數(shù)學(xué)必修④·人教A版新課標(biāo)導(dǎo)學(xué)第二章平面向量2.2平面向量的線性運(yùn)算2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1自主預(yù)習(xí)學(xué)案2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案自主預(yù)習(xí)學(xué)案向量相同0

相反3．向量數(shù)乘的運(yùn)算律向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)＝______________；(2)(λ＋μ)a＝______________；(3)λ(a＋b)＝______________(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝______________＝______________，λ(a－b)＝______________．(λμ)a

λa＋μa

λa＋λb

－(λa)

λ(－a)

λa－λb

4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使____________．5．向量的線性運(yùn)算向量的______、______、________運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_______________．b＝λa

加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b

[知識點(diǎn)撥]向量共線定理的理解注意點(diǎn)及主要應(yīng)用1．定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．2．這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb＝0，則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0，則必有t＝s＝0．1．已知非零向量a、b滿足a＝4b，則 (

)A．|a|＝|b|

B．4|a|＝|b|C．a(chǎn)與b的方向相同 D．a(chǎn)與b的方向相反[解析]

∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|．∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．C

B

C

B

互動探究學(xué)案命題方向1

?向量的線性運(yùn)算[思路分析]運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律求解．典例1『規(guī)律總結(jié)』

向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中也可以使用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．命題方向2

?共線向量定理及其應(yīng)用典例2(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1．『規(guī)律總結(jié)』

用向量法證明三點(diǎn)共線時，關(guān)鍵是能否找到一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a、b為這三點(diǎn)構(gòu)成的其中任意兩個向量)．證明步驟是先證明向量共線，然后再由兩向量有公共點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線．命題方向3

?用向量的線性運(yùn)算表示未知向量典例3『規(guī)律總結(jié)』

解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內(nèi)，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示．A

命題方向4

?單位向量的應(yīng)用B

典例4B

三點(diǎn)共線定理典例5D

向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)弄不清楚，導(dǎo)致向量表示錯誤典例6[點(diǎn)評]

在向量的線性運(yùn)算中，向量的差、向量的方向都是易錯點(diǎn)，在運(yùn)算中要高度重視．另外，幾何圖形的性質(zhì)還要會準(zhǔn)確應(yīng)用．1．(2a－b)－(2a＋b)等于 (

)A．a(chǎn)－2b B．－2b

C．0 D．b－a2．已知λ、μ∈R，下面式子正確的是 (

)A．λa與a同向 B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，則|b|＝λ|a|[解析]

對A，當(dāng)λ>0時正確，否則錯誤；對B,0·a是向量而非數(shù)0；對D，若b＝λa，則|b|＝|λa|．B

C

D

4．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，則 (

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或e1＝0[解析]

當(dāng)e1＝0時，顯然有a∥b；當(dāng)e1≠0時，