三角方法本節(jié)采用三角方法研討幾何不等式。定理：若是內(nèi)部一點(diǎn)，從向三邊作垂線，則：這個(gè)不等式是鄂爾多斯在1935年的猜想，同年被莫德?tīng)栕C明，故被命名為鄂爾多斯-莫德?tīng)柌坏仁?。證明：將其變換為三角幾何不等式。記：，，，并應(yīng)用正弦定理和余弦定理。ABCPH1ABCPH1H2H3所以四點(diǎn)共圓，為圓直徑。由正弦定理得：，即：=1\*GB3①由余弦定理得：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=3\*GB3③同理：=4\*GB3④=5\*GB3⑤由=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤得：=6\*GB3⑥于是，我們只需證明：=7\*GB3⑦由于等項(xiàng)數(shù)多且根號(hào)，我們采用其平方策略，以及。由=3\*GB3③式及放縮法得：即：同理：，故由=6\*GB3⑥式：本題由放縮法得到：.證畢。用同樣的技巧繼續(xù)以下的題目?！驹囶}4】在銳角中，設(shè)分別是垂直于的垂足，試證：式中，代表三角形的周長(zhǎng)。ABCDEABCDEFPQR設(shè)：為的外接圓半徑，由正弦定理得：=1\*GB3①由于：，在中，由余弦定理得：即：即：同樣，，，=2\*GB3②由于對(duì)于如圖所示的三角形，因?yàn)闉榇棺?，則，，故：，，于是：同樣：，=3\*GB3③且，則在中，由余弦定理得：或：=4\*GB3④這里：同理：，=5\*GB3⑤由于，，則：簡(jiǎn)寫(xiě)為：=6\*GB3⑥而：簡(jiǎn)寫(xiě)為：=7\*GB3⑦簡(jiǎn)寫(xiě)為：=8\*GB3⑧那么，將=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧代入式得：這樣，我們需要攻克這個(gè)不等式式，或者現(xiàn)在，必須找到一個(gè)有界的，我們?cè)俅螌⑺硎緸閮蓚€(gè)平方和.=9\*GB3⑨其中=10\*GB3⑩將=10\*GB3⑩代入=9\*GB3⑨得：所以：即：如果證明：則式就得證。實(shí)際上，由柯西-蘇瓦茨不等式得：其中，均為正實(shí)數(shù)，因此式由柯西-蘇瓦茨不等式得證。另外，也可以得到的下限：由此可得周長(zhǎng)的下限，由=7\*GB3⑦式和式：考慮下面不等式：或：或：然而，這個(gè)結(jié)果是不成立的，請(qǐng)證明。這里，=10\*GB3⑩式的方法是本題的靈魂，注意應(yīng)用三角方法的這個(gè)思想?！驹囶}5】設(shè)三邊為，，的三角形內(nèi)心為，試證：對(duì)所有點(diǎn)滿足【證明】這個(gè)幾何不等式源于下列幾何恒等式：有多種方法建立這個(gè)恒等式，在笛卡爾平面坐標(biāo)系，使，，.設(shè)為內(nèi)切圓半徑，為半周長(zhǎng)，則得到內(nèi)心.由三角形面積及海倫公式得：，即：=1\*GB3①設(shè)，則：；；.一方面可得到：BACxy=2\*GB3②BACxy另一方面得到：=3\*GB3③由=2\*GB3②-=3\*GB3③得：=4\*GB3④下面我們計(jì)算=4\*GB3④的方括號(hào)，代入=4\*GB3④式得：=5\*GB3⑤這就證明了恒等式成立。本題的方法是建立平面坐標(biāo)系，并設(shè)點(diǎn)以及的坐標(biāo)，采用解析方法證明?！驹囶}6】設(shè)銳角三角形的外心為，點(diǎn)為點(diǎn)在上的垂足。假設(shè).試證：.【解析】不等式：可以寫(xiě)成：即：=1\*GB3①ABCPOD對(duì)于，=1\*GB3①式表示：=2\*GB3②ABCPOD（注：就是三角形中，大角對(duì)大邊）由圓的相交弦定理得：即：=3\*GB3③這里，為的外接圓半徑。由=3\*GB3③和=2\*GB3②式得：，即：=4\*GB3④由正弦定理：，代入=4\*GB3④式得：即：=5\*GB3⑤=5\*GB3⑤式就是需要我們證明的。最后代入角度條件：得到三角不等式：=6\*GB3⑥由于，，所以.證畢。最后我們用鄂爾多斯-莫德?tīng)柌坏仁郊訌?qiáng)版的巴羅斯不等式結(jié)束本節(jié)，需要知道下列三角不等式：命題：設(shè)為實(shí)數(shù)，且滿足，則：證明：由得：則：即：則：證畢。推論1：設(shè)為正實(shí)數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且滿足，試證下面不等式：證明：設(shè)，，=1\*GB3①由得：=2\*GB3②將=1\*GB3①代入=2\*GB3②得：即：證畢。定理：設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，為的角平分線與的交點(diǎn)。試證：證明：設(shè)，，，，，，，，.我們需要證明：這個(gè)很容易由下列恒等式放縮得到：令：，，采用不等式得：由上面的推論式得：證畢。應(yīng)用上面的三角命題，可以得到下面的不等式推論：設(shè)為正實(shí)數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且滿足，則：證明：設(shè)，，按，命題即：且：若，則加上