2021-2022學(xué)年湖南省郴州市芙蓉中心學(xué)校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是（）A．B．C．D．參考答案：D略2.為雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，A．9

B．16

C．18

D．27

參考答案：C3.函數(shù)有（）A.極大值5，極小值－27 B.極大值5，極小值-11C.極大值5，無(wú)極小值 D.極小值－27，無(wú)極大值參考答案：C試題分析：，令得到，令，結(jié)合，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取到極大值，無(wú)極小值考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性和極值4.若函數(shù)滿(mǎn)足，則等于

A.

－1

B.2

C.

－2

D.0參考答案：C略5.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

） A．(-1,2)

B．(-∞,-3)∪(6,+∞)

C．(-3,6) D．(-∞,-1)∪(2,+∞)

參考答案：B6.不等式的解集是

（

）

A．

B

C．

D．參考答案：D7.對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心．設(shè)函數(shù)，則＝（

）A．1

B．2

C．2013

D．2014

參考答案：C8.為了解一片速生林的生長(zhǎng)情況,隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)(單位:cm).根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出了樣本的頻率分布直方圖(如右),那么在這100株樹(shù)木中,底部周長(zhǎng)小于110cm的株數(shù)是（）A．30

B．60

C．70

D．80參考答案：C9.參考答案：C10.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f′（x）+f（x）＜0，則與f（1）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的大小關(guān)系是（）A．＞f（1） B．＜f（1）C．≥f（1） D．不確定參考答案：A【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=exf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，注意到已知f′（x）+f（x）＜0，可得g（x）為單調(diào)減函數(shù)，最后由，代入函數(shù)解析式即可得答案．【解答】解：設(shè)g（x）=exf（x），∵f′（x）+f（x）＜0，∴g′（x）=ex（f′（x）+f（x））＜0∴函數(shù)g（x）為R上的減函數(shù)；∵，∴g（m﹣m2）＞g（1）即，∴＞f（1）故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列1，，，……，的前n項(xiàng)和為

。參考答案：略12.已知滿(mǎn)足，則的最大值為

．參考答案：13.已知函數(shù)=

參考答案：略14.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件：①都在函數(shù)的圖象上；②關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)組與看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”）．已知函數(shù)有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__▲

_．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的分布，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【答案解析】解析：解：設(shè)(m，n)為函數(shù)當(dāng)x≥0時(shí)圖象上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)(m，n)是函數(shù)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”中的一個(gè)點(diǎn)，則其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(－m，－n)必在該函數(shù)圖象上，得，消去n得，若函數(shù)有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則該方程有2個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，得，解得.【思路點(diǎn)撥】對(duì)于新定義題，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，本題通過(guò)條件最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題進(jìn)行解答.15.如圖所示：若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)_________。參考答案：16.已知條件,條件,則是

條件.參考答案：充分不必要17.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若直線(xiàn)（t為參數(shù)）過(guò)橢圓C:（為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為_(kāi)_____.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，－sinx），且x∈[0,]。（1）求·及|+|；（2）當(dāng)λ∈（0,1）時(shí)，若f（x）=·－2λ|+|的最小值為，求實(shí)數(shù)λ的值。參考答案：（1）；（2）試題解析:（1），∵，∴.∵，∴，因此.（2）由（1）知，∴，∵，當(dāng)時(shí)，有最小值，解得.綜上可得：【點(diǎn)睛】求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類(lèi)型的題目及求解方法（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．本題屬于題型（2）。19.已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；（2）若f（1）=，試求f（x）在區(qū)間[﹣2，6]上的最值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可證明f（x）是奇函數(shù)；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，借助于已知等式證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)，從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．【解答】解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），∴f（x）=f（﹣x），即f（x）為奇函數(shù)；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）為增函數(shù)，∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；20.(本小題12分)某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)

的分布列為123450.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元．表示經(jīng)銷(xiāo)一件該商品的利潤(rùn)．（1）求事件：“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（2）求的分布列及期望．參考答案：解：（Ⅰ）由表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”，．（Ⅱ）的可能取值為元，元，元．，，．的分布列為（元）．略21.支付寶作為一款移動(dòng)支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．（1）通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查12位市民得知，其中有10人使用支付寶．現(xiàn)從這12位市民中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到2位使用支付寶的市民的概率；（2）為了鼓勵(lì)市民使用支付寶，支付寶推出了“獎(jiǎng)勵(lì)金”活動(dòng)，每使用支付寶支付一次，分別有，，的概率獲得0.1，0.2，0.3元獎(jiǎng)勵(lì)金，每次支付獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金情況互不影響．若某位市民在一天內(nèi)使用了2次支付寶，記X為這一天他獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）至少抽到2位使用支付寶的市民的概率為．（2）X的概率分布如下：X0.20.30.40.50.6P

EX＝0.2×＋0.3×＋0.4×＋0.5×＋0.6×＝．22.空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)的大小分為七檔（五級(jí)），相對(duì)空氣質(zhì)量的七個(gè)類(lèi)別，指數(shù)越大，說(shuō)明污染的情況月嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大.

指數(shù)級(jí)別類(lèi)別戶(hù)外活動(dòng)建議0～50Ⅰ優(yōu)適合正常戶(hù)外活動(dòng)51～100Ⅱ良101～150Ⅲ輕微污染易感人群癥狀有輕度加劇，健康人群出現(xiàn)刺激癥狀，心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體積消耗和戶(hù)外活動(dòng)151～200輕度污染201～250Ⅳ中度污染心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇，運(yùn)動(dòng)耐受力降低，健康人群中普遍出席癥狀，老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少戶(hù)外體力活動(dòng)251～300中度重污染301～350Ⅴ重污染健康人運(yùn)動(dòng)耐受力降低，有明顯強(qiáng)烈癥狀，提前出現(xiàn)某些疾病，老年人和病人應(yīng)當(dāng)留在室內(nèi)，避免體力消耗，一般人群應(yīng)盡量減少戶(hù)外活動(dòng)

現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了重慶某時(shí)間段連續(xù)60天空氣質(zhì)量指數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

空氣質(zhì)量指數(shù)0～5051～100101