第4講盈虧問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)本講主要學(xué)習(xí)三種類型的盈虧問(wèn)題：理解掌握條件轉(zhuǎn)型盈虧問(wèn)題：理解掌握關(guān)系互換性盈虧問(wèn)題;理解掌握其他類型的盈虧問(wèn)題，本節(jié)課要求老師首先上學(xué)生理解盈虧問(wèn)題其本公式的含義，在通過(guò)例題讓學(xué)生掌握解答應(yīng)困問(wèn)題的其本技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維分析能力。經(jīng)典精講盈虧問(wèn)題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)程這種盈虧現(xiàn)象。盈虧問(wèn)題的關(guān)鍵是專注兩次分配時(shí)盈虧總量的變化。我們把盈虧問(wèn)題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”“兩虧”。1.“盈虧”型例如：學(xué)而思學(xué)校四年級(jí)基礎(chǔ)班的同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？【分析】由題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種沒(méi)人分4粒就多9粒，，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為15SKIPIF1<0（位），糖果的粒數(shù)為：SKIPIF1<0（粒）。2.“盈盈”型例如：老猴子給小猴子分桃，每只小猴10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？分析：老猴子的第一種方案盈9個(gè)桃子，第二種方案盈2個(gè)，所以盈虧綜合是9-2=7（個(gè)），兩次分配之差是11-10-1（個(gè)）有盈虧問(wèn)題公式得，有小猴子：SKIPIF1<0（只），老猴子有7SKIPIF1<0（個(gè)）桃子。3.“虧虧”型例如：學(xué)而思學(xué)校新近一批書(shū)，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差9本，第二次就只差2本了呢？因?yàn)閮纱畏峙鋽?shù)量不一樣，第一次分配時(shí)每人少發(fā)一本，也就是共有7SKIPIF1<0（人）書(shū)有SKIPIF1<0（本）。根據(jù)以上具體題目的分析，可以得出盈虧問(wèn)題的基本關(guān)系式：(盈+虧)SKIPIF1<0兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（盈-盈）SKIPIF1<0兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)（虧-虧）SKIPIF1<0兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)條件轉(zhuǎn)化型的盈虧問(wèn)題這種類型的題目不能直接計(jì)算，要將其中的一個(gè)條件轉(zhuǎn)化，使之成為普通盈虧問(wèn)題。軍隊(duì)分配宿舍，如果每間住3人，則多出20人；如果每間住6人，余下2人可以每人住一個(gè)房間，現(xiàn)在每間住10人，可以空出多少個(gè)房間？【分析】每間住6人，余下2人可以每人各住一個(gè)房間，說(shuō)明多出兩個(gè)房間，同時(shí)多出兩個(gè)人，也就是第二次分配少6SKIPIF1<0（人），那么兩次分配方案人數(shù)相差20+10=30（人），即可以空出10-50SKIPIF1<0（間）房間。【鋪墊】學(xué)校給一批新入學(xué)分配宿舍。如果每個(gè)房間住12人，則34人沒(méi)有位置；如果每個(gè)房間住14人，則空出4個(gè)房間。求學(xué)生宿舍有多少間，住宿學(xué)生有多少人？【分析】把“每個(gè)房間住14人，則空出4個(gè)房間”轉(zhuǎn)化為“每間住14人，則少14SKIPIF1<0（人）”這樣兩種方案就可以比較了。第一種方案多出34人，第二種方案少56人，90SKIPIF1<0（間），學(xué)生數(shù)為：12SKIPIF1<0（人）[例2]媽媽買來(lái)一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個(gè)，其余人每人分2個(gè)，則多出4個(gè)；如果其中一人分6人，其余人每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)，媽媽買來(lái)橘子多少個(gè)？全加共有多少人？【分析】由“其中兩人分4個(gè)，其余每人分2個(gè)，則多出4個(gè)，”轉(zhuǎn)化為全家每人都分2個(gè)，這分4個(gè)的兩人每人都拿出2個(gè)，共拿出4個(gè)，結(jié)果就多了4+4=8個(gè)：由“一人分6個(gè)，其余每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)”轉(zhuǎn)化為全家每人都分4個(gè)，分6個(gè)的人拿出2個(gè)。結(jié)果就少了12-2=10個(gè)，轉(zhuǎn)變成了盈虧問(wèn)題的一半類型,則：全家的人數(shù)：SKIPIF1<0（人）橘子的個(gè)數(shù)：SKIPIF1<0（個(gè)）【鋪墊】實(shí)驗(yàn)小學(xué)的少先隊(duì)員去植樹(shù)。如果每人種5棵還有3棵每人種；如果其中2人各種4棵。其余的人各種6棵，這些樹(shù)苗正好種完，問(wèn)有多少少先隊(duì)員參加植樹(shù)，一共iozhong多少課樹(shù)苗？【分析】這是一道較難的盈虧問(wèn)題，主要難在對(duì)第二個(gè)已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完，這組條件中包含著兩種種樹(shù)的情況——2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把他們統(tǒng)一成一種情況，讓每人種六棵，那么，就可以多種樹(shù)（6-4）SKIPIF1<0（棵）。因此，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹(shù)苗，還有3棵沒(méi)人種;如果每人種6棵數(shù)樹(shù)苗，還缺4棵。問(wèn)有多少少先隊(duì)員，一共種多少樹(shù)苗？人數(shù)：[3+(6-4)SKIPIF1<0]SKIPIF1<0(人)，棵樹(shù)：SKIPIF1<0（棵）或SKIPIF1<0（棵）【小結(jié)】盈虧問(wèn)題必須是將一定數(shù)量的物體平均分給固定對(duì)象，而本題中兩次分橘子均不是每人分別的橘子數(shù)相同。碰到此類似情況時(shí)，不需將其調(diào)整成兩次都是平均分，然后解答。學(xué)校規(guī)定上午8時(shí)到校，小明去上學(xué)，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時(shí)幾分離家剛好8時(shí)到校？由家到學(xué)校的路程是多少？【分析】小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60SKIPIF1<0米，如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50SKIPIF1<08=400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60-50=10（米），就可以?shī)Z走600-400=200（米），從而可以求出小明由家道校所需時(shí)間。（1）10分鐘走多少米？SKIPIF1<0（米），（2）8分鐘走多少米？SKIPIF1<0（米）（3）需要時(shí)間：（600-400）SKIPIF1<0（分鐘），所以小明7時(shí)40分離家剛好8時(shí)到校。（4）由家到校的路程：SKIPIF1<0（米）或SKIPIF1<0（米）.【鋪墊】童童從家到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘奪走60-50=10（米），就可以?shī)Z走150+120=270（米），童童從家到學(xué)校所用時(shí)間是：270SKIPIF1<0（分鐘），加到學(xué)校的距離是：50SKIPIF1<0（米）?！纠?】（第二屆“華杯賽”試題）有一個(gè)半同學(xué)去劃船。他們計(jì)算以下，如果增加一條船，正好每條船作6人；跑如果減少一條船，正好每條船坐6人。如果減少一條船，正好每條船坐9人。問(wèn)：這個(gè)班共有多少學(xué)生【分析】先增加一條船，那么正好每條船坐6人。然后去掉兩條船，就會(huì)余下6SKIPIF1<0（名）同學(xué)。改為每條船9人，也就是說(shuō)，每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的12名同學(xué)全部安排上去，所以現(xiàn)在還有12SKIPIF1<0（條）船，而全班同學(xué)的人數(shù)是9SKIPIF1<0（人）?！眷柟獭吭黾觾蓷l船，正好每條船坐6人，然后去掉四條船，就會(huì)余下SKIPIF1<0（人），改為每只船9人，即每條船增加9-6=3（人），正好可以把余下的24人全部安排上去，所以現(xiàn)在船數(shù)為24SKIPIF1<0（條），這個(gè)班的人數(shù)為9SKIPIF1<0（人）?！拘〗Y(jié)】這部分的題目不能直接運(yùn)用公式計(jì)算，首先需要將一定的條件轉(zhuǎn)化，使之成為跟第一步分相似的題型，在運(yùn)用公式計(jì)算。關(guān)系互換型的盈虧問(wèn)題這種題型中會(huì)出現(xiàn)兩種物品，一半兩者之間還存在數(shù)量關(guān)系，如和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，我們應(yīng)該先利用數(shù)量關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為一種物品的盈虧關(guān)系，再根據(jù)盈虧問(wèn)題的解法計(jì)算。【例5】（2004“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）幼兒園老師把一袋糖果分給下朋友。如果分給打扮的小朋友，每人5粒就缺6粒。如果分給小班的小朋友，每人4粒。已知大班比小班少2個(gè)小朋友這袋糖果共有多少粒？【分析】如果大班增加2個(gè)小朋友，大、小班人數(shù)就相等了，變?yōu)椤懊咳?粒缺16粒，每人4粒多4?！钡挠潌?wèn)題。小班有SKIPIF1<0（人）。這袋糖果有SKIPIF1<0（粒）?！就卣埂浚?007年湖北省“創(chuàng)新杯”決賽）四（2）班舉行“六一”聯(lián)歡晚會(huì)，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢取買糖果。如果買芒果13千克，還差4元;如果買奶糖15千克，則還剩2元。已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，，輔導(dǎo)員老師帶了_____________元錢.[分析]這筆錢買了13千克芒果還差4元,若把13千克芒果換成奶糖就會(huì)多出13SKIPIF1<0元，所以這筆錢買13千克奶糖會(huì)多出26-4=22元。而這筆錢埋15千克奶糖會(huì)多出2元，所以每千克奶糖的價(jià)格為：（22-2）SKIPIF1<0（元）。輔導(dǎo)老師共帶了10SKIPIF1<0（元）【例6】（2004南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)）乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信封，甲每封信用2張信紙信紙，乙每封信用3張信紙，一段時(shí)間后，甲用完了所有的信封還剩20張信封，乙用完所有信紙還剩下10個(gè)信封，則他們每人各買了多少?gòu)埿偶?？【分析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙。這是盈虧問(wèn)題，盈虧總額為（20+30）張信紙，兩次分配的差為（3-2）張信紙，所有的信封（20+30）SKIPIF1<0（個(gè)），有信紙SKIPIF1<0）（張）【鞏固】甲、乙兩人的信紙一樣多，信封也一樣多，甲寫一封信用一張信紙，乙寫一封信用3張信紙。結(jié)果甲的信封用完時(shí)還剩50張信紙，乙的信紙用完時(shí)還剩50個(gè)信封，原來(lái)他們各自有信封多少個(gè)？信紙多少?gòu)?？【分析】乙要想用完剩余?0個(gè)信封，還需再多50SKIPIF1<03=150張信紙，也就是要用完同樣多的信封，甲多50張信紙，乙少150張信紙。信封的個(gè)數(shù)：SKIPIF1<0（個(gè)）信紙的張數(shù)：100+50=150（張）【小結(jié)】不同的人，相同的物品，假設(shè)都用完同樣多的信封，這就是“盈虧”的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，問(wèn)題便于解決了?！纠?】體育中心將一些乒乓球分給若干人，每人5個(gè)還多余10個(gè)乒乓球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分2個(gè)乒乓球還缺少8個(gè)，問(wèn)有乒乓球多少個(gè)？【分析】考慮人數(shù)增加3倍后，相當(dāng)于按原人數(shù)每人給SKIPIF1<0（個(gè)），每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差10+8=18（個(gè)），所以原有人數(shù)18SKIPIF1<0（人），乒乓球總數(shù)是SKIPIF1<0（個(gè)）【拓展】臥龍自然保護(hù)區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個(gè)還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只大熊貓，那么每只大熊貓分2個(gè)還缺8棵竹子，問(wèn)有大熊貓多少只，竹子多少課？【注意】以上題型中會(huì)出現(xiàn)兩種物品，一般兩者之間還存在數(shù)量關(guān)系，如和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等，我們應(yīng)該先利用數(shù)量關(guān)系將已知條件轉(zhuǎn)化為一種物品的盈虧關(guān)系，再根據(jù)普通盈虧問(wèn)題的解法計(jì)算。【例8】幼兒園阿姨拿來(lái)水果糖和奶糖分給小朋友，且水果糖的個(gè)數(shù)是奶糖的2倍。如果每個(gè)小朋友分2個(gè)奶糖，就多余4個(gè)奶糖；如果每個(gè)小朋友分5個(gè)水果糖，則少2個(gè)水果糖。阿姨拿來(lái)了水果糖和奶糖個(gè)多少個(gè)？【分析】水果糖和奶糖的個(gè)數(shù)不相等，不能將兩者直接比較，如果本題中水果糖和奶糖一樣多就好了。所以，我們可以假設(shè)水果糖和奶糖一樣多，也就是假設(shè)奶糖是實(shí)際數(shù)量的2倍，那么，分給同樣多的小朋友后，每個(gè)小朋友可以分到2SKIPIF1<02=4個(gè)，而多余的奶糖是SKIPIF1<0（個(gè)）、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10個(gè)，原因是每個(gè)小朋友多分了5-4=1個(gè)，這樣就可以求出小朋友的人數(shù)，然后根據(jù)太燙和水果糖的實(shí)際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)奶糖和水果糖的實(shí)際分配情況，分別求出奶糖和水果糖的個(gè)數(shù)，即：SKIPIF1<0（個(gè)）小朋友的人數(shù)10SKIPIF1<0(個(gè))奶糖的個(gè)數(shù)10SKIPIF1<0（個(gè)）水果糖的個(gè)數(shù)【注意】本題的解題關(guān)鍵在于通過(guò)假設(shè)，使兩種糖的個(gè)數(shù)變得同樣多在解答。其他類型的盈虧問(wèn)題盈虧問(wèn)題有的題型不想普通的盈虧問(wèn)題那么標(biāo)準(zhǔn)，它是經(jīng)過(guò)普通盈虧問(wèn)題的變形和拓展，解答這類問(wèn)題也要利用其本盈虧問(wèn)題解答方法，根據(jù)不同的題型作出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)?！纠?】幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8快，還剩10快；若沒(méi)人分9塊，左后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？【分析】最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有（1+10）SKIPIF1<0（9-8）=11（人），糖果最多有9SKIPIF1<0（塊）；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計(jì)算公式，人數(shù)有（8+10）SKIPIF1<0（人），糖果最多有9SKIPIF1<0（塊）；所以，這批糖果最多有154塊?！就卣埂坑腥舾珊锌ㄆ?，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則缺少5張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問(wèn)共有小朋友多少人？【分析】60SKIPIF1<060SKIPIF1<0，說(shuō)明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8SKIPIF1<0（張），現(xiàn)在時(shí)機(jī)每人得到60張，即每人需要退4張，其中要有4張式每人60張后多下來(lái)的，還有40張我們一開(kāi)始借來(lái)的要還出去，即要退出44張，44SKIPIF1<0（人），說(shuō)明有11人。【例10】媽媽給了紅紅一些錢去買賀年卡，有甲、乙、丙三種賀年卡，，甲種卡每張1元，丙種卡片每張2元。用完這些錢買甲種卡要比乙種卡多買8張，買乙種卡要比買丙種卡多買6張。媽媽給了紅紅多少錢？乙種卡每張多少錢？【分析】“用這些錢買甲種卡要比買乙種卡多買8張，買乙種要比買丙種卡多買6張”所以盈虧總額是：SKIPIF1<0（元），單價(jià)相加2-1=1（元），所以工可以買衣種卡SKIPIF1<0（張），媽媽給紅紅的錢數(shù)是：SKIPIF1<0（元），乙種卡每張：28SKIPIF1<0=1元4角?！就卣埂繕?lè)樂(lè)有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè);按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣。樂(lè)樂(lè)共花了多少錢？【分析】假設(shè)去掉22個(gè)2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個(gè)5分幣比一個(gè)二分幣多3分，所以5分幣有：84SKIPIF1<0個(gè)2分幣有：28+22=50（個(gè)）所以樂(lè)樂(lè)共存錢：5SKIPIF1<0（分）。鞏固精煉小明讀一本書(shū)，如果每天讀6頁(yè)，還剩20頁(yè)沒(méi)有讀完，如果每天讀10也，書(shū)還少24頁(yè)，這本書(shū)共有多少頁(yè)，小明打算幾天讀完？【分析】在兩種方法中，數(shù)的頁(yè)數(shù)和打算讀的天數(shù)沒(méi)有改變，而第一種讀法，書(shū)沒(méi)讀完，還剩20頁(yè)；第二種讀法，不僅可將余下的29頁(yè)讀完，如果書(shū)還有24頁(yè)也能恰好讀完。兩種不同讀法總頁(yè)數(shù)相差20+24=44頁(yè)，造成這個(gè)差異的原因就是每天多讀天了10-6=4頁(yè)。每天多讀4頁(yè)就要多讀44頁(yè)，因此打算毒的天數(shù)是44SKIPIF1<0天，即：SKIPIF1<0（天）SKIPIF1<0（頁(yè)）陽(yáng)光小學(xué)學(xué)生乘汽車到香山春游。如果每車坐65人，則有5人不能乘上車；如果沒(méi)車多坐5人，恰好多于一輛車，問(wèn)一共有幾輛汽車，有多少學(xué)生?[分析]每車多坐5人，實(shí)際是每車可坐5+65=70（人），恰好多余一輛車，也就是還差一輛汽車的人，即70人，因而原因問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如果沒(méi)車坐65人，則多出5人無(wú)人乘坐；如果每車坐70人，還少70人，求有多少人和多少輛車？車數(shù)是（5+5+65）SKIPIF1<0（輛）人數(shù)是65SKIPIF1<0（人）或（5+65）SKIPIF1<0（人）王老師由家里到學(xué)校，如果騎車每分鐘每分鐘500米，上課就要遲到3分鐘；如果騎車每分鐘600米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校。王老師家到學(xué)校的路程是多少米？【分析】遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：500SKIPIF1<03=1500（米），提前兩分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：600SKIPIF1<02=1200（米），（1500+1200）SKIPIF1<0（600-500）=27（分鐘）500SKIPIF1<0（米）王阿姨去買水果。如果買5千克橙子，就差10元錢；如果買6千克葡萄，則余2元錢。已知每千克橙子比每千克葡萄貴4元，每千克橙子和每千克葡萄個(gè)多少元？【分析】本題涉及到兩種水果，較難入手。但題中告訴我們每千克橙子比每千克葡萄貴4元，所以可以設(shè)法把兩種水果轉(zhuǎn)化為一種水果。因?yàn)槊壳Э顺茸颖让壳Э似咸奄F4元，所以將買5千克橙子換成買5千克葡萄，就要少用4SKIPIF1<05=20（元），于是，“買5千克橙子差10元錢”就可以變成“買5千克葡萄余20-10=10元”，則題目乘為：王阿姨買水果，如果買5千克葡萄，就余下10元錢；如果買6千克葡萄就余2元錢，而每千克橙子比每千克葡萄貴4元，求每千克橙子和葡萄各多少元？解答這個(gè)問(wèn)題就不難了。每千克葡萄的價(jià)錢：SKIPIF1<0（元）每千克橙子的價(jià)錢：