《應用近世代數》

多媒體課件孔蔭瑩廣東財經大學數學與統(tǒng)計學院數學可以把靈活引導到真理。―蘇格拉底（Socrate,前469年—前399年）數學是科學的大門和鑰匙。-R.培根(RogerBacon,1214-1294)Historiesmakemenwise;poets,witty;themathermatics,subtile;naturalphilosophy,deep;moral,grave;logicandrhetoric,abletocontend…----F.培根（FrancisBacon1561～1626）第三章二、環(huán)內一些特殊元素和性質四、小結與思考一、環(huán)的定義第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束環(huán)的定義和基本性質三、環(huán)的分類一、環(huán)的定義機動目錄上頁下頁返回結束

1、定義1設是一個非空集合，在

中定義

兩種二元運算，一種是加法，記為+

，另一種

稱為乘法，記為.且滿足：是一個可換群；（1）

（2）

是一個半群；（3）

左、右分配律成立，即對任何

有機動目錄上頁下頁返回結束

則稱代數系是一個環(huán)（ring）.即環(huán)是有兩種運算，對加法是可換群，

對乘法

是半群，并適合分配律的代數系統(tǒng).2、定義2如果環(huán)對乘法也是可交換的,

則稱是可換環(huán)(Commutativering).例1都是環(huán)，

而且是可換環(huán).

例2設對復數

加法和復數乘法構成環(huán),稱為Guass整數環(huán).機動目錄上頁下頁返回結束

例3設是整數模

的同余類

集合，定義模的加法和乘法:則是環(huán)，稱為整數模的同余類環(huán).

例4設則對矩陣的加法和乘法構成環(huán),稱為數環(huán)

上的全矩陣環(huán).

例5

都是相應數環(huán)上的多項式環(huán).二、環(huán)內的一些特殊元素和性質機動目錄上頁下頁返回結束

1、設是一個環(huán)，加群

中的單位元,

記為，稱為零元.

加群中的元素的逆元,

記為,稱為的負元.

而環(huán)中的單位元是指乘法

半群中的單位元,記為環(huán)中元素的逆元

是指乘法半群中的逆元,記為機動目錄上頁下頁返回結束

2、環(huán)中可定義減法:環(huán)中的零元和負元有如下性質:此外,元素的倍數和冪可定義為機動目錄上頁下頁返回結束

3、定義3設是一個環(huán),若

且則稱為左零因子(leftzerodivisor)，為右零因子(rightzerodivisor).

若一個元素既是左零因子又是右零因子,則稱其為零因子(zerodivisor).例6在中，由于所以是左零因子，而是右零因子.機動目錄上頁下頁返回結束

又如在中,因為所以和都是零因子.4、定理1環(huán)中無(右)左零因子的充分必要條件

是乘法消去律成立.三、環(huán)的分類機動目錄上頁下頁返回結束

1、定義4設是一個環(huán).若可交換,且無零因子,則稱

是整環(huán)(domain).若滿足:(1)中至少有兩個元

（2）構成乘法群,則稱

是一個除環(huán)(divisionring).若是一個可換的除環(huán),則稱是域(field).機動目錄上頁下頁返回結束

2、定理2是域的充要條件是為素數.3、具有有限個元素的域，稱為有限域（finite

field）,是最簡單的有限域.顯然,在一個除環(huán)中,由于非零元成群,乘法消去律

成立,因而除環(huán)中無零因子.域中也無零因子,且域

必須是整環(huán).機動目錄上頁下頁返回結束

例7設則是一個除環(huán),此環(huán)稱為實四元數除環(huán)

(divisionringofrealquaternions).機動目錄上頁下頁返回結束