2023/2/41最優(yōu)控制1第4章線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題2第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題一：概述實二次型：1.問題的提法：設線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：其中，x(t)是n維狀態(tài)向量，u(t)是p維控制向量，y(t)是q維輸出向量，u(t)不受約束。A(t),B(t),C(t)是分段的時間連續(xù)函數(shù)3Yr(t)表示預期輸出，e(t)為廣義誤差。尋求最優(yōu)控制u*(t)，使下面二次型性能指標最小。其中，F(xiàn)是q×q半正定常數(shù)矩陣

Q(t)是q×q半正定矩陣

R(t)是p×p正定矩陣。2.性能指標J第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題4第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題53.分類<1>調節(jié)器問題.yr(t)=0①狀態(tài)調節(jié)器以零狀態(tài)為平衡狀態(tài)②輸出調節(jié)器<輸出調節(jié)器可轉化為狀態(tài)調節(jié)器>第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題6<2>伺服系統(tǒng)（隨動系統(tǒng)）以不大的能量是系統(tǒng)輸出跟隨給定的輸出而變化。二.狀態(tài)調節(jié)器1.已知尋求u*(t),使J最小。<X(tf)自由，tf有限>第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題7求解：①構造哈密頓函數(shù)：②協(xié)調方程：③橫截條件則第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題8④控制方程：⑤狀態(tài)方程第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題9的狀態(tài)轉移矩陣都可作為初始時刻<分塊>又由橫截條件：則②=③第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題10可以證明存在因此，呈線性關系，可表示為則<實際中不用上式來求P(t)，過于復雜，采用如下方法;>2.黎卡提矩陣微分方程考察兩邊對t求導第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題11將狀態(tài)方程帶去上式，則又協(xié)態(tài)方程:最后可得黎卡提矩陣微分方程如下：又橫截條件則——黎卡提微分方程邊界條件第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題12說明：<1>黎氏方程的解存在且唯一(常微分方程解的存在性唯一性定理)<2>P(t)是對稱陣<3>P(t)≥0J≥0第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題133.結構——反饋增益矩陣上式確定最優(yōu)軌線第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題144.說明①求J*考察二次型將狀態(tài)方程與黎卡提方程帶入上式，之后兩邊對t作t0→tf積分，移項，配方法則第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題15②本問題最優(yōu)控制的解是存在的且唯一的a.存在性P唯一存在b.唯一性（微分方程解的存在性和唯一性定理）第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題165.總結狀態(tài)調節(jié)器控制規(guī)律其中P(t)滿足下面的矩陣黎卡提微分方程及邊界條件最優(yōu)狀態(tài)x*(t)則是下列線性微分方程解在最優(yōu)控制情況下，系統(tǒng)性能指標具有最小值第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題17例：設有一階系統(tǒng)性能指標求最優(yōu)控制u*(t)解：③帶入黎氏方程得第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題18④狀態(tài)方程的解雙曲余切（將定常系統(tǒng)變?yōu)榱藭r變系統(tǒng)）此時tf有限6.定常情況下，tf→∞時的狀態(tài)調節(jié)器①結論：設有定常線性可控系統(tǒng)。二次型性能指標第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題19u(t)不受約束，Q、R都是正定常數(shù)矩陣則，最優(yōu)控制存在。且可唯一的表示為其中是n×n正定常數(shù)矩陣，滿足下列的非線性黎卡提矩陣代數(shù)方程此時最優(yōu)軌線x*(t)是下列線性是不變齊次方程的解第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題20采用最優(yōu)控制規(guī)律時，系統(tǒng)的性能指標J取最小值J*說明：<1>系統(tǒng)是可控的<2>系統(tǒng)是定常的（前提條件）②無限時間狀態(tài)調節(jié)器是大范圍漸進穩(wěn)定的考察二次型第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題21將狀態(tài)方程帶入三.輸出調節(jié)器1.問題。設有線性系統(tǒng)第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題22其中x(t)為n維狀態(tài)向量，y(t)為q維輸出向量，u(t)為p維控制矩陣，u(t)不受約束。假定系統(tǒng)完全能觀，尋找最優(yōu)控制u*(t),使性能指標最小，其中F和Q(t)是半是正定對稱矩陣，R(t)正定對稱陣2.分析第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題23將代入則<1>對稱陣<2>半正定陣對所有q維向量y(t)都成立第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題24由對所有q維向量C(t)x(t)都成立由于系統(tǒng)完全能觀對所有x(t)都成立3.輸出調節(jié)器控制規(guī)律其中P(t)滿足下面的矩陣黎卡提微分方程及邊界條件第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題25最優(yōu)軌線滿足方程最優(yōu)性能指標為結構圖第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題26最優(yōu)控制輸出調節(jié)器仍然是狀態(tài)反饋，不是輸出反饋，需要所有的狀態(tài)變量4.線性定常系統(tǒng)當tf→∞時的輸出調節(jié)器設有線性系統(tǒng)系統(tǒng)完全能控完全能觀，性能指標第4章——線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題27其中u(t)不受約束，Q、R都是正定常數(shù)矩陣則，最優(yōu)控制存在。且可唯一的表示為其中是n×n正定常數(shù)矩陣，滿足下列的非線性