關(guān)于線性代數(shù)向量的定義及運(yùn)算第一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日平面上的向量的全體：任意規(guī)定加法和數(shù)乘為：易見向量的加法和數(shù)乘滿足矩陣的8條運(yùn)算規(guī)律.于是就是平面上全體向量的集合，具有兩個(gè)封閉的運(yùn)算（加法和數(shù)乘），這兩個(gè)運(yùn)算適合8條規(guī)律.§4.1向量的定義及運(yùn)算第二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日同樣，（歐式）空間中的向量視為即實(shí)數(shù)域上所有三維向量的全體.類似地規(guī)定向量加法和數(shù)乘，加法和數(shù)乘運(yùn)算也適合8條規(guī)律.第三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日n維行向量和n維列向量都稱為n維向量(vector)，n維向量常用小寫黑體字母表示.將2、3維向量推廣到n維向量.定義4.1.1由n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組，記作稱為n維行向量；若記作則稱為n維列向量.稱數(shù)為的第i個(gè)分量.第四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例：n維實(shí)向量n維復(fù)向量第1個(gè)分量第n個(gè)分量第2個(gè)分量例：n-1次代數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)向量n維向量的實(shí)際意義：第五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

時(shí)，維向量沒(méi)有直觀的幾何形象．例：確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個(gè)參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的仰角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量第六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.2設(shè)兩個(gè)向量則稱向量α與β相等，記作α=β.（1）如果它們對(duì)應(yīng)的分量分別相等，即（3）數(shù)量乘法：k為實(shí)數(shù)，稱向量（2）加法：稱向量為α與β的和，記作為k與α的數(shù)乘，記作第七頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日（5）稱為α的負(fù)向量，記作-α.因而可以定義向量的減法運(yùn)算：（4）分量全為0的向量稱為零向量，記作0（注意區(qū)別數(shù)零和零向量）.第八頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)任意的n維向量α,β,γ及任意的數(shù)k,l，向量的線性運(yùn)算滿足下面八條基本的運(yùn)算規(guī)律：

向量的加法以及數(shù)與向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，這些運(yùn)算可歸結(jié)為數(shù)（分量）的加法與乘法.顯然，向量的線性運(yùn)算是矩陣的線性運(yùn)算的特殊情形.第九頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.3全體n維實(shí)行向量構(gòu)成的集合，對(duì)于上面定義的向量加法、實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算，構(gòu)成n維（實(shí)）行向量空間；類似地，定義n維（實(shí)）列向量空間；用符號(hào)表示或，稱為n維（實(shí)）向量空間.第十頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.1.1設(shè)求解：第十一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日得到的向量稱為向量組的線性組合，或稱可由線性表出.定義4.1.4給定中的向量實(shí)數(shù)經(jīng)線性運(yùn)算兩個(gè)向量的線性組合的幾何示意圖第十二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日證明：由向量的線性運(yùn)算，得即例4.1.2向量和的幾個(gè)線性組合：例4.1.4證明：任意n維向量是向量組的線性組合.第十三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.1.5令，能否寫成和的線性組合？解：根據(jù)定義，問(wèn)題即判斷向量方程是否有解.即第十四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日利用初等行變換將增廣矩陣化成行最簡(jiǎn)形：解是因此可以寫成和的線性組合：第十五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日其增廣矩陣為當(dāng)是行向量空間時(shí)，上式兩端轉(zhuǎn)置，得當(dāng)是列向量空間時(shí)，其增廣矩陣為有無(wú)解.一般地，判斷能否由向量組線性表出，即判斷向量方程線性方程組的向量表示形式第十六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日定義4.1.5設(shè)由的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合稱為由

張成（生成）的的子集，記為即

若和是非零向量，且不共線，則表示由向量和確