單元測(cè)評(píng)(一)計(jì)數(shù)原理(A卷)(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，共50分．1．從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有()A．70種 B．112種C．140種 D．168種解析：方法一(直接法)：分類完成：第1類，甲參加或乙參加，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)種挑選方法；第2類，甲、乙都參加，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,8)種挑選方法．所以不同的挑選方法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,8)＝140種．方法二(間接法)：從甲、乙等10人中挑選4人共有Ceq\o\al(4,10)種挑選方法，甲、乙兩人都不參加挑選方法有Ceq\o\al(4,8)種，所以甲、乙兩人中至少有1人參加的不同的挑選方法有Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,8)＝140種．答案：C2．五本不同的書在書架上排成一排，其中甲，乙兩本必須連排，而丙，丁兩本不能連排，則不同的排法共有()A．12種 B．20種C．24種 D．48種解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再將丙，丁插入，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝2×3×2×2＝24種．答案：C3．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))5的展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是()A．－5 B．5C．－10 D．10解析：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(x2)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,5)·x10－2k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k·(－1)k＝Ceq\o\al(k,5)·x10－3k·(－1)k.由10－3k＝4知k＝2，即含x4的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)(－1)2＝10.答案：D4．如圖，要給①，②，③，④四塊區(qū)域分別涂上五種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．320 B．160C．96 D．60解析：按③→①→②→④的順序涂色，有Ceq\o\al(1,5)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝5×4×4×4＝320種不同的方法．答案：A5．一次考試中，要求考生從試卷上的9個(gè)題目中選出6個(gè)進(jìn)行答題，要求至少包含前5個(gè)題目中的3個(gè)，則考生答題的不同選法的種數(shù)是()A．40 B．74C．84 D．200解析：可按包括前5個(gè)題的個(gè)數(shù)分類，共有不同的選法Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(1,4)＝74種．答案：B6．從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析：若選0，則0只能在十位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,3)＝6；若選2，則2只能在十位或百位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2×Aeq\o\al(2,3)＝12，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得總個(gè)數(shù)為6＋12＝18.答案：B7．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為()A．1 B．－1C．0 D．2解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋eq\r(3))4×(－2＋eq\r(3))4＝1.答案：A8．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂會(huì)，出場(chǎng)的順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)是()A．6Aeq\o\al(3,3) B．3Aeq\o\al(3,3)C．2Aeq\o\al(3,3) D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)解析：先選一名男歌手排在兩名女歌手之間，有Aeq\o\al(1,4)種選法，這兩名女歌手有Aeq\o\al(2,2)種排法，把這三人作為一個(gè)元素，與另外三名男歌手排列有Aeq\o\al(4,4)種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種出場(chǎng)方案．答案：D9．有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，又不與乙相鄰，則不同的站法有()A．24種 B．36種C．60種 D．66種解析：先排甲、乙外的3人，有Aeq\o\al(3,3)種排法，再插入甲、乙兩人，有Aeq\o\al(2,4)種方法，又甲排在乙的左邊和甲排在乙的右邊各占eq\f(1,2)，故所求不同的站法有eq\f(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝36(種)．答案：B10．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．72 B．96C．108 D．144解析：從2,4,6三個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有Ceq\o\al(1,3)種方法，將其余兩個(gè)偶數(shù)全排列，有Aeq\o\al(2,2)種排法，當(dāng)1,3不相鄰且不與5相鄰時(shí)有Aeq\o\al(3,3)種方法，當(dāng)1,3相鄰且不與5相鄰時(shí)有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)種方法，故滿足題意的偶數(shù)個(gè)數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)(Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3))＝108個(gè)．答案：C第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．11．從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選出三名同學(xué)，分別參加三個(gè)不同科目的競(jìng)賽，其中甲同學(xué)必須參賽，則不同的參賽方案共有__________種．解析：從除甲外的乙，丙，丁三名同學(xué)中選出兩人有Ceq\o\al(2,3)種選法，再將3人安排到三個(gè)科目，有Aeq\o\al(3,3)種不同排法，因此共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種不同方案．答案：18\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________(用數(shù)字作答)．解析：(化簡(jiǎn)三項(xiàng)為二項(xiàng))：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq\f(1,32x5)·[(x＋eq\r(2))2]5＝eq\f(1,32x5)·(x＋eq\r(2))10.求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求(x＋eq\r(2))10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)，即Ceq\o\al(5,10)·(eq\r(2))5.所以所求的常數(shù)項(xiàng)為eq\f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq\f(63\r(2),2).答案：eq\f(63\r(2),2)13．今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有__________種不同的方法(用數(shù)字作答)．解析：只需找到不同顏色的球所在的位置即可，有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＝1260種．答案：126014．某校邀請(qǐng)6位學(xué)生的父母共12人，請(qǐng)這12位家長(zhǎng)中的4位介紹其對(duì)子女的教育情況，如果這4位家長(zhǎng)中恰有一對(duì)是夫妻，那么不同的選擇方法有__________種．解析：先從6對(duì)夫妻中任選出一對(duì)，有Ceq\o\al(1,6)種不同的選法，再從其余的10人中任選出2人，有Ceq\o\al(2,10)種選法，其中這2人恰好是一對(duì)夫妻的選法有Ceq\o\al(1,5)種，所以共有Ceq\o\al(1,6)(Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(1,5))＝240種不同選法．答案：240三、解答題：本大題共4小題，滿分50分．15．(12分)已知二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,\r(x))))n展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大240，(1)求n；(2)求展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有含x的有理項(xiàng)．解：(1)由已知得：4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.(2分)(2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：Ceq\o\al(r,4)(5x)4－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,4)54－r(－1)rx4－eq\f(3,2)r，令4－eq\f(3,2)r＝1?r＝2所以含x項(xiàng)的系數(shù)：Ceq\o\al(2,4)52(－1)2＝150.(7分)(3)由(2)得：4－eq\f(3,2)r∈Z，(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4.所以展開式中所有含x的有理項(xiàng)為：第1項(xiàng)625x4，第3項(xiàng)150x，第5項(xiàng)x－2.(12分)16．(12分)一棟7層的樓房備有電梯，在一樓有甲、乙、丙三人進(jìn)了電梯，求滿足有且僅有一人要上7樓，且甲不在2樓下電梯的所有可能情況的種數(shù)．解：由題意知需要分兩類：第1類，甲上7樓，乙和丙在2,3,4,5,6層樓每個(gè)人有5種下法，共有52種；(5分)第2類，甲不上7樓，則甲有4種下法，乙和丙選一人上7樓，另一人有5種下法，共有4×2×5種．(10分)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有52＋4×2×5＝65種可能情況．(12分)17．(12分)現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個(gè)數(shù)字．(1)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個(gè)數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(4)選出一個(gè)偶數(shù)和三個(gè)奇數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？(5)如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由大到小的順序排列，則稱此正整數(shù)為“漸減數(shù)”，那么由這十個(gè)數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有多少個(gè)？解：(1)可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)Aeq\o\al(1,9)Aeq\o\al(2,9)＝648(個(gè))；(2分)(2)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＋Aeq\o\al(1,8)＋Aeq\o\al(1,4)＝156(個(gè))；(4分)(3)可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)Aeq\o\al(3,9)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,8)Aeq\o\al(2,8)＝2296(個(gè))．(分0占個(gè)位和0不占個(gè)位兩種情況)．(6分)(4)選出一個(gè)偶數(shù)和三個(gè)奇數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝1140(個(gè))．(分選出的偶數(shù)是0和不是0兩種情況)(9分)(5)由這十個(gè)數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(4,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－Ceq\o\al(0,10)－Ceq\o\al(1,10)＝1013(個(gè))．(12分)18．(14分)10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求出現(xiàn)如下結(jié)果時(shí)，各有多少種情況？(1)4只鞋子沒有成雙的；(2)4只鞋子恰成兩雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另兩只不成雙．解：(1)從10雙鞋子中選取4雙，有Ceq\o