山西省忻州市上磨坊中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則值為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A試題分析：考點(diǎn)：同角間三角函數(shù)關(guān)系2.已知全集(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B3.方程的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）．

A.(0,2)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)參考答案：C4.函數(shù)是（）A．周期為的奇函數(shù)

B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)參考答案：D5.10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是設(shè)其平均數(shù)為,中位數(shù)為,眾數(shù)為，則有

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C，所以。6.下列問(wèn)題中是古典概型的是（）A．種下一粒楊樹(shù)種子，求其能長(zhǎng)成大樹(shù)的概率B．?dāng)S一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C．在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5的概率D．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率參考答案：D【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】應(yīng)用題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)古典概型的特征：有限性和等可能性進(jìn)行排除即可．【解答】解：A、B兩項(xiàng)中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項(xiàng)中基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)；D項(xiàng)中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性的合理運(yùn)用．7.函數(shù)與

的圖像可能是（

）

A

B

C

D參考答案：C略8.某學(xué)校高一年級(jí)共有480名學(xué)生，為了調(diào)查高一學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30名學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象.將480名學(xué)生隨機(jī)從1～480編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成30組(1～16號(hào)，17～32號(hào)，…，465～480號(hào))，若從第1組中用抽簽法確定的號(hào)碼為5，則第8組中被抽中學(xué)生的號(hào)碼是（）A.25 B.133 C.117 D.88參考答案：C根據(jù)系統(tǒng)抽樣樣本編號(hào)的確定方法進(jìn)行求解，因?yàn)榈?組抽出的號(hào)碼為5，分組間隔為16，所以第8組應(yīng)抽出的號(hào)碼是(8-1)×16+5=117。選C。點(diǎn)睛：系統(tǒng)抽樣則主要考查分組數(shù)和由第一組中抽取的樣本推算其他各組應(yīng)抽取的樣本，即等距離的特性，解題的關(guān)鍵是的關(guān)鍵是掌握系統(tǒng)抽樣的原理及步驟。9.在△ABC中，若，則B=A. B. C. D.或參考答案：A由正弦定理有，所以，，又因?yàn)?故，選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了用正弦定理解三角形，屬于易錯(cuò)題．本題運(yùn)用大邊對(duì)大角定理是解題的關(guān)鍵．10.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是

（

）A.32

B.16+

C.48

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則______．參考答案：【分析】利用二倍角的正弦函數(shù)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，因?yàn)?，則.故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．12.幾位同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)給出了下面幾個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)；②若，則一定有；③f(x)在(0,+∞)是增函數(shù)；④若規(guī)定，且對(duì)任意正整數(shù)n都有：，則對(duì)任意恒成立.上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________.參考答案：①②③④【分析】考慮時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性即可判斷出①②③是否正確，利用歸納推理的思想判斷是否正確.【詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)且是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)且是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，由此可判斷出①②③正確，因?yàn)?，，，由歸納推理可得：，所以④正確.故答案為：①②③④.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性的綜合運(yùn)用，難度較難.（1）分段函數(shù)的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函數(shù)在判斷單調(diào)性時(shí)，除了要考慮每一段函數(shù)單調(diào)性，還需要考慮到在分段點(diǎn)處各段函數(shù)的函數(shù)值的大小關(guān)系.13.已知，則f(x)=

，的單調(diào)遞增區(qū)間為

．參考答案：

當(dāng)，則，所以，即；，定義域?yàn)椋覍?duì)稱(chēng)軸為，所以?xún)?nèi)函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又外函數(shù)在單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”，原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為。

14.數(shù)列…的前_____項(xiàng)和為最大？參考答案：10

略15.正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線(xiàn)AB1與 CC1所成的角為

，異面直線(xiàn)AB1與CD1所成的角為

，異面直線(xiàn)AB1與A1D所成的角為

。參考答案：16.銳角△ABC的三邊a，b，c和面積S滿(mǎn)足條件，且角C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.參考答案：【分析】根據(jù)余弦定理和面積公式可得，得，結(jié)合范圍確定結(jié)果.【詳解】，，又，，，銳角三角形不是最大角、也不是最小角，則，，，故荅案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．17.若a+b=450，則(1+tana)(1+tanb)=______參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知三條直線(xiàn)l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）證明：這三條直線(xiàn)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）求這三條直線(xiàn)圍成的三角形的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】IM：兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）分別求出直線(xiàn)l1與l3的交點(diǎn)A、l1與l2的交點(diǎn)B和l2與l3的交點(diǎn)C，且判斷三點(diǎn)的坐標(biāo)各不相同即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由AB⊥BC知點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點(diǎn)外；由此求出△ABC的面積最大值．【解答】解：（1）證明：直線(xiàn)l1：ax﹣y+a=0恒過(guò)定點(diǎn)A（﹣1，0），直線(xiàn)l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)A（﹣1，0），∴直線(xiàn)l1與l3交于點(diǎn)A；又直線(xiàn)l2：x+ay﹣a（a+1）=0不過(guò)定點(diǎn)A，且l1與l2垂直，必相交，設(shè)交點(diǎn)為B，則B（，）；l2與l3相交，交點(diǎn)為C（0，a+1）；∵a＞0，∴三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)不相同，即這三條直線(xiàn)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形如圖所示；AB⊥BC，∴點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點(diǎn)外；則△ABC的面積最大值為S=?|AC|?|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19.（14分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且。若對(duì)任意都有。

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不等式≤對(duì)所有和都恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）設(shè)任意滿(mǎn)足，由題意可得

，

∴在定義域上位增函數(shù)?！?分

（2）由（1）知。

∴即的取值范圍為。

……8分

20.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)為，定義為，某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置。生產(chǎn)臺(tái)的收入函數(shù)為（單位元），其成本函數(shù)為（單位元），利潤(rùn)的等于收入與成本之差.①求出利潤(rùn)函數(shù)及其邊際利潤(rùn)函數(shù)；②求出的利潤(rùn)函數(shù)及其邊際利潤(rùn)函數(shù)是否具有相同的最大值；③你認(rèn)為本題中邊際利潤(rùn)函數(shù)最大值的實(shí)際意義.參考答案：略21.如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點(diǎn)．（Ⅰ）若弧BC的中點(diǎn)為D．求證：AC∥平面POD；（Ⅱ）如果△PAB面積是9，求此圓錐的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】（Ⅰ）證法1：設(shè)BC∩OD=E，由已知可證AC∥OE，線(xiàn)線(xiàn)平行即可證明線(xiàn)面平行AC∥平面POD；證法2：由AB是底面圓的直徑，可證AC⊥BC，利用OD⊥BC，可證AC∥OD，即可判定AC∥平面POD．（Ⅱ）設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，由圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，可求，利用三角形面積公式可求r，進(jìn)而可求此圓錐的表面積．【解答】解：（Ⅰ）證法1：設(shè)BC∩OD=E，∵D是弧BC的中點(diǎn)，∴E是BC的中點(diǎn)，又∵O是AB的中點(diǎn)，∴AC∥OE，又∵AC?平面POD，OE?平面POD，∴AC∥平面POD．證法2：∵AB是底面圓的直徑，∴AC⊥BC，∵弧BC的中點(diǎn)為D，∴OD⊥BC，又AC，OD共面，∴AC∥OD，又AC?平面POD，OD?平面POD，∴AC∥平面POD．（Ⅱ）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為