星期二(概率統(tǒng)計(jì)與立體幾何)2023年____月____日1．概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)(命題意圖：考查運(yùn)用排列、組合知識(shí)求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等．)有編號(hào)為1，2，3，…，n的n個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為1，2，3，…，n的n個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為ξ.已知ξ＝2時(shí)，共有6種坐法．(1)求n的值；(2)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．解(1)∵當(dāng)ξ＝2時(shí)，有Ceq\o\al(2,n)種坐法，∴Ceq\o\al(2,n)＝6，即eq\f(n（n－1）,2)＝6，∴n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)．(2)∵ξ的可能取值是0，2，3，4.∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)×1,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)×2,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8)，∴ξ的概率分布列為：ξ0234Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(3,8)則E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(3,8)＝3.2．立體幾何知識(shí)(命題意圖：以平面圖形翻折成空間幾何體為載體，考查線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查用空間向量法求二面角的大小等．)在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如圖1)．將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF－B成直二面角，連接A1B，A1P(如圖2)(1)求證：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角B-A1P-F的余弦值的大?。?1)證明：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3.在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連接DF.∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2.而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角．由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE.又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.(2)解由(1)知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF.以E為原點(diǎn)，分別以EB，EF，EA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系．圖3則A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(xiàn)(0，eq\r(3)，0)，P(1，eq\r(3)，0)．∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(2，0，－1)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，－1)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，－1)．設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面A1BP和平面A1PF的法向量，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,m·\o(A1P,\s\up6(→))＝0.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1－z1＝0，,x1＋\r(3)y1－z1＝0.))取y1＝1，得m＝(eq\r(3)，1，2eq\r(3))．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1F,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1P,\s\up6(→))＝0.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)y2－z2＝0，,x2＋\r(3)y2－z2＝0.))取y2＝1，得n＝(0，1，eq\r(3))