20232023學(xué)年高一年級(jí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（31）班級(jí)姓名學(xué)號(hào)編寫(xiě)：趙海通審閱：王欣欣陳業(yè)慧§1.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換．象限角的概念2．體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．3．掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角度制與弧度制的概念，弧度和角度的轉(zhuǎn)換；弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：區(qū)間角與象限角【學(xué)法指導(dǎo)】1．通過(guò)類(lèi)比長(zhǎng)度、重量的不同度量制，體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來(lái)度量，從而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含義是了解弧度制，并能進(jìn)行弧度與角度換算的關(guān)鍵．3．引入弧度制后，應(yīng)與角度制進(jìn)行對(duì)比，明確角度制和弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式的聯(lián)系與區(qū)別.一．知識(shí)導(dǎo)學(xué)1．1弧度的角：把長(zhǎng)度等于的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)表示，讀作．2．弧度制：用作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．3．角的弧度數(shù)的規(guī)定：一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)，零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是.這里，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．4．角度與弧度的互化：(1)角度轉(zhuǎn)化為弧度：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈45rad.(2)弧度轉(zhuǎn)化為角度：2πrad＝；πrad＝；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈°＝57°18′.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點(diǎn)一】弧度制問(wèn)題11弧度的角是怎樣規(guī)定的？1弧度的角和圓半徑的大小有關(guān)嗎？你能作出一個(gè)1弧度的角嗎？問(wèn)題2如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)是l，那么α的弧度數(shù)與l、r之間有著怎樣的關(guān)系？請(qǐng)你完成下表，找出某種規(guī)律.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)0——eq\f(π,2)r順時(shí)針?lè)较颚衦逆時(shí)針?lè)较?πr順時(shí)針?lè)较騟q\f(πr,180)逆時(shí)針?lè)较騬逆時(shí)針?lè)较?r順時(shí)針?lè)较蛞?guī)律：如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，那么_______________，即_________.問(wèn)題3除了角度制，數(shù)學(xué)還常用弧度制表示角．請(qǐng)敘述一下弧度制的內(nèi)容．問(wèn)題4角度制與弧度制換算時(shí)，靈活運(yùn)用下表中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，請(qǐng)補(bǔ)充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°【探究點(diǎn)二】弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式問(wèn)題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)角度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，請(qǐng)根據(jù)“一周角(即360°)的弧度數(shù)為2π”這一事實(shí)化簡(jiǎn)上述公式．(設(shè)半徑為r，圓心角弧度數(shù)為α)．問(wèn)題2角度制與弧度制下扇形的弧長(zhǎng)及面積公式對(duì)比：設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類(lèi)別α為角度制α為弧度制扇形的弧長(zhǎng)l＝____l＝扇形的面積S＝______S＝______＝_____【探究點(diǎn)三】利用弧度制表示終邊相同的角在弧度制下，與α終邊相同的角連同α在內(nèi)可以表示為2kπ＋α(k∈Z)，其中α的單位必須是弧度．問(wèn)題1利用弧度制表示終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合.終邊所在的位置角的集合x(chóng)軸y軸坐標(biāo)軸問(wèn)題2利用弧度制表示終邊落在各個(gè)象限的角的集合.α終邊所在的象限角α的集合ⅠⅡⅢⅣ【典型例題】例1．(1)把112°30′化成弧度；(2)把－eq\f(7π,12)化成角度．小結(jié)將角度轉(zhuǎn)化為弧度時(shí)，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記πrad＝180°即可求解．把弧度轉(zhuǎn)化為角度時(shí)，直接用弧度數(shù)乘以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°即可．跟蹤訓(xùn)練1。將下列角按要求轉(zhuǎn)化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)eq\f(8π,5)＝________度．例2．已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？小結(jié)靈活運(yùn)用扇形弧長(zhǎng)公式、面積公式列方程組求解是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，有時(shí)運(yùn)用函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想解決扇形中的有關(guān)最值問(wèn)題，將扇形面積表示為半徑的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為r的二次函數(shù)的最值問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練2。一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求圓心角的弧度數(shù)．例3．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23π,6)；(3)－4.小結(jié)在同一問(wèn)題中，單位制度要統(tǒng)一，角度制與弧度制不能混用．跟蹤訓(xùn)練3。將－1485°化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是___________．三．鞏固訓(xùn)練1．時(shí)針經(jīng)過(guò)一小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了 ()A．eq\f(π,6)rad B．－eq\f(π,6)radC．eq\f(π,12)rad D．－eq\f(π,12)rad2．若α＝－3，則角α的終邊在 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是()A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是_______．四．課后小結(jié)1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．2．解答角度與弧度的互化問(wèn)題的關(guān)鍵在于充分利用“