山東省青島市第五十七中學2021年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象（

）.A.向右平移個長度單位

B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位

D.向左平移個長度單位

參考答案：A略2.已知直線與平面滿足，則下列判斷一定正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D因為，則；同時，則，所以D選項是正確的；對于A選項中的直線與平面的位置關系無法判斷，B選項中的直線也可能落在平面內；C選項中的平面與平面也可能相交，故答案選D．3.某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與19秒之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；……；第六組，成績大于等于18秒且小于19秒。右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖。設成績小于17秒的學生人數占全班總人數的百分比為x，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為y，則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為（

）

A．0.9,35

B．0.9,45

C．0.1,35

D．0.1,45

參考答案：答案：A4.如果復數的實部與虛部相等，則b的值為（）A.1

B.-6

C.3

D.-9參考答案：D考查復數令，展開解得a=3，b=-3a，故選D5.在長為12厘米的線段上任取一點，現作一矩形,鄰邊長分別等于線段的長,則該矩形面積大于20平方厘米的概率為（）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.已知直線：，曲線：，則“”是“直線與曲線有公共點”的(

▲

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A7.命題“所有能被2整除的整數都是偶數”的否定是

(

)A．所有不能被2整除的整數都是偶數

B．所有能被2整除的整數都不是偶數C．存在一個不能被2整除的整數是偶數

D．存在一個能被2整除的整數不是偶數參考答案：D略8.已知集合，,則()A.[2,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞)

C.(1,+∞)

D.[1,3)∪(3,+∞)參考答案：B略9.已知復數z=，則z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+2i D．2﹣2i參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算．【專題】計算題；規(guī)律型；數系的擴充和復數．【分析】直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可．【解答】解：復數z==1﹣i．故選：A．【點評】本題考查復數的代數形式的混合運算，考查計算能力．10.若對任意的實數a，函數都有兩個不同的零點，則實數b的取值范圍是（）A.(－∞,－1]

B.(－∞,0)

C.(0,1)

D.(0,+∞)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正四棱錐的底面邊長是6，高為，這個正四棱錐的則面積為_______.參考答案：48略12.已知拋物線的準線過雙曲線的右焦點，則雙曲線的離心率為

.參考答案：2拋物線的焦點坐標為，準線方程為。則。所以，解得，所以雙曲線的離心率為。13.設依次為的內角所對的邊，若，且，則_____________

參考答案：201114.在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數據如下表.觀察表中數據

的特點，用適當的數填入表中空白（

）內年齡（歲）30

35

40

45

50

55

60

65收縮壓（水銀柱

毫米）110

115

120

125

130

135（

）145舒張壓（水銀柱

毫米）70

73

75

78

80

83

（

）88參考答案：答案：（140）（85）15.已知函數，下列命題正確的是

。（寫出所有正確命題的序號）①是奇函數；

②對定義域內任意x，<1恒成立；

③當

時，取得極小值；④；⑤當x>0時，若方程||=k有且僅有兩個不同的實數解·cos=－sin。參考答案：②④⑤略16.運行如圖所示的偽代碼，則輸出的結果為

．參考答案：917.若奇函數在上單調遞減，則不等式的解集是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數f(x)＝ax2＋bx－lnx（a＞0，b∈R）．（Ⅰ）設a＝1，b＝－1，求f(x)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若對任意x＞0，f(x)≥f(1)．試比較lna與－2b的大?。畢⒖即鸢福骸局R點】導數最值的應用；利用導數研究函數的單調性．B12B3【答案解析】（Ⅰ）單調遞減區(qū)間是(0，1)，單調遞增區(qū)間是(1，＋∞)．（Ⅱ）lna＜－2b．解析：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝．……………2分∵a＝1，b＝－1，∴（x＞0）．………………3分令f′(x)＝0，得x＝1．當0＜x＜1時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；………………4分當x＞1時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．∴f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，1)，單調遞增區(qū)間是(1，＋∞)．…6分（Ⅱ）由題意可知，f(x)在x＝1處取得最小值，即x＝1是f(x)的極值點，∴f′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a．………………8分令g(x)＝2－4x＋lnx（x＞0），則g′(x)＝．令g′(x)＝0，得x＝．

………………10分當0＜x＜時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增；當x＞時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減．………………12分∴g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4＜0．∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，故lna＜－2b．……………………14分【思路點撥】（Ⅰ）a=1，b=-1時，得f（x）=x2-x-lnx，從而f′(x)＝，進而f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；（Ⅱ）由題意當a＞0時，x＝1是f(x)的極值點，再結合對于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出a，b的關系，再要研究的結論比較lna與-2b的大小構造函數g（x）=2-4x+lnx，利用函數的最值建立不等式即可比較大小19.（本小題滿分10分）如圖，在直三棱術中，,=4,點D是BC的中點。（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值。參考答案：20.（本小題滿分12分）如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸相交于兩點（點在點的下方），且．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于兩點，連接，求證：．參考答案：解：（Ⅰ）設圓的半徑為（），依題意，圓心坐標為.∵∴，解得．2分∴圓的方程為．4分（Ⅱ）把代入方程，解得或，即點．6分（1）當軸時，可知=0．（2）當與軸不垂直時，可設直線的方程為．聯立方程，消去得，．8分設直線交橢圓于兩點，則，．∴若，即10分∵，∴．12分21.已知向量=(cosx，－1)，=(sinx，cos2x)．（1）當x=時，求·的值；（2）若x∈[0，]，且·=，求cos2x的值．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算；三角函數中的恒等變換應用．【分析】（1）求出向量的坐標，再計算數量積；（2）化簡，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式計算cos2x．【解答】解：（1）當x=時，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，則sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．22.（本題滿分12分）

已知函數（1）試確定t的取值范圍，使得函數上為單調函數；（2）求證：；（3）求證：對于任意的，并確定這樣的的個數.參考答案：【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．B12

【答案解析】（1）（2）見解析（3）見解析解析：（1）因為……1分

（2）證：因為處取得極小值e

從而當時，，即------------------------5分

（3）證：因為，在上有解，并討論解的個數。-------------------7分。①當上有解，且只有一解

………………8分