第五講奇與偶數(shù)奇偶性的應(yīng)一、基概念和知識(shí)1.奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂茫╧為整數(shù)表示數(shù)則可以用（k為整數(shù)）表示。特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。二、例利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實(shí)際問(wèn)題例11+2+3+…的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)，還是偶數(shù).但是如果從加數(shù)的奇、偶個(gè)數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。解法1：∵…+1993又∵997和1993是奇數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，∴原式的和是奇數(shù)。解法2：∵÷2=996…1，∴1～1993的自然數(shù)中，有996個(gè)偶數(shù)，有997個(gè)奇數(shù)。∵996個(gè)偶數(shù)之和一定是偶數(shù)，1頁(yè)又∵奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，∴997個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。因?yàn)椋紨?shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以原式之和一定是奇數(shù)。例2一個(gè)數(shù)分別與另外兩個(gè)相鄰奇數(shù)相乘所得的兩個(gè)積相差這個(gè)數(shù)是多少？解法1：∵相鄰兩個(gè)奇數(shù)相差，∴150是這個(gè)要求數(shù)的2倍?！噙@個(gè)數(shù)是÷2=75。解法2：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，設(shè)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)為2a+1，2a-1（a≥1）.則有（2a+1）（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75?！噙@個(gè)要求的數(shù)是。例3元旦前夕同學(xué)們相互送賀年卡每人只要接到對(duì)方賀年卡就一定回贈(zèng)賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？分析此題初看似乎缺總?cè)藬?shù)但解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無(wú)關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)。另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。2頁(yè)例4已知a、b、c中有一個(gè)是5，一個(gè)是6，一個(gè)是7.求證a-1，b-2，c-3的乘積一定是偶數(shù)。證明：∵a、b、c中有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，∴a、c中至少有一個(gè)是奇數(shù)，∴a-1，中至少有一個(gè)是偶數(shù)。又∵偶數(shù)×整數(shù)=偶數(shù)，∴（a-1（b-2）×（c-3）是偶數(shù)。例5任意改變某一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個(gè)新數(shù).試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于。則有a+a′=b+b′=c+c′=9，因?yàn)?不會(huì)是進(jìn)位后得到的又因?yàn)閍′、b′、c′是a、b、c調(diào)換順序得到的，所以a+b+c=a′+b′+c′。因此，又有（′）+（b+b′）+（c+c′）=9+9+9，即2（a+b+c）=3×9?？梢?jiàn)等式左邊是偶數(shù)等式的右（×9=27是奇數(shù)偶數(shù)≠奇數(shù).因此，等式不成立.所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為999”是錯(cuò)誤的，命題得證。這個(gè)證明過(guò)程教給我們一種思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法先假設(shè)某種說(shuō)法正確再利用假設(shè)說(shuō)法和其他性質(zhì)進(jìn)行分析推理最后得到一個(gè)不可能成立的結(jié)論，從而說(shuō)明假設(shè)的說(shuō)法不成立這種思考證明的方法在數(shù)學(xué)上叫“反證法”。例6用代表整數(shù)的字母a、、c、d寫(xiě)成等式組：a×b×c×d-a=1991a×b×c×d-b=1993a×b×c×d-c=2019a×b×c×d-d=2019試說(shuō)明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在。解：由原題等式組可知：a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，3頁(yè)c（abd-1）=2019，d（abc-1）=2019?！?991、、2019、2019均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，∴a、b、c、d分別為奇數(shù)?！郺×b×c×d=奇數(shù)?！郺、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數(shù).這與原題等式組矛盾。∴不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù)a、b、c、d。例7桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其6只同時(shí)“翻轉(zhuǎn).請(qǐng)說(shuō)明：無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過(guò)9個(gè)奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”.即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假設(shè)n盞有拉線開(kāi)關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動(dòng)n-1）個(gè)開(kāi)關(guān)，能否把所有的燈都關(guān)上？請(qǐng)證明此結(jié)論，或給出一種關(guān)燈的辦法。證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上。因?yàn)橐P(guān)上一盞燈，必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次拉動(dòng)它的開(kāi)關(guān)。由于n是奇數(shù)，所以n個(gè)奇數(shù)的和=奇數(shù)，因此要把所有的燈（n盞）都關(guān)上，拉動(dòng)拉線開(kāi)關(guān)的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但因?yàn)橐?guī)定每次拉動(dòng)個(gè)開(kāi)關(guān)，且n-1是偶數(shù)，故按規(guī)定拉動(dòng)開(kāi)關(guān)的總次數(shù)一定是偶數(shù)?！咂鏀?shù)≠偶數(shù)，∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，能按規(guī)定將所有燈關(guān)上關(guān)燈的辦法如下：設(shè)燈的編號(hào)為1，2，3，4，…，n.做如下操作：第一次，1號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān)；4頁(yè)第二次，2號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān)；第三次，3號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān)；第n次，n號(hào)燈不動(dòng)，拉動(dòng)其余開(kāi)關(guān).這時(shí)所有的燈都關(guān)上了。例9在圓周上有1987個(gè)珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍(lán)，或一次紅、一次藍(lán).最后統(tǒng)計(jì)有1987次染紅，1987次染藍(lán).求證至少有一珠子被染上過(guò)紅、藍(lán)兩種顏色。證明假設(shè)沒(méi)有一個(gè)珠子被染上過(guò)紅藍(lán)兩種顏色即所有珠子都是兩次染同色.設(shè)第一次染m個(gè)珠子為紅色，第二次必然還僅染這m個(gè)珠子為紅色.則染紅色次數(shù)為次?！?m≠1987（偶數(shù)≠奇數(shù)）∴假設(shè)不成立?！嘀辽儆幸粋€(gè)珠子被染上紅、藍(lán)兩種顏色。例如下圖，從起點(diǎn)始，隔一米種一棵樹(shù)，如果把三塊“愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的小牌分別掛在三棵樹(shù)上那么不管怎樣掛至少有兩棵掛牌的樹(shù)它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？解任意挑選三棵樹(shù)掛上小牌假設(shè)第一棵掛牌的樹(shù)與第二棵掛牌的樹(shù)之間相距a米第二棵掛牌的樹(shù)與第三棵掛牌的樹(shù)之間相距b米那么第一棵掛牌的樹(shù)與第三棵掛牌的樹(shù)之間的距離（米）（如下圖），如果a、b中有一個(gè)是偶數(shù)，題目已得證；如a、b都是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以c必為偶數(shù)，那么題目也得證。例某校六年級(jí)學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共40道，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一題給3分，答錯(cuò)一題倒扣分.某題不答給1分，請(qǐng)說(shuō)明該校六年級(jí)參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。解：對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)40道題都答對(duì)共得120分，是個(gè)偶數(shù).如果答錯(cuò)一道，相當(dāng)于從分中扣4分.不論答錯(cuò)多少道，扣分的總數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分.從120里減去偶數(shù).差仍是偶數(shù).同樣，如果有某題不答，應(yīng)從120里減去（3-1）分不論有多少道題沒(méi)答，扣分的總數(shù)是2的倍數(shù)也是偶數(shù).所以從120里減去偶數(shù)差仍是偶數(shù).因此每個(gè)學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年級(jí)參賽學(xué)生得分總和也一定是偶數(shù)5頁(yè)例某學(xué)校一年級(jí)一班共有名同學(xué)教室座位恰好排成行每行5個(gè)座位.把每一個(gè)座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰問(wèn)：讓這25個(gè)學(xué)生都離開(kāi)原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析.我們把每一個(gè)黑、白格看作是一個(gè)座位從圖中可知，已在黑格“座位”上的同學(xué)要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格“座位”上的同學(xué)要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數(shù)相等。解：從上圖可知：黑色座位13個(gè)，白色座位有12個(gè)，13≠12，因此，不可能使每個(gè)座位的人換為鄰座位。例的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法因?yàn)檎麛?shù)按奇偶分類只有兩類所以將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色可以幫助我們較直觀地理解和處理問(wèn)題.讓我們?cè)倏匆坏览}，再體會(huì)一下奇偶性與染色的關(guān)系。例在中國(guó)象棋盤(pán)任意取定的一個(gè)位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國(guó)象棋的走法，當(dāng)棋盤(pán)上沒(méi)有其他棋子時(shí)，這只“馬”跳了若干步后回到原處，問(wèn)：“馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：在中國(guó)象棋中“馬”走“日”字，如果將棋盤(pán)上的各點(diǎn)按黑白二色間隔著色（如圖），可以看出馬”走任何一步都是從黑色點(diǎn)走到白色點(diǎn)，或從白色點(diǎn)走到黑色點(diǎn).因此“馬”從一色點(diǎn)跳到另一同色點(diǎn)，必定要跳偶數(shù)步.因此，不論開(kāi)始時(shí)“馬”在棋盤(pán)的哪個(gè)位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。例線段AB有兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)端點(diǎn)染紅色，另一個(gè)端點(diǎn)染藍(lán).在這個(gè)AB線段中間插入n個(gè)交點(diǎn)染紅色染藍(lán)色到n＋1條小線不重疊的線段）.試證：兩個(gè)端點(diǎn)不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。證明：當(dāng)在中插入第一點(diǎn)時(shí)，無(wú)論紅或藍(lán)色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點(diǎn)時(shí)有三種情況：6頁(yè)①插入點(diǎn)在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數(shù)不變。②插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，且插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色相同，則兩端不同色線段條數(shù)不變。③插入點(diǎn)在兩端同色的線段中，但插入點(diǎn)顏色與線段端點(diǎn)顏色不同，則兩端不同色線段條數(shù)增加兩條。因此插入第二個(gè)點(diǎn)時(shí)端點(diǎn)不同色的線段數(shù)比插入第一個(gè)點(diǎn)時(shí)端點(diǎn)不同色的線段數(shù)（）多0或2，因此是奇數(shù)（1或3）。同樣每增加一個(gè)點(diǎn)端點(diǎn)不同色的線段增加偶（或2條因此，無(wú)論n是什么數(shù)，端點(diǎn)不同色的線段總是奇數(shù)條。7頁(yè)習(xí)題五有100個(gè)自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這100個(gè)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)比偶數(shù)的個(gè)數(shù)多.問(wèn)：這些數(shù)中至多有多少個(gè)偶數(shù)？有一串?dāng)?shù)，最前面的四個(gè)數(shù)依次1、、、7.第五個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面相鄰四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字問(wèn)：在這一串?dāng)?shù)中，會(huì)依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個(gè)數(shù)嗎？求證：四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。把任意6個(gè)整數(shù)分別填入右圖中的6個(gè)小方格內(nèi)說(shuō)明一定有一個(gè)矩形，它的四個(gè)角上四個(gè)小方格中的四個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。如果兩個(gè)人通一次電話，每人都記通話一次，在小時(shí)以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為_(kāi)___。（A）必為奇數(shù)，（B）必為偶數(shù)，（C）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。一次宴會(huì)上，客人們相互握手.問(wèn)握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。有12張卡片，其中有