第三章數(shù)據(jù)描述的綜合指標(biāo)第一節(jié)總量指標(biāo)第二節(jié)相對指標(biāo)第三節(jié)平均指標(biāo)第四節(jié)變異指標(biāo)第五節(jié)偏態(tài)與峰度第一節(jié)總量指標(biāo)

反映現(xiàn)象總體規(guī)?；蛩降木C合指標(biāo)，即數(shù)量指標(biāo)，也稱為絕對數(shù)。一、總量指標(biāo)概述是反映一個國家的國情和國力，一個地區(qū)或一個單位人力、物力、財力的基本數(shù)據(jù)，是認(rèn)識社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的起點；（一）總量指標(biāo)（二）總量指標(biāo)的意義是計算其它綜合指標(biāo)的基礎(chǔ)，相對指標(biāo)和平均指標(biāo)一般是由兩個有聯(lián)系的總量指標(biāo)對比而形成的。是加強(qiáng)社會經(jīng)濟(jì)管理，平衡供求關(guān)系，保證國民經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展，全面提高社會經(jīng)濟(jì)效益的重要工具。是實現(xiàn)宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控和企業(yè)經(jīng)營管理的基本指標(biāo)。二、總量指標(biāo)的分類（一）按時間特征分類按反映的時間狀況不同分為：時期指標(biāo)時點指標(biāo)1.時點指標(biāo)表明現(xiàn)象總體在某一時刻（瞬間）的數(shù)量狀況，如在某一時點的總?cè)丝跀?shù)不具有可加性、數(shù)值大小與時期長短沒有直接關(guān)系、由一次性登記調(diào)查得到2.時期指標(biāo)表明現(xiàn)象總體在一段時期內(nèi)發(fā)展過程的總量，如在某一段時期內(nèi)的出生人數(shù)、死亡人數(shù)具有可加性、數(shù)值大小與時期長短有直接關(guān)系、需要連續(xù)登記匯總出生人數(shù)人口總數(shù)死亡人數(shù)t1時段t2時段t3時段t關(guān)于一個人口總體的總量指標(biāo)時期指標(biāo)時點指標(biāo)（二）按計量單位分類按計量單位不同分為：實物指標(biāo)價值指標(biāo)勞動指標(biāo)1.實物量指標(biāo)是根據(jù)總體的屬性和特征，采用實物單位作為度量標(biāo)準(zhǔn)的總量指標(biāo)。如某地區(qū)一年的糧食總產(chǎn)量2.價值量指標(biāo)是用貨幣單位計量的產(chǎn)品和勞務(wù)的數(shù)量。如商品零售額3.勞動量指標(biāo)是以勞動時間為單位計算的產(chǎn)品產(chǎn)量或完成的工作量。實物單位自然單位度量衡單位標(biāo)準(zhǔn)實物單位價值單位勞動單位多個單位的結(jié)合運(yùn)用：復(fù)合單位雙重單位多重單位（如：人·次、噸·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/噸/千瓦）適用范圍綜合能力差強(qiáng)大小如：臺、件如：米、平方米如：標(biāo)準(zhǔn)噸如：工日、工時如：元公頃人輛計量單位單一單位復(fù)合單位：工時、噸公里等自然單位：個、臺等度量衡單位：噸等總體標(biāo)志總量總體單位總數(shù)按反映的總體內(nèi)容不同分為：（三）按內(nèi)容分類2.總體標(biāo)志總量1.總體單位總數(shù)一個總體中只有一個單位總數(shù)，但可以有多個標(biāo)志總量，它們由總體單位的數(shù)量標(biāo)志值匯總而來。總體單位某一數(shù)量標(biāo)志的標(biāo)志值總和總體所包含的總體單位的數(shù)量第二節(jié)相對指標(biāo)甲企業(yè)乙企業(yè)利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%比較兩廠經(jīng)濟(jì)效益不可比不可比可比一、相對指標(biāo)概述指兩個有聯(lián)系的統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間的比值，用來反映某些相關(guān)事物之間數(shù)量關(guān)聯(lián)程度的綜合指標(biāo)；也稱為相對數(shù)。（一）相對指標(biāo)可使不能直接對比的現(xiàn)象找到共同的比較基礎(chǔ)；（二）相對指標(biāo)的作用可綜合的表明有關(guān)現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度，反映事物發(fā)展變化的趨勢；是宏觀調(diào)控與微觀考核的重要依據(jù)。無名數(shù)復(fù)名數(shù)用倍數(shù)、系數(shù)、成數(shù)、﹪、‰等表示用雙重計量單位表示的復(fù)名數(shù)二、相對指標(biāo)的計量單位倍數(shù)與成數(shù)應(yīng)當(dāng)用整數(shù)的形式來表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成分母為1分母為1.00分母為10分母為100分母為1000總?cè)藬?shù)30人男生人數(shù)20人女生人數(shù)10人男生比重為2/3女生比重為1/3男女比例為2:1總量指標(biāo)非總量指標(biāo)相對指標(biāo)三、相對指標(biāo)的種類結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)計劃完成程度相對數(shù)比較相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費額為12945億元，積累額為6770億元。則說明⒈為無名數(shù)，分子與分母屬于同一總體；⒉同一總體各組的結(jié)構(gòu)相對數(shù)之和為1；⒊用來分析現(xiàn)象總體的內(nèi)部構(gòu)成狀況。（一）結(jié)構(gòu)相對數(shù)直接應(yīng)用上述公式A.計劃任務(wù)數(shù)表現(xiàn)為絕對數(shù)時（二）計劃完成相對數(shù)例1：己知某廠2000年的計劃產(chǎn)品產(chǎn)量為10萬噸，實際產(chǎn)量為12萬號。則：B.計劃任務(wù)數(shù)表現(xiàn)為相對數(shù)時例2：己知某廠2000年的計劃規(guī)定產(chǎn)品產(chǎn)量要比上年實際提高5﹪而實際提高了7﹪。則例3：己知某廠2000年的計劃規(guī)定產(chǎn)品成本比上年降低5%，實際降低提高6﹪。則即實際比計劃單位成本下降了1.05%.百分點相當(dāng)于百分?jǐn)?shù)的計量單位，一個百分點就指1﹪。上例中，實際比計劃多提高的百分點為（7﹪--5﹪）×100=2（個百分點）實際工作中常用，但并不是相對數(shù)例：某年某地區(qū)甲、乙兩個公司商品銷售額分別為5.4億元和3.6億元。則⒈為無名數(shù)，一般用百分?jǐn)?shù)和倍數(shù)表示；⒉反映同類現(xiàn)象數(shù)值在同一時間不同總體之間的對比關(guān)系。3.用來說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度。說明（三）比較相對數(shù)例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費額為12945億元，積累額為6770億元。則⒈為無名數(shù)，可用百分?jǐn)?shù)或一比幾或幾比幾表示；⒉用來反映組與組之間的聯(lián)系程度或比例關(guān)系。說明（四）比例相對數(shù)例：某年某地區(qū)年平均人口數(shù)為100萬人，在該年度內(nèi)出生的人口數(shù)為8600人。則該地區(qū)一般用﹪、‰表示。其特點是分子來源于分母，但分母并不是分子的總體，二者所反映現(xiàn)象數(shù)量的時間狀況不同。1、無名數(shù)的強(qiáng)度相對數(shù)（五）強(qiáng)度相對數(shù)例：某地區(qū)某年末現(xiàn)有總?cè)丝跒?00萬人，醫(yī)院床位總數(shù)為24700張。則該地區(qū)（正指標(biāo)）（逆指標(biāo)）為用雙重計量單位表示的復(fù)名數(shù)，反映的是一種依存性的比例關(guān)系或協(xié)調(diào)關(guān)系，可用來反映經(jīng)濟(jì)效益、經(jīng)濟(jì)實力、現(xiàn)象的密集程度等。2、有名數(shù)的強(qiáng)度相對數(shù)

是同一指標(biāo)在不同時間上的對比，又稱為發(fā)展速度。動態(tài)相對數(shù)⒈為無名數(shù)；⒉用來反映現(xiàn)象的水平在時間上的變動程度。說明（六）動態(tài)相對數(shù)正確選擇對比的基礎(chǔ)；指標(biāo)對比要有可比性；相對指標(biāo)要與總量指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用；多種相對指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用。使用相對指標(biāo)應(yīng)注意的問題正確選擇對比基礎(chǔ)本單位歷史水平本行業(yè)（全國）平均（先進(jìn)）水平經(jīng)濟(jì)效益指數(shù)＝某經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)實際值該經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)值價格定基指數(shù)＝某期價格水平某固定基期的價格水平經(jīng)濟(jì)發(fā)展、價格水平均較為正常的時期注意指標(biāo)間的可比性2000年的工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價格）1980年的工業(yè)總產(chǎn)值（當(dāng)年價格）1980年中國的國民收入（人民幣元）1980年美國的國民收入（美元）相對指標(biāo)抽象掉了具體的數(shù)量差異:1:2=50%10000:20000=50%1998年相對于1997年，美國的GDP增長速度為3.9％，同期中國GDP增長速度為7.8％，恰好為美國的2倍；但根據(jù)同期匯率（1美元兌換8.3元人民幣），1998年中國GDP總量約合9671億美元，約相當(dāng)于同期美國GDP總量84272億美元的1/9。相對指標(biāo)應(yīng)當(dāng)結(jié)合總量指標(biāo)使用結(jié)構(gòu)相對數(shù)比例相對數(shù)比較相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)計劃完成相對數(shù)強(qiáng)度相對數(shù)（部分與總體關(guān)系）（部分與部分關(guān)系）（橫向?qū)Ρ汝P(guān)系）（縱向?qū)Ρ汝P(guān)系）（實際與計劃關(guān)系）（關(guān)聯(lián)指標(biāo)間關(guān)系）多種相對指標(biāo)應(yīng)當(dāng)結(jié)合運(yùn)用人口性別比為1.03：11999年末我國共有總?cè)丝?2.6億人，其中男性人口為6.4億，女性人口為6.2億。男性人口的比重為50.8﹪比1980年末的9.9億人增加了28﹪人口密度是美國的4.5倍人口密度為130人/平方公里人口出生率為15.23‰女性人口的比重為49.2﹪第三節(jié)平均指標(biāo)指總體中各單位的次數(shù)分布從兩邊向中間集中的趨勢，用平均指標(biāo)來反映。集中趨勢又稱平均數(shù)，是反映社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時間、地點和條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)。平均指標(biāo)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)基本形式：例：直接承擔(dān)者※注意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)STAT算術(shù)平均數(shù)83名女生的身高變量一般水平、代表性數(shù)值分布的集中趨勢、中心數(shù)值算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量總體單位總數(shù)設(shè)數(shù)據(jù)集數(shù)據(jù)個數(shù)N簡單算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為總體單位總數(shù)；為第i

個單位的標(biāo)志值。（一）簡單算術(shù)平均數(shù)解：平均每人日銷售額為：某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列且每組單元數(shù)不同時的情況式中：為算術(shù)平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。（二）算術(shù)平均數(shù)【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計800計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。解：若上述資料為組距數(shù)列，則應(yīng)取各組的組中值作為該組的代表值用于計算；此時求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明分析：成績（分）人數(shù)（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成績（分）619980起到權(quán)衡輕重的作用決定平均數(shù)的變動范圍表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，是變量值的承擔(dān)者，反映了各組的標(biāo)志值對平均數(shù)的影響程度權(quán)數(shù)絕對權(quán)數(shù)相對權(quán)數(shù)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819權(quán)數(shù)與加權(quán)234567819算術(shù)平均數(shù)的計算取決于變量值和權(quán)數(shù)的共同作用：變量值決定平均數(shù)的范圍；權(quán)數(shù)則決定平均數(shù)的位置性質(zhì)⒈對每一變量給以相同的改變量A，則平均數(shù)也有改變量A：（三）算術(shù)平均數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)⒉對每一變量改變同一倍數(shù)，則平均數(shù)也改變同一倍數(shù)：性質(zhì)3.

對每一全書都改變同一倍數(shù)，則平均數(shù)也改變同一倍數(shù)：性質(zhì)4.

所有變量與平均數(shù)的離差代數(shù)和等于零：離差的概念12345678-1-1-213【例】

設(shè)X=（2，4，6，8），則其調(diào)和平均數(shù)可由定義計算如下：⒉再求算術(shù)平均數(shù)：⒈求各標(biāo)志值的倒數(shù)：，，，⒊再求倒數(shù)：是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況式中：為調(diào)和平均數(shù);為變量值的個數(shù)；為第個變量值。（一）簡單調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為第組的變量值；為第組的標(biāo)志總量。（二）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——當(dāng)己知各組變量值和標(biāo)志總量時，作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。若已知分組資料的各組變量值及各組的權(quán)數(shù)時，直接用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式。因為：（三）調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系x、f

為已知若只知

x和xf

，而f

未知，則不能使用加權(quán)算術(shù)平均方式，只能使用其變形即加權(quán)調(diào)和平均方式。蘋果單價購買量總金額品種（元）（公斤）（元）紅富士236青香蕉1.859日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計9710【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。解是N項變量值連乘積的開N次方根。幾何平均數(shù)用于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各個比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：三、幾何平均數(shù)簡單幾何平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況式中：為幾何平均數(shù);為變量值的個數(shù)；為第個變量值。（一）簡單幾何平均數(shù)【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)最初投產(chǎn)100A個單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.92；……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計算。解：思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個獨立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。因各車間彼此獨立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；……第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應(yīng)為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80分析：不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。又因為應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算，即加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。（二）加權(quán)幾何平均數(shù)【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計息基礎(chǔ)第12年的計息基礎(chǔ)則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。解：思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：第2年末的應(yīng)得利息為：第12年末的應(yīng)得利息為：…………設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。因為假定本金為V所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計算平均年利息率，即：解：（比較：按復(fù)利計息時的平均年利率為6.85﹪）是否為比率或速度各個比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術(shù)平均法求解比值的平均數(shù)的方法數(shù)值平均數(shù)計算公式的選用順序指標(biāo)指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示,它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。（一）眾數(shù)四、位置平均數(shù)解：人均收入出現(xiàn)次數(shù)最多的是1080，由此眾數(shù)為Mo＝

1080元。例：在某城市中隨機(jī)抽取9個家庭，調(diào)查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位元），計算人均月收入的眾數(shù)。1080750108010808509602000125016301、原始數(shù)據(jù)的眾數(shù)的確定。日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。2、單項數(shù)列的眾數(shù)的確定。相鄰兩組的頻數(shù)相等時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)Mo相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用下列近似公式計算MoMo上限公式：

下限公式：

步驟：(1)首先確定眾數(shù)所在的組3、組距數(shù)列的眾數(shù)的確定(2)利用相應(yīng)公式計算眾數(shù)

身高人數(shù)比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

總計83100某年級83名女生身高資料概約眾數(shù)：眾數(shù)所在組的組中值，在本例為162.5cm【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。概約眾數(shù)：眾數(shù)所在組的組中值，在本例為500件當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）4、眾數(shù)的原理及應(yīng)用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒有突出地集中在某個年份413名學(xué)生出生時間分布直方圖（無眾數(shù)）192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖（雙眾數(shù)）當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出雙眾數(shù)或多眾數(shù)時，可以斷定這些數(shù)據(jù)來源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個明顯的分布中心將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示（二）中位數(shù)不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時，具有較強(qiáng)的代表性。1、中位數(shù)的作用：中位數(shù)把標(biāo)志值數(shù)列分為兩個部分,一部分標(biāo)志值小于或等于它,另一部分標(biāo)志值大于或等于它.2、中位數(shù)的確定(1)未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的確定設(shè)一組資料有n個數(shù)值從小到大排列x1,x2,…xn，處在數(shù)列的中點位置的數(shù)值，就是中位數(shù)，記作：Me。原始數(shù)據(jù): 2422212620排序: 2021222426位置: 123 45中位數(shù)22例：原始數(shù)據(jù):105 91268排序: 56891012位置: 123 456位置n+126+123.5中位數(shù)8+928.5例：中位數(shù)的位次為：即第3個單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例】某售貨小組5個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數(shù)的位次為中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即【例】若上述售貨小組為6個人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計800—計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位次：(2)單項數(shù)列中位數(shù)的確定共個單位共個單位共個單位共個單位LU中位數(shù)組組距為h共個單位假定該組內(nèi)的單位呈均勻分布共有單位數(shù)

中位數(shù)下限公式為

該段長度應(yīng)為(3)組距數(shù)列中位數(shù)的確定【例】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。a.中位數(shù)一定存在；b.中位數(shù)與算術(shù)平均數(shù)相近；c.中位數(shù)不受極端值影響，只受中間位置標(biāo)志值的影響；d.變量值與中位數(shù)離差絕對值之和最小。（4）中位數(shù)的作用及用法

變量值34556910中位數(shù)5平均值6與中位數(shù)離差-2-100145與平均數(shù)離差-3-2-1-1034絕對數(shù)值之和

13

14變量值與中位數(shù)離差絕對值之和最小。（三）中位數(shù)、眾數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系c.左偏分布均值<

中位數(shù)<

眾數(shù)

b.右偏分布眾數(shù)<

中位數(shù)<均值1、運(yùn)用中位數(shù)、眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系判斷總體分布特征。a.對稱分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)2、利用位置平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推算。若分布偏斜程度不大，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)存在一定的比例關(guān)系，即：由此可推出以下三個公式：（四）分位數(shù)1、四分位數(shù)將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，用三個點或三個數(shù)值將數(shù)列分成四個等份，這三個點Q1、Q2和Q3所分別對應(yīng)的數(shù)值稱為四分位數(shù)。處于25%和75%位置上的值Q1和Q3稱為（下、上）四分位數(shù)Q1Q2Q325%25%25%25%未分組數(shù)據(jù)：下四分位數(shù)(Q1)位置=n+14上四分位數(shù)(Q3)位置=3(n+1)4組距分組數(shù)據(jù)：下四分位數(shù)(Q1)位置=n4上四分位數(shù)(Q3)位置=3n4四分位數(shù)位置的確定原始數(shù)據(jù):2321 3032 282526排序:21232526283032位置:1 23 4567

Q1=23Q3=307+1Q1位置=4=4=2Q3位置=3(n+1)43(7+1)4==6n+1【例】2、十分位數(shù)將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，用九個數(shù)值將數(shù)列分成十等份，這九個點所對應(yīng)單元的標(biāo)志值稱為十分位數(shù)。未分組數(shù)據(jù)：十分位數(shù)D1的位置=n+110十分位數(shù)D2的位置=2(n+1)10十分位數(shù)位置的確定十分位數(shù)D9的位置=9(n+1)10…………第四節(jié)變異指標(biāo)

（一）變異指標(biāo)的概念統(tǒng)計上用來反映總體各單位標(biāo)志值之間差異程度和平均數(shù)的代表程度的綜合指標(biāo)，也稱做標(biāo)志變動度。

平均指標(biāo)是一個代表性數(shù)值，它反映總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的一般水平，而把總體各單位之間的差異抽象化了。但總體各單位之間的差異是客觀存在的，這種差異也是統(tǒng)計總體的重要特征之一。因此，要全面反映一個總體的特征，還必須測定總體各單位之間差異程度。

一、變異指標(biāo)概述1、可以揭示數(shù)據(jù)分布的離中趨勢；2、是衡量均值代表性高低的尺度；（二）變異指標(biāo)的作用3、可以反映社會經(jīng)濟(jì)活動過程的均衡性和穩(wěn)定性測定標(biāo)志變異度的絕對量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類極差平均差標(biāo)準(zhǔn)差分位差指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱全距。1.極差最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個）計劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度計劃完成程度的全距。優(yōu)點:計算方法簡單、易懂；缺點:易受極端數(shù)值的影響，不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況，準(zhǔn)確程度差往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中極差的特點是從變量數(shù)列中剔除了最大和最小的部分極端值之后，對剩下來的單元計算的極差稱為分位差。常用的分位差為四分位差。即：2.分位差排除了少數(shù)極端值對分布變異范圍的異常影響；分為程度越高，分位差排除的極端值的比例就越小。分位差的特點⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，用A.D表示3.平均差計算公式：總體算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)第個單位的變量值【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。解：即該售貨小組5個人銷售額的平均差為93.6元⑵加權(quán)平均差——適用于分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值【例B】計算下表中某公司職工月工資的平均差月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計—2000解：即該公司職工月工資的平均差為138.95元優(yōu)點:不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實際差異程度；缺點:用絕對值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計分析運(yùn)算。平均差的特點一般情況下都是通過計算另一種標(biāo)志變異指標(biāo)——標(biāo)準(zhǔn)差，來反映總體內(nèi)部各單位標(biāo)志值的差異狀況⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料是各個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用來表示。4.標(biāo)準(zhǔn)差計算公式：總體單位總數(shù)第個單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)【例A】某售貨小組5個人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：（比較：其銷售額的平均差為93.6元）即該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元。⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——適用于分組資料總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值【例B】計算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計—2000解：（比較：其工資的平均差為138.95元）即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。由同一資料計算的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果一般要略大于平均差。證明：當(dāng)a,b,c≥0時，有標(biāo)準(zhǔn)差的特點不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計分析運(yùn)算.簡單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的簡捷計算避免離差平方和計算過程的出現(xiàn)目的:變量值平方的平均數(shù)變量值平均數(shù)的平方平均差與標(biāo)準(zhǔn)差的大小不僅與數(shù)據(jù)的離差狀況有關(guān)，而且與變量值的平均水平有關(guān)，故當(dāng)兩個總體的平均數(shù)不等就不能用其來度量變量值的離散程度及平均數(shù)的代表性；

平均差與標(biāo)準(zhǔn)差受計量單位、研究對象的影響，故不同對象、不同單位的平均差或標(biāo)準(zhǔn)差之間沒有可比性.平均差與標(biāo)準(zhǔn)差的局限可比變異系數(shù)指標(biāo)身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)5.離散系數(shù)用來對比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小:——標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。應(yīng)用:各種變指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)之比。一般用V表示。【例】某年級一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。解：一班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：二班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：因為，所以一班平均成績的代表性比二班大。第五節(jié)偏態(tài)與峰度

一、偏態(tài)及其測定指分布數(shù)列的不對稱性。非對稱的，偏斜的分布對稱的、高度適中的分布既偏斜又低平的分布偏態(tài)系數(shù)小于0，平均數(shù)在眾數(shù)之左，是一種左偏分布，又稱負(fù)偏。

左偏分布偏態(tài)系數(shù)大于0，平均數(shù)在眾數(shù)之右，是一種右偏分布，又稱為正偏。右偏分布（一）皮爾遜偏態(tài)測定法Pearson偏態(tài)系數(shù)是根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)與均值各自的性質(zhì)，通過比較眾數(shù)或中位數(shù)與均值來衡量偏斜度的。

皮爾遜偏態(tài)系數(shù)計算公式其中：SKP—皮爾遜偏態(tài)測定值；Mo—眾數(shù)