gè)粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，即E=0，則粒子停留在該態(tài)的時(shí)間為無(wú)限長(zhǎng)，t=。不確定關(guān)系是自然界的客觀規(guī)律，不是測(cè)量技術(shù)和主觀能力的問(wèn)題，是量子理論中的一個(gè)重要概念。1927年海森堡提出了不確定關(guān)系坐標(biāo)與同一方向上的動(dòng)量分量不能同時(shí)確定。x與Py

之間不存在上述關(guān)系。不確定原理在宏觀體系中也適用，只不過(guò)是不確定量小到了可忽略的程度。

說(shuō)明不確定原理可用于判斷哪些物體其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用經(jīng)典力學(xué)處理，而哪些則必須用量子力學(xué)處理。

應(yīng)用對(duì)質(zhì)量m=10-15kg的微塵，求速度的測(cè)不準(zhǔn)量。設(shè)微塵位置的測(cè)量準(zhǔn)確度為Δx=10-8m。比起微塵運(yùn)動(dòng)的一般速度（10-2m.s-1）是完全可以忽略的，至于質(zhì)量更大的宏觀物體，Δv就更小了。由此可見，可以認(rèn)為宏觀物質(zhì)同時(shí)具有確定的位置和動(dòng)量，因而服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)則。由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式得：例求原子、分子中運(yùn)動(dòng)的電子的速度不確定度。電子的質(zhì)量m=9.1×10-31kg，原子的大小為10-10m。Δv=h/(Δx·m)=（6.626×10-34J.s）/(10-10m×9.1×10-31kg)≈106～107m.s-1已知電子的運(yùn)動(dòng)速度約為106m·s-1，即當(dāng)電子的位置的不確定程度Δx=10-10m時(shí)，其速度的不確定程度已大于電子本身的運(yùn)動(dòng)速度。因此，原子、分子中電子的不能用經(jīng)典力學(xué)處理。例原子大小為10-10m，電子位置測(cè)量的精確度至少Δx=10-10m才有意義。Δx=10-10m后來(lái)發(fā)現(xiàn)的質(zhì)子射線、射線、中子射線、原子射線和分子射線均符合測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。當(dāng)今采用的電子顯微鏡，電子衍射、中子衍射測(cè)定分子結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)方法都是微粒波動(dòng)性的具體應(yīng)用。

宏觀物體微觀粒子具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，沒(méi)有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，可用牛頓力學(xué)描述。需用量子力學(xué)描述。

有連續(xù)可測(cè)的運(yùn)動(dòng)軌道，可有概率分布特性，不可能分辨

追蹤各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。

出各個(gè)粒子的軌跡。體系能量可以為任意的、連能量量子化。續(xù)變化的數(shù)值。不確定度關(guān)系無(wú)實(shí)際意義。遵循不確定度關(guān)系。微觀粒子和宏觀物體的特性對(duì)比德布羅意引入物質(zhì)波，物質(zhì)波需用波函數(shù)Ψ(r?t)描述它不是經(jīng)典粒子：不能用()確定粒子狀態(tài)，沒(méi)有軌道概念；

也不是經(jīng)典波：拋棄了物理量在空間周期性分布的概念，但具有波動(dòng)的相干疊加性。兩者統(tǒng)一于Bohn

的幾率波概念中。一、微觀粒子具有波粒二象性

§3.3波函數(shù)及其物理意義物質(zhì)波的波函數(shù)代表什么物理意義。1926年玻恩提出波函數(shù)的幾率解釋。他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個(gè)假設(shè)得到散射實(shí)驗(yàn)的支持，取得了人們認(rèn)可，玻恩因此獲得1954年諾貝爾物理獎(jiǎng)?；仡櫍旱虏剂_意關(guān)于物質(zhì)的波粒二象性假設(shè)速度為v質(zhì)量為m的自由粒子,Ep.,一方面可用能量

和動(dòng)量

來(lái)描述它的粒子性nl另一方面可用頻率

和波長(zhǎng)

來(lái)描述它的波動(dòng)性1.波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識(shí)。下面從量子力學(xué)的基本觀點(diǎn)出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。二.假設(shè)Ⅰ——

波函數(shù)

在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部eifcosfisinf

應(yīng)用德布羅意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即的自由粒子的波函數(shù)為Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向勻速直線運(yùn)動(dòng)

在波動(dòng)學(xué)中，描述波動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間二元函數(shù)一列沿X

軸正向傳播的平面單色簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pEA沿方向勻速直線運(yùn)動(dòng)r的自由粒子的波函數(shù)為Y,()trei(t)pErhA續(xù)上在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：應(yīng)用歐拉公式取實(shí)部eifcosfisinf

應(yīng)用德布羅意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即沿方向勻速直線運(yùn)動(dòng)r的自由粒子的波函數(shù)為Y,()trei(t)pErh的自由粒子的波函數(shù)為Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向勻速直線運(yùn)動(dòng)

在波動(dòng)學(xué)中，描述波動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時(shí)間二元函數(shù)一列沿X

軸正向傳播的平面單色簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pExAAY,()tre(t)pErihA自由粒子的波函數(shù)

自由粒子的能量和動(dòng)量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對(duì)于處在外場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)的非自由粒子，其能量和動(dòng)量外場(chǎng)不同，粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用波函數(shù)來(lái)描述，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

設(shè)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)為，則Y,()tr

空間某處波的強(qiáng)度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）P,()tr與的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共軛復(fù)數(shù)德布羅意波又稱概率波波函數(shù)又稱概率幅取比例系數(shù)為1，即MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋BornrXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的體積元內(nèi)rdVxddyzd發(fā)現(xiàn)粒子的概率為dVxddyzdP,()trY,()tr2

在波函數(shù)存在的全部空間V中必能找到粒子，即在全部空間V中

粒子出現(xiàn)的概率為1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此條件稱為波函數(shù)的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)因概率不會(huì)在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無(wú)限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標(biāo)準(zhǔn)條件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合例設(shè)某粒子的波函數(shù)為Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1積分得：a2A21,A2a得到歸一化波函數(shù)：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得令dPxd0求極大值的x坐標(biāo)dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外兩個(gè)解x處題設(shè)Y0處P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a1139三.態(tài)疊加原理——假設(shè)II

若1,2,…

n為某一微觀體系可能的狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能存在的狀態(tài)，即式中c1,c2,…

cn為線性組合常數(shù)，狀態(tài)中各個(gè)i出現(xiàn)的幾率為|ci|2

。顯然，體系在狀態(tài)時(shí)，平均值是的權(quán)重平均值。

由非本征態(tài)力學(xué)量的平均值公式可得微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)完全來(lái)描述考慮電子雙縫干涉

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過(guò)狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過(guò)狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了干涉花紋。一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。上式中的后兩項(xiàng)代表相干項(xiàng)，顯示出波動(dòng)性。所以微觀世界的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是幾率幅相加律(不是經(jīng)典幾率直接相加)。物理學(xué)大師費(fèi)曼把幾率幅疊加稱為“量子力學(xué)的第一原理”。他這樣寫到“如果一個(gè)事件可能有幾種方式實(shí)現(xiàn)，則該事件的幾率幅就是各種單獨(dú)實(shí)現(xiàn)的幾率幅之和，于是出現(xiàn)了干涉”。顯示了波動(dòng)性。

波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，所以波的疊加就是態(tài)的疊加。波的疊加導(dǎo)致了干涉、衍射的波動(dòng)性。態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)Ψ1是系統(tǒng)的一個(gè)可能態(tài)，Ψ2也是系統(tǒng)的另一個(gè)可能態(tài)，那么c1Ψ1+c2Ψ2

也是系統(tǒng)的可能態(tài)。這個(gè)態(tài)既不完全是Ψ1

，也不完全是態(tài)Ψ2

。而是它們各占幾率為|c1|2＋|c2|2的混合態(tài)。這種混合態(tài)導(dǎo)致了量子干涉效應(yīng)。也導(dǎo)致了在疊加態(tài)下測(cè)量結(jié)果的不確定性。1.力學(xué)量算符的引出如何在坐標(biāo)表象的態(tài)函數(shù)中求粒子的動(dòng)量px的平均值。式中的px(x)是在坐標(biāo)取ｘ值的動(dòng)量值。海森伯不確定關(guān)系指出這是不可能的，px(x)是沒(méi)有意義的。我們必須引入動(dòng)量(表象)波函數(shù)

是粒子動(dòng)量在p

~p＋dp間隔內(nèi)的幾率，那么動(dòng)量的平均值方可寫成

§3.4

力學(xué)量算符及其本正值

但又出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，如果物理量既含動(dòng)量又含坐標(biāo)，如能量E=p2/2m+V(x)

，又如何求能量的平均值呢?所以我們必須給出一個(gè)更一般的表達(dá)式。其實(shí)Ψ(x)

和Ф(px)之間有一種變換關(guān)系——傅立葉變換，即

這樣（1）(2)在推導(dǎo)（2）式時(shí)，利用了如下算符作用關(guān)系：

（2）式指出，如果把動(dòng)量px改換成算符形式，那么用坐標(biāo)表象的波函數(shù)

Ψ(x)

，也可求動(dòng)量的平均值。上推導(dǎo)還給出動(dòng)量算符px的本征值方程式:2.力學(xué)量算符及本征值方程

量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個(gè)顯著的區(qū)別，一個(gè)是專門引入態(tài)函數(shù)(波函數(shù))描述體系的狀態(tài)，另一個(gè)是用算符表示力學(xué)量。在坐標(biāo)表象中即在

Ψ(x)

中求動(dòng)量的平均值,須把px換成算符形式,記為,類似的動(dòng)量的算符是動(dòng)能的算符是

在坐標(biāo)表象中，凡x函數(shù)的力學(xué)量，其算符就是本身。如勢(shì)能V(x)的算符就是V(x)

。這樣總能量(動(dòng)能加勢(shì)能)的算符是

在經(jīng)典力學(xué)中，由位置矢量和動(dòng)量可組合成其他力學(xué)量，如角動(dòng)量力學(xué)量L=r×p。在量子力學(xué)里，相應(yīng)的角動(dòng)量算符是在直角坐標(biāo)系中

在球坐標(biāo)系(r,θ,Ф)

中，借助于直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)之間的如下關(guān)系（見下圖）不難給出角動(dòng)量各分量表達(dá)式角動(dòng)量平方算符在球坐標(biāo)系的表示是

力學(xué)量算符有一個(gè)重要的性質(zhì)，即代表力學(xué)量的兩個(gè)算符的乘積一般是不對(duì)易的。用符號(hào)的對(duì)易關(guān)系，若兩個(gè)算符對(duì)易，即滿足交換率；若，兩個(gè)算符不對(duì)易。很容易證明

利用上關(guān)系式和角動(dòng)量直角坐標(biāo)分量算符的表達(dá)式,也不難證明

在數(shù)學(xué)上,算符的一般定義是,當(dāng)它作用倒一個(gè)函數(shù)f上后,可以把f映射為另一個(gè)函數(shù)g,即

當(dāng)函數(shù)f與g只差一個(gè)常數(shù)λ時(shí),即,該方程稱函數(shù)f的本征方程，f稱本征函數(shù),一組數(shù)

λ

稱本征值。例如能量的本征方程是角動(dòng)量平方算符的本征方程是角動(dòng)量沿z方向的分量算符的本征方程是自旋角動(dòng)量的本征方程是

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程，它在量子力學(xué)中的地位和作用相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的牛頓方程，電磁學(xué)中的麥克斯韋方程，它描述了量子系統(tǒng)狀態(tài)的演化規(guī)律。下面用一種直觀的方法引出薛定諤方程。

考察質(zhì)量為m，動(dòng)量為p，能量為E=p2/2m的自由粒子的一維運(yùn)動(dòng)，它對(duì)應(yīng)的德布羅意波是波矢為k圓頻率為ω

的平面波，即式中的k=2п/λ,ω=2пr按照德布羅意關(guān)系式λ=h/p和關(guān)系式E=hν,自由運(yùn)動(dòng)的粒子的動(dòng)量pn和能量E與平波面波矢k和圓頻率ω有如下關(guān)系一、自由粒子的薛定諤方程

§3.5薛定諤方程于是德布羅意平面波可改寫為

這個(gè)德布羅意波函數(shù)就是描述具有確定能量和動(dòng)量的自由粒子運(yùn)動(dòng)的態(tài)函數(shù)。不難看出，若要從這個(gè)態(tài)函數(shù)中提取粒子的動(dòng)能，動(dòng)量信息，則必須用時(shí)間和空間坐標(biāo)的微分算符作用其上方可給出，即對(duì)于非相對(duì)論自由粒子能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系式

也可以通過(guò)如下算符作用在波函數(shù)

上得到

該式就是自由粒子一維運(yùn)動(dòng)的波方程,將其推廣到三維情況,E=p2/2m波動(dòng)方程是

是拉普拉斯算符.如果粒子在勢(shì)場(chǎng)V(r,t)中作三維運(yùn)動(dòng),粒子的總能量是二、含時(shí)薛定諤方程

稱哈密頓算符，該式就是薛定諤方程，該方程是線性齊次方程，因而它保證了波函數(shù)

(即態(tài)函數(shù))的疊加性。相應(yīng)的波方程應(yīng)該是如果勢(shì)場(chǎng)不顯含時(shí)間t,即V=V(r),那么薛定諤方程成為

仔細(xì)觀察上式兩邊，不難發(fā)現(xiàn)方程的左邊只含對(duì)時(shí)間微商的運(yùn)算，右邊只涉及對(duì)空間微商的運(yùn)算，故可取分離變量式，即

三、定態(tài)及定態(tài)薛定諤方程并將其代人上式后,得到如下等式

式中E是既不依賴時(shí)間又不依賴空間坐標(biāo)的常量(能量)。由上式分離出它的解是因此波函數(shù)具有形式（定態(tài)波函數(shù)）其中波函數(shù)的空間部分滿足式中稱定態(tài)薛定諤方程

解出：――定態(tài)波函數(shù)1．定態(tài)中E不隨時(shí)間變化，粒子有確定的能量2．定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時(shí)間變化3．定態(tài)薛定諤方程

一般說(shuō)來(lái)該方程不是對(duì)任意的E(能量)值才有解，只對(duì)一系列特定、分立值才有解，故這些特定的E值可以用整數(shù)n編序成En，表明能量是量子化的?？梢娔芰苛孔踊匀惶N(yùn)含在薛定諤方程中。方程正是能量本征方程。En是系統(tǒng)的一切可能的能量本征值，即常稱的能級(jí)。Ψn是本征值En對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)或本征態(tài)。力學(xué)量能量用哈密頓算符表示；哈密頓算符有本征方程，通過(guò)求解該方程給出力學(xué)系統(tǒng)的一切可能的能量本征值及對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)，這是量子力學(xué)的基本假設(shè)。求解能量本征方程是量子力學(xué)最主要的任務(wù)。解：因?yàn)閂=0所以薛定諤方程為例：求描述自由粒子的波函數(shù)與前面得到的自由粒子的波函數(shù)相同

其中

E是粒子的能量，P是粒子的動(dòng)量通過(guò)該例可體會(huì)量子力學(xué)解題的基本思路則自由粒子的波函數(shù)3．具體的勢(shì)場(chǎng)決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給出勢(shì)能函數(shù)的具體形式，只要我們知道了微觀粒*薛定諤方程的討論1．薛定諤方程描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在勢(shì)場(chǎng)中隨時(shí)間變化的規(guī)律。2．薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來(lái)。它的正確性只有通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致來(lái)得到證明。子初始時(shí)刻的狀態(tài)。原則上說(shuō)，只要通過(guò)薛定諤方程，就可以求出任意時(shí)刻的狀態(tài)。5．在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了，所4．薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以一般是復(fù)數(shù)形式。表示概率波，是表示粒子在時(shí)刻t、在空間某處出現(xiàn)的概率。因而薛定諤方程所描述的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。以是非相對(duì)論的結(jié)果；同時(shí)方程不適合一切的粒子，這是方程的局限性。①由粒子運(yùn)動(dòng)實(shí)際情況正確寫出勢(shì)函數(shù)V(x)②代入定態(tài)薛定諤方程③解方程④解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)⑤求出概率密度分布及其他力學(xué)量▲量子力學(xué)解題的一般思路①自由粒子②方勢(shì)阱方勢(shì)阱無(wú)限深方勢(shì)阱▲幾種勢(shì)函數(shù)方勢(shì)阱方勢(shì)阱是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢(shì)阱金屬中的電子例如③勢(shì)壘梯形勢(shì)散射問(wèn)題勢(shì)壘隧道貫穿④其他形式超晶格諧振子▲量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解對(duì)方程其特征方程為a金屬V(x)V=V0V=V0EV=0x極限V=0EV→∞V→∞V(x)x0a

無(wú)限深方勢(shì)阱(potentialwell)1、一維無(wú)限深方形勢(shì)阱分立譜V=0EV→∞V→∞V(x)x0a特點(diǎn)：粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零勢(shì)能為零在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大在阱壁上受極大的斥力不能到阱外例：一個(gè)粒子在如圖所示的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能為這種勢(shì)場(chǎng)稱為一維無(wú)限深勢(shì)阱。在一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子如何運(yùn)動(dòng)？它的波函數(shù)如何？能量如何？

①勢(shì)函數(shù)粒子在阱內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)不能到阱外(1)薛定諤方程和波函數(shù)阱外0阱內(nèi)0②哈密頓量③定態(tài)薛定諤方程阱外：阱內(nèi)：0根據(jù)波函數(shù)有限的條件阱外1)阱外④分區(qū)求通解令2)阱內(nèi)(為了方便將波函數(shù)腳標(biāo)去掉)將方程寫成通解式中A和B是待定常數(shù)⑤由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件定特解通解是ⅰ解的形式解的形式為ⅱ能量取值A(chǔ)已經(jīng)為零了B不能再為零了即只能ka

等于零要求故能量可能值但由上式1)每個(gè)可能的值叫能量本征值2)束縛態(tài)粒子能量取值分立(能級(jí)概念)

能量量子化

3)最低能量不為零--波粒二象性的必然結(jié)果因?yàn)殪o止的波是不存在的。

4)當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí),能量趨于連續(xù)

5)通常表達(dá)式寫為討論L--阱寬ⅲ本征函數(shù)系由歸一性質(zhì)定常數(shù)B得本征函數(shù)這組函數(shù)構(gòu)成本征函數(shù)系。),3,2,1(πsin2)(…..==nxanaxnF考慮到振動(dòng)因子（駐波解）⑥定態(tài)波函數(shù)⑦概率密度本征能量和本征函數(shù)的可能取值(2)小結(jié)：一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)和概率密度oaao時(shí)，量子經(jīng)典符合玻爾對(duì)應(yīng)原理|2Ψn|an很大En0平均效應(yīng)明顯2.隧道效應(yīng)我們考慮粒子在勢(shì)能為的方勢(shì)壘中的運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能曲線如下圖所示。

粒子通過(guò)一維方勢(shì)壘的運(yùn)動(dòng)是一般散射問(wèn)題的基礎(chǔ)。所謂散射問(wèn)題是指一定動(dòng)量p和一定能量E的粒子經(jīng)過(guò)勢(shì)場(chǎng)，在勢(shì)場(chǎng)力作用下偏離原入射方向，被散射在各個(gè)方向上。粒子被一維方勢(shì)壘的散射，只出現(xiàn)在兩個(gè)方向上——透射和反射方向。一維散射問(wèn)題歸結(jié)為求粒子經(jīng)方勢(shì)壘后的透射系數(shù)|t|2和反射系數(shù)|r|2

。它們分別定義為粒子的透射幾率流密度J透與入射幾率流密度J入之比,反射幾率流密度J反與入射幾率流密度J入之比：

假設(shè)入射粒子的能量為E，被勢(shì)壘散射后能量保持不變，那么可認(rèn)為體系的狀態(tài)是定態(tài)，幾率流密度僅取決|Ψ|2,于是問(wèn)題完全歸結(jié)求定態(tài)波函數(shù)上。幾率流密度是粒子幾率密度與速度的乘積，即

將整個(gè)空間從左到右分成三個(gè)區(qū)域，在勢(shì)壘內(nèi)外三個(gè)區(qū)域的能量本征方程分別是

令方程組化為其一般解是

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，不妨取粒子從左邊(x<0)入射的波振幅為1；反射波的振幅為r，即A1＝1，B2＝r；在x>a，粒子僅有透射波，令其振幅為t，即A3＝t,B3＝0。于是由波函數(shù)在邊界上x=0上的銜接條件：87從而給出聯(lián)立上四個(gè)方程組，消去C，D后，給出在x=a處，應(yīng)滿足邊界條件

它指出在E<Uo的情況下，粒子有一定的幾率可穿越一定厚度的勢(shì)壘，其隧穿概率隨勢(shì)壘厚度ɑ的增加按指數(shù)律衰減。粒子從壘的一側(cè)進(jìn)入U(xiǎn)o>E壘區(qū)并出現(xiàn)在另一側(cè)，在量子力學(xué)中稱勢(shì)壘穿透或隧道效應(yīng)，它是粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，圖(b)描繪了粒子穿透勢(shì)壘的波動(dòng)圖象。經(jīng)典量子3.量子隧道效應(yīng)舉例(1)

α

衰變

從放射性核中逃逸出α粒子稱α衰變。核內(nèi)α粒子在核力作用下，處于很低負(fù)勢(shì)阱中的某一能級(jí)上。在核外核力為零(短程力)僅受庫(kù)侖靜電斥力作用，在核邊界上形成很高的勢(shì)壘如右圖所示。勢(shì)壘的高度取決于母核的Ze和它的半徑R。例如212Po核（Z=84,R=5fm）庫(kù)侖勢(shì)的高度為Uo=26MeV。從212Po

核衰變出的α

粒子動(dòng)能為E=8.78MeV。這說(shuō)明α粒子是通過(guò)隧道效應(yīng)穿墻而過(guò)的。

在微觀世界內(nèi)，隧道效應(yīng)的例子很多，而且在高技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)也有許多重要的應(yīng)用。(2)熱核反應(yīng)熱核反應(yīng)是隧道效應(yīng)的又一個(gè)例子。兩個(gè)輕核(如氘核)聚變?cè)谝黄饡?huì)放出核能。實(shí)現(xiàn)該過(guò)程的主要阻礙是兩個(gè)帶正電的核在靠近時(shí)將產(chǎn)生巨大的庫(kù)侖斥力。這個(gè)斥力形成一個(gè)高勢(shì)壘，阻止它們接近。以氘核為例，這個(gè)勢(shì)壘高度為144KeV。若按經(jīng)典考慮，每個(gè)氘核至少要有72KeV的動(dòng)能。如果從粒子的平均動(dòng)能3kT/2來(lái)獲得72KeV的動(dòng)能，相應(yīng)的溫度為T＝6×108K。但氘核可以通過(guò)隧穿過(guò)程進(jìn)行聚合，所要求的動(dòng)能會(huì)少一些，對(duì)應(yīng)的溫度可降至108K。此外麥克斯韋速度分布律中還有遠(yuǎn)大于平均動(dòng)能3kT/2的粒子存在，這也是有利聚合的另一個(gè)因素。

(3)隧道掃描顯微鏡隧道效應(yīng)的一個(gè)重要應(yīng)用是掃描隧道顯微鏡。如右圖所示，電子利用隧穿本領(lǐng)從探針越過(guò)勢(shì)壘到達(dá)待測(cè)材料表面，形成隧道電流，記錄這種電流可以獲得表面狀態(tài)的信息。由于這種技術(shù)的應(yīng)用，使人們能夠?qū)蝹€(gè)原子進(jìn)行操作。但掃描隧道顯微鏡只能用于導(dǎo)體，半導(dǎo)體。與之配套的還有原子力顯微鏡、激光力顯微鏡、磁力顯微鏡、掃描近場(chǎng)光學(xué)顯微鏡等。

經(jīng)典物理的諧振子模型：

量子物理的諧振子模型：

一維諧振子的本征值問(wèn)題是處理量子力學(xué)問(wèn)題的最基本的范例。

分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等黑體輻射場(chǎng)量子化等，把場(chǎng)中的粒子看作諧振子一、勢(shì)函數(shù)選線性諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)則一維線性諧振子的勢(shì)能為：m

是粒子的質(zhì)量k

是諧振子的勁度系數(shù)是諧振子的角頻率一維諧振子

二、薛定諤方程及解上述方程可化為這是個(gè)變系數(shù)常微分方程。對(duì)方程其解顯然可以寫為因?yàn)椋?）求實(shí)際解

n=0,1,2,…此時(shí)？是一個(gè)實(shí)函數(shù)！所以歸一化波函數(shù)為線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置概率密度線性諧振子n=11時(shí)的概率密度分布虛線代表經(jīng)典結(jié)果：經(jīng)典諧振子在原點(diǎn)速度最大，停留時(shí)間短粒子出現(xiàn)的概率小；在兩端速度為零，出現(xiàn)的概率最大。討論：①微觀一維諧振子能量量子化能量特點(diǎn)：(1)量子化，等間距(2)有零點(diǎn)能符合不確定關(guān)系概率分布特點(diǎn):xn很大EnE1E2E00V(x)E<V

區(qū)有隧道效應(yīng)②基態(tài)的性質(zhì)基態(tài)位置概率分布是個(gè)Gauss分布量子：在其它范圍也能找到粒子。在x=0

處概率最大見右圖。如下圖所示：符合玻爾對(duì)應(yīng)原理量子概率分布過(guò)渡到經(jīng)典概率分布躍遷只能逐級(jí)進(jìn)行各躍遷發(fā)出的譜頻率相同，只有一條譜線③躍遷有選擇定則：﹟一、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：

定態(tài)薛定諤方程：

氫原子問(wèn)題是球?qū)ΨQ問(wèn)題，通常采用球坐標(biāo)系：

氫原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程：

§3.6氫原子的量子力學(xué)處理二、分離變量1．

代入方程，并用乘以兩邊：

是一個(gè)與

無(wú)關(guān)的常數(shù)。

徑向方程：角方程：2．

代入方程，并用乘以兩邊：

是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)。

三、三方程的解1．方程的解方程的解為：波函數(shù)單值：

波函數(shù)歸一化：2．方程的解關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，為了得到符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解，必須對(duì)和加以限制：方程的解為關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式：

3．方程的解關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程的解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項(xiàng)式

玻爾半徑只要給出了、的一對(duì)具體的數(shù)值，就可以得到一個(gè)満足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。

四、H原子的波函數(shù)對(duì)應(yīng)一組量子數(shù)，就能給出波函數(shù)的一個(gè)具體形式，因此確定了原子的狀態(tài)。波函數(shù)是力學(xué)量算符集合的共同本征函數(shù)，即可見三個(gè)量子數(shù)n,l,m與狀態(tài)Ψ

n,l,m有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了簡(jiǎn)單，我們常用量子數(shù)(n,l,m)表征量子態(tài)Ψ

n,l,m。對(duì)于每一個(gè)給定的主量子數(shù)n，角量子數(shù)可以取n個(gè)值：0、1、2、…，n－1；對(duì)于每一個(gè)確定的l值，磁量子數(shù)m取2l＋1個(gè)值：－l、－（l－1），…（l－1）、l。氫原子的能量只與n有關(guān)，所以是簡(jiǎn)并的，其簡(jiǎn)并度為

氫原子中電子的幾率密度