2021-2022學年湖北省隨州市私立女子職業(yè)中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的圖象大致是（

）A. B.C. D.參考答案：A本題可以充分利用選項的漸近線以及函數(shù)在一定的區(qū)域上的符號即可以判斷，如：當當時，恒有,故排除選項D等等.解答：因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除C；當時，恒有，故排除D；時，，故可排除B；故選A.說明：本題考查函數(shù)的圖像.2.已知函數(shù)，且，則當時,的取值范圍是A． B． C． D．

參考答案：D【知識點】函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性；簡單的線性規(guī)劃因為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，所以由得，，即，即，其表示圓及其內(nèi)部，表示滿足的點P與定點A(-1,0)連線的斜率，結(jié)合圖形分析可得，直線AC的斜率最小，切線AB的斜率最大?！舅悸伏c撥】先由，且判斷出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，再結(jié)合表示的幾何意義求出范圍即可。

3.函數(shù)的定義域為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知是定義域為(－∞,+∞)的奇函數(shù),滿足.若，則（

）A.1 B.0 C.2 D.50參考答案：C分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．5.的值為（

）． A． B． C． D．參考答案：A∵．故選．6.設函數(shù)，若實數(shù)使得對任意實數(shù)恒成立，則的值等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C解：令c=π，則對任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，則對任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，選C7.若復數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)(

)A. B.

C.

D.參考答案：A8.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當時，，則=（）A. B. C.1 D.﹣1參考答案：A【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性確定函數(shù)周期性，再根據(jù)周期將自變量化到[-1,0]，代入解析式得結(jié)果.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，又是R上的奇函數(shù)，所以，即，，從而=，選A.【點睛】本題考查運用函數(shù)奇偶性求周期性并利用周期性求解函數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化求解能力.9.數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=，并且an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），則該數(shù)列的第2015項為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用遞推關(guān)系式推出{}為等差數(shù)列，然后求出結(jié)果即可．解答： 解：∵an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），∴anan﹣1+anan+1=2an+1an﹣1（n≥2），兩邊同除以an﹣1anan+1得：=+，即﹣=﹣，即數(shù)列{}為等差數(shù)列，∵a1=1，a2=，∴數(shù)列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴an=，即a2015=，故選：C．點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應用，判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．10.設是定義在R上的奇函數(shù)，且當時單調(diào)遞減，若，則的值

(

）A．恒為負值

B．恒等于零

C．恒為正值

D．無法確定正負參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列命題：①半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為的扇形面積為；②若、為銳角，則；③函數(shù)的一條對稱軸是；④是函數(shù)為偶函數(shù)的一個充分不必要條件.其中真命題的序號是

.參考答案：②③④12.已知函數(shù)，等于拋擲一顆均勻的正六面體骰子得到的點數(shù)，則在上有偶數(shù)個零點的概率是．參考答案：13.若，則cos2θ=

．參考答案：【考點】誘導公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案為：﹣．14.已知平面上的向量、滿足,，設向量，則的最小值是

。參考答案：答案：215.如圖,在三棱錐中,、、兩兩垂直,且．設是底面內(nèi)一點,定義,其中、、分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積．若,且恒成立,則正實數(shù)的最小值為______________.參考答案：1略16.執(zhí)行右圖所示的程序框圖后，輸出的值為，則的取值范圍為

．參考答案：略17.展開式中的系數(shù)為__________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2019年4月，甲乙兩校的學生參加了某考試機構(gòu)舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對這兩校參加考試的學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，考生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布，從甲乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷，并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖：（1）試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學生數(shù)學成績的中位數(shù)；（2）若把數(shù)學成績不低于135分的記作數(shù)學成績優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關(guān)？（3）從所有參加此次聯(lián)考的學生中（人數(shù)很多）任意抽取3人，記數(shù)學成績在134分以上的人數(shù)為，求的數(shù)學期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．參考公式與臨界值表：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828

參考答案：（1）甲，乙；（2）沒有90％的把握；（3）.【分析】（1）由莖葉圖的中位數(shù)計算即可；（2）得2×2列聯(lián)表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算K2，結(jié)合臨界值表可得；（3）因，所以，,由題意可知，計算即可.【詳解】（1）由莖葉圖可知：甲校學生數(shù)學成績的中位數(shù)為，乙校學生數(shù)學成績的中位數(shù)為，所以這40份試卷的成績，甲校學生數(shù)學成績的中位數(shù)比乙校學生數(shù)學成績的中位數(shù)高．（2）由題意，作出列聯(lián)表如下：

甲校乙校合計數(shù)學成績優(yōu)秀10717數(shù)學成績不優(yōu)秀101323合計202040

計算得的觀測值，所以沒有90的把握認為數(shù)學成績在100分及以上的學生中數(shù)學成績是否優(yōu)秀與所在學校有關(guān)．（3）因為，所以，，所以，所以，由題意可知，所以．【點睛】本題考查了莖葉圖的中位數(shù)，獨立性檢驗和正態(tài)分布與二項分布的綜合，屬于中檔題.19.已知點M（3，1），直線ax﹣y+4=0及圓（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求過M點的圓的切線方程；（2）若直線ax﹣y+4=0與圓相切，求a的值．參考答案：【考點】圓的切線方程．【專題】計算題；直線與圓．【分析】（1）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，可得當直線的斜率不存在時方程為x=3，符合題意．而直線的斜率存在時，利用點斜式列式并結(jié)合點到直線的距離公式加以計算，得到切線方程為3x﹣4y﹣5=0，即可得到答案．（2）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式建立關(guān)于a的方程，解之即可得到a的值．【解答】解：（1）∵圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，∴圓心C（1，2），半徑r=2，①當過M點的直線的斜率不存在時，方程為x=3，由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3﹣1=2=r知，此時直線與圓相切．②當直線的斜率存在時，設方程為y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0．根據(jù)題意，可得=2，解得k=，此時切線方程為y﹣1=（x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0綜上所述，過M點的圓的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0．（2）由題意，直線ax﹣y+4=0到圓心的距離等于半徑，可得，解之得a=0或．【點評】本題給出直線與圓相切，求切線的方程與參數(shù)a的值．著重考查了圓的方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．20.（本小題共14分）已知實數(shù)組成的數(shù)組滿足條件：①；

②.(Ⅰ)當時，求，的值；（Ⅱ）當時，求證：；（Ⅲ）設,且，

求證：.參考答案：(Ⅰ)解：

由（1）得，再由（2）知，且.當時，.得，所以……………2分當時，同理得………………4分（Ⅱ）證明：當時，由已知,.所以.………………9分（Ⅲ）證明：因為，且.所以,即

.……………11分).……………14分21.選修4-5：不等式證明選講已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值為1．（1）求證：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求實數(shù)t的最大值．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法．【分析】（1）法一：根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出f（x）的最小值，得到x=時取等號，證明結(jié)論即可；法二：根據(jù)f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最小值，證明即可；（2）法一，二：問題轉(zhuǎn)化為≥t恒成立，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出的最小值，從而求出t的范圍即可；法三：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，當x=時取等號，即f（x）的最小值為a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，顯然f（x）在（﹣∞，]上單調(diào)遞減，f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）的最小值為f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），當a=b=時，取得最小值，∴≥t，即實數(shù)t的最大值為；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即實數(shù)t的最大值為；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，實數(shù)t的最大值為．22.（本小題滿分12分）已知為等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及其前項和；（Ⅱ）若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.參考答案：解（Ⅰ）設等差數(shù)列的首項和公差分別為，①-②得