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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.3.若單位向量,夾角為,,且,則實(shí)數(shù)()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-14.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.5.“”是“函數(shù)(為常數(shù))為冪函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.7.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.78.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個(gè)充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,9.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.10.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.11.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說(shuō)法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.12.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-10114.在中,若,則的范圍為_(kāi)_______.15.已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=_____,|z|=_____.16.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn),的面積為3,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角所對(duì)的邊分別為向量,向量,且.(1)求角的大??;(2)求的最大值.18.(12分)已知數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)任意都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.22.(10分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱(chēng)為中青年,年齡在稱(chēng)為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)程序框圖寫(xiě)出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時(shí),滿足輸出的值為8.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫(xiě)出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.2、A【解析】
根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因?yàn)?,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用向量模的運(yùn)算列方程,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算,求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于,所以,即,,即,解得或.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.5、A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)定義,求得的值,結(jié)合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當(dāng)函數(shù)為冪函數(shù)時(shí),,解得或,∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷,冪函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問(wèn)題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、B【解析】考點(diǎn):程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時(shí)退出,故選B.8、B【解析】
根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),由于不在平面內(nèi),故無(wú)法得出.對(duì)于B選項(xiàng),由于,,所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于平面,故無(wú)法得出.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),無(wú)法得出.綜上所述,的一個(gè)充分條件是“,”故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入,排除掉C,D;再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】,排除掉C,D;,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問(wèn)題,代入特殊點(diǎn),采用排除法求解是解決這類(lèi)問(wèn)題的一種常用方法,屬于中檔題.10、B【解析】
求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【詳解】由,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.11、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),是一道基礎(chǔ)題.12、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即則通過(guò)降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡(jiǎn),由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.15、11【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)公式計(jì)算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z,∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)計(jì)算,根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計(jì)算模長(zhǎng),關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16、【解析】
對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程,令,可得點(diǎn)橫坐標(biāo),由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)2【解析】
(1)轉(zhuǎn)化條件得,進(jìn)而可得,即可得解;(2)由化簡(jiǎn)可得,由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù),,成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列,通過(guò)直接對(duì)進(jìn)行賦值計(jì)算出的首項(xiàng)和公比,即可求解出的通項(xiàng)公式;(2)的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式,采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為,,,解得(2),,,,.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法,可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來(lái)判斷.19、(1)(2)【解析】
利用零點(diǎn)分區(qū)間法,去掉絕對(duì)值符號(hào)分組討論求并集,對(duì)恒成立,則,由三角不等式,得求解【詳解】解:當(dāng)時(shí),不等式即為,可得或或,解得或或,則原不等式的解集為若對(duì)任意、都有,即為,由,當(dāng)取得等號(hào),則,由,可得,則的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問(wèn)題.(1)含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用解法可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解(2)利用三角不等式把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點(diǎn),∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個(gè)法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查線線垂直,先證線面垂直時(shí)解題關(guān)鍵,第二問(wèn)考查二面角,建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進(jìn)而求證;(2)取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】(1)在等腰梯形中,點(diǎn)E在線段上,且,點(diǎn)E為上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn),,,,,點(diǎn)P在底面上的射影為的中點(diǎn)G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.(2)取的中點(diǎn)F,連接,以G為原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由(1)易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,,設(shè)平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.22、(1);(2)見(jiàn)解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見(jiàn)解析,.【解析】
(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測(cè)值,對(duì)照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考
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