B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2- B3.1.2B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2- B3.1.2微分形式的連續(xù)性方邊長(zhǎng)為dx,dy,dz的長(zhǎng)方體控制體元δt內(nèi)x方向凈流 dxdydzδt單位時(shí)間單位體積x，y，z方向凈流出質(zhì)量因密度變化引起的質(zhì)量減,,由質(zhì)量守恒定ρuρvρwdxdydzδt0，即在一點(diǎn)上仍成立B3.1.2微分形式的連續(xù)性方程(2- ρρuρvρwρ(ρv) 用場(chǎng)量公式并運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程Dρρv或改v1ρ不可壓縮流體連續(xù)性方B3.1.1流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理(2- B3.1微分形式的質(zhì)量守恒方..流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)——流動(dòng)連續(xù)性古代，漏壺、水流計(jì)17世紀(jì)哈維：血液循環(huán)理解剖發(fā)現(xiàn)：從心臟到動(dòng)脈末端血液?jiǎn)味繙y(cè)量：每小時(shí)流出心臟血液河水流速與河橫截面積成反16世紀(jì)，達(dá)河水流速與河橫截面積成反16世紀(jì)，達(dá)·芬17世紀(jì)，哈維發(fā)血液循環(huán)理45年后發(fā)血液循環(huán)理18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方血液18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方[例B3.1.2]不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程求：

u

x2y

（C為常數(shù)解：由不可壓縮流連vuv

vu

B3.2.1體積力和表面力(2- B3.2作用在流體元上的..體積B3.2.1體積力和表面力(2- B3.2作用在流體元上的..體積力和表面1.體積單位質(zhì)量流體上的體積f(,,,)limδδτ0ρδ單位體積流體上的體積ρflimδδτδB3.2.1體積力和表面力(2- 2.表面表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程p(x,y,z,t)limδnδA0δδn——面積元外法線單位－n——pnp-B3.2.2重力 B3.2.2重力在直角坐標(biāo)系的重力場(chǎng)x y zfgkπ稱為重力勢(shì)，代表單位質(zhì)量流體具有的重力勢(shì)fπxfπyfzv2cxydyf(x) f(x)(x2y2 x2=當(dāng)f(x)=U，表示點(diǎn)渦流疊加y方向速度為UB3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4-B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4- 作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個(gè)應(yīng)力分量如作用在任n(nxnynz)面元上的p τPnnP=n,n,τ zττp表面pnpnτn xx yy zzpnτnpn xx yy zzpnτnτn xx yy zz1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力與作用力的大小、方向、應(yīng)力矩用過(guò)量唯一確pPxττzτpzzpxy,pyy,zx,τxyττxzτzxτyzτzyB3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4- 3.應(yīng)力的常用表達(dá)運(yùn)動(dòng)粘性流體中的(平均)壓p1 在法向應(yīng)力中把壓強(qiáng)分離pxxppyypσ pσ,σ z為附加法向應(yīng)力分量（與流體線應(yīng)變率有關(guān) 0應(yīng)力矩陣表示P zyτxzτ0σz壓強(qiáng)矩偏應(yīng)力B3.2.3應(yīng)力B3.2.3應(yīng)力場(chǎng)(4- 2.靜止流體中的應(yīng)力狀無(wú)切應(yīng)無(wú)切應(yīng)靜止流體的應(yīng)力狀只有pxxpyypzzpnnP 0 0結(jié)論：靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 0u求：

v

（k為常數(shù)解： σx2μu2μ

σy2μvpxxpσx σ

τxyτyxμ(uv)μ 已知：二維不可壓縮平面流場(chǎng)uv（k為常數(shù)求：試分析該流場(chǎng)中的應(yīng)力狀解：附加法向應(yīng)σx2μxσy2μv流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力pxxpσxppyypσy切向應(yīng)力τxyτyxμ(uv)μ(kk) 討論（1）線應(yīng)變率處處為零，附加法向應(yīng)力為零，全流的法向應(yīng)力均等于平衡壓B3.3微分形式的動(dòng)量方程(2- 按牛頓第二定律，長(zhǎng)方體流體元的運(yùn)動(dòng)方程dFdFsdmdbd各面元上x(chóng)方向表面力的分量如圖示，表力合力dFsx由應(yīng)力梯造dFsx(pxxdx)dydz(τyxdy)dxdz(τzxdz)dxd討論：附加法向應(yīng)力與該方向的線應(yīng)變率有關(guān)，平面線性剪切流中任點(diǎn)處在x、y均為零，x,yB3.3微分形式的動(dòng)量方程(2-xx方向的體積力分量 dFx將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利用dmρdxdydz和質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

ρfx

同理可

τyxpyy

ρfyx

τzy

ρfzzx

zzρ(wuwvwwB3.4納維－斯托克斯方程(4- B3.4納維－斯托克斯方 斯托B3.4納維－斯托克斯方程(4- B3.4納維－斯托克斯方 斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定律從一維推廣靜止時(shí)法向應(yīng)力等于靜壓對(duì)牛頓流體（μ＝常數(shù)pp2μu2μxττ u xypp2μv2μyττ wpp2μw2μv ττ z不可壓縮條件（ρ＝常數(shù)vuvx 均代入粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方B3.4納維－斯托克斯方程(4- 可得均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(N－S方程 ρf uup zx uuu22 v v v ρf pz vvvy 222x 2 w www222 ρf zz 2N－S常數(shù)常上式稱為粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程，適用于任何流B3.4納維－斯托克斯方程(4-N－SDvfpN－S加上連續(xù)性方程v0四個(gè)方程求解四個(gè)未知u、v、w、p，方程組是在邊界條件較簡(jiǎn)單時(shí)可求解析解;在邊界雜時(shí)可求對(duì)不同的流動(dòng)專題可作不同程度的簡(jiǎn)化（見(jiàn)專題篇）(v((v(v)v[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性層流(3-求：(1)速度分 (2)壓強(qiáng)分(3)切應(yīng)力分布(4)解在圖示坐標(biāo)系中連續(xù)性方程uv (uuuvu) fxp(2u2u (tuxvy) fyy x2y2＝體積力力粘性＝—＋歐拉方(v(v)v＝ —0相對(duì)a＝ 0＝—B3.5邊界條件與初始條件(2- 粘性流體：不滑移條件(圖vv無(wú)粘性流體：法向速度連續(xù)(圖vn=vn(2)v=v∞，p=N－S方慣性N－S方慣性平衡方平衡方B3.5邊界條件與初始條件(2- (3)條v=v(3)條v=vin(4)p=pinpτs定常流時(shí)無(wú)初始條不定常流時(shí)給出某時(shí)刻的v(t0),p(t0),ρ(t0) B3.6壓強(qiáng) B3.6壓強(qiáng)由N－S方粘性流由邊界條件(2):y=0,u=0可得C2由邊界條件(3):y=b,h(ddygsinhCCghsi11ugsin(2hyy2Qudyh(hyy) 1h3h30uufy=ρgcosθpgcos由邊界條件(1y=h,p=0,C(x)=ρghcosθp g(hy)且p0，由(b0gsind2u gugsi 1Cy (v(vB3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3- B3.6.1靜止重力流體中的壓強(qiáng)分1.壓強(qiáng)分布一般表達(dá)均質(zhì)靜止流 ρ=常數(shù)在重力場(chǎng)fxfy f由N-Spp上式說(shuō)明：z方向壓強(qiáng)梯度由單位體積流體的重力p積分可 無(wú)粘性流

＝

(v(v相對(duì)平相對(duì)平

＋絕對(duì)平pppp00在垂直方向壓強(qiáng)與淹深成線性在水平方向壓強(qiáng)保持常p為自由面上的壓強(qiáng)，h為淹B3.6.2壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2- B3.6.2壓強(qiáng)1.壓強(qiáng)計(jì)示方式pp0p0提供壓強(qiáng)完全真絕對(duì)壓強(qiáng)基表壓強(qiáng)習(xí)慣pB3.6.13-3.等壓在連3.等壓在連通的同種流體中的等壓強(qiáng)面稱為等壓面在靜止重力流體中的等壓面為水hh＝2－2不同液1－1非壓[例B3.6.1][例B3.6.1]大氣壓強(qiáng)真空度U 1[例B3.6.2]單管測(cè)U 1[例B3.6.2]單管測(cè)壓計(jì) 求：pA與測(cè)壓管高度h的關(guān)系解pA(表壓強(qiáng))ghh為被測(cè)點(diǎn)的淹深，稱為測(cè)壓管高度pAg壓強(qiáng)勢(shì)重力勢(shì)討論：pAh[例B3.6.2]U形管測(cè)壓計(jì)已知：U形管水銀測(cè)壓計(jì)中h120cm,Δh=10cm求：pAPa解：沿pAρgh1ρmghpρghA115303.61.013105[例B3.6.2A]U形管差zAzBU形管水銀測(cè)壓計(jì)中液面差Δh ΔppApB(Pa,表壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)解沿pAρg(zAh)pBρgzBpp- ρg(zz)(ρ- 國(guó)際單位制（SI）：帕斯卡1Pa=1N1Pa=1N測(cè)壓管高 h=pA米水柱mH2O（水頭高）毫米柱mmHg（血壓計(jì)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓atm(標(biāo)準(zhǔn)國(guó)際大氣模型1a