河南省商丘市深圳科技文化中學(xué)2022年度高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.某市進行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測，考試后統(tǒng)計的所有考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成績平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10％，則數(shù)學(xué)成績在90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為（

）A．10％

B．20％

C．30％

D．40％參考答案：D3.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的(

)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z=（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由題意得：

本題正確選項：D

5.某人射擊一次擊中的概率是0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：A6.已知函數(shù)的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的前n項的和為，則

（

）

A．

B．

C．45

D．55參考答案：C7.如果函數(shù)沒有零點，則的取值范圍為(

）A．

B．C．

D．參考答案：C8.已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（

）A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)的值域為[－1,3]C.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱 D.f(x)的圖象關(guān)于點對稱參考答案：D【分析】先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當(dāng)，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為：解得：若圖象關(guān)于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知平面向量，則下列說法中錯誤的是（

）A．

B．C．對同一平面內(nèi)的任意向量，都存在一對實數(shù)，使得D．向量與向量的夾角為45°

參考答案：C10.“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B因為“”是“”的逆否命題是“”是“”的必要不充分條件，選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是與的等比中項，且，則

參考答案：3略12.某高中有三個年級，其中高一學(xué)生有600人，若采用分層抽樣抽取一個容量為45的樣本，已知高二年級抽取20人，高三年級抽取10人，則該高中學(xué)生的總?cè)藬?shù)為___________。參考答案：1800

略13.已知

的最大值與最小值分別為M，N。則M+N=

參考答案：214.已知冪函數(shù)過點，則的反函數(shù)為____參考答案：（）【分析】先根據(jù)冪函數(shù)通過的點求出該冪函數(shù)，再求它的反函數(shù)即得?！驹斀狻吭O(shè)冪函數(shù)（為常數(shù)），由題得，解得，故.由可得，把x與y互換可得，得的反函數(shù)為.【點睛】本題考查求冪函數(shù)的解析式進而求其反函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題。15.設(shè)，的所有非空子集中的最小元素的和為，則=________．參考答案：略16.用一個邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，半徑為1的雞蛋（視為球體）放入其中，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為

參考答案：略17.

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點A（0，1），點B在直線l1：y=﹣1上，點M滿足，，點M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P，且與直線l1：y=﹣1相交于點Q，試探究，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點的坐標(biāo)為，由于點N在以PQ為直徑的圓上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對x0恒成立，必須有，即可得出．解法2：設(shè)點P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，得到直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點的坐標(biāo)為，可得以PQ為直徑的圓方程為：，由于在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，﹣1），進一步確定即可．解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲線C的方程式為x2=4y．（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點的坐標(biāo)為，∴，∵點N在以PQ為直徑的圓上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對x0恒成立，必須有，解得n=1，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標(biāo)為（0，1）．解法2：設(shè)點P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點的坐標(biāo)為，∴以PQ為直徑的圓方程為：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分別令x0=2和x0=﹣2，由點P在曲線C上得y0=1，將x0，y0的值分別代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③聯(lián)立解得或，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，﹣1），將（0，1）的坐標(biāo)代入①式得，①式，左邊==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右邊，將（0，﹣1）的坐標(biāo)代入①式得，①式，左邊=不恒等于0，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)是存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，點N坐標(biāo)為為（0，1）．點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算、利用導(dǎo)數(shù)的幾何研究拋物線的切線斜率、圓的性質(zhì)，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．19.已知函數(shù)是奇函數(shù)，（1）求的值；（2）若，求的值.參考答案：(1)因為為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)任意，都有即，由條件知，所以(2)因為為奇函數(shù)，所以,令，則

所以略20.)如圖,一個圓形游戲轉(zhuǎn)盤被分成6個均勻的扇形區(qū)域.用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,箭頭所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分?jǐn)?shù)(箭頭指向兩個區(qū)域的邊界時重新轉(zhuǎn)動),且箭頭指向每個區(qū)域的可能性都是相等的.在一次家庭抽獎的活動中,要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉(zhuǎn)動一次游戲轉(zhuǎn)盤,得分情況記為(m,n),(假設(shè)兒童和成人的得分互不影響,且每個家庭只能參加一次活動).(1)求某個家庭得分為(5,3)的概率；(2)若游戲規(guī)定:一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品.求某個家庭獲獎的概率；(3)若共有4個家庭參加家庭抽獎活動.在(2)的條件下,記獲獎的家庭數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：解:(1)記事件A為“某個家庭得分情況為(5,3)”，則其概率為…2分(2)記事件B為“某個家庭在游戲中獲獎”，則符合獲獎條件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3類情況.所以

……4分(3)由(2)可知,每個家庭獲獎的概率都是

……5分

……10分所以隨機變量X的分布列為：X01234P

…………12分21.（本題滿分18分，其中第1小題3分，第2小題7分，第3小題8分）給出函數(shù)封閉的定義：若對于定義域內(nèi)的任意一個自變量，都有函數(shù)值，稱函數(shù)在上封閉．（1）若定義域，判斷函數(shù)是否在上封閉，并說明理由；（2）若定義域，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上封閉？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．（3）利用（2）中函數(shù)，構(gòu)造一個數(shù)列，方法如下：對于給定的定義域中的，令，，…，，…在上述構(gòu)造數(shù)列的過程中，如果在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．①如果可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮常數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．②如果取定義域中任一值作為，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1）因為，所以在上不封閉．

……3分（2）1當(dāng)時，在上，此時在上封閉．

……5分2當(dāng)時，在上，此時在上不封閉．

……7分3當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．要使在上封閉，必有

．

……9分所以，當(dāng)時，在上封閉．

……10分（3）1若構(gòu)造的數(shù)列為常數(shù)列，只需時，有解，

……13分即有解，即在時有解．因為時，，所以

……15分2若構(gòu)造的數(shù)列為無窮數(shù)列，則需要在區(qū)間上封閉，即．

……18分略22.（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線P在以該直