§2.4

隨機(jī)變量的數(shù)字特征分布列能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在一些實(shí)際問(wèn)題中，只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù).例如：評(píng)定某企業(yè)的經(jīng)營(yíng)能力時(shí)，只要知道該企業(yè)人均贏利水平；研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，我們關(guān)心的是稻穗的平均粒數(shù)及每粒的平均重量；檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)、偏離程度越小，質(zhì)量就越好;考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高，還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來(lái)描寫(xiě)隨機(jī)變量的平均取值——

數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的情況——方差本節(jié)內(nèi)容定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱其和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望記為1.數(shù)學(xué)期望的定義一數(shù)學(xué)期望解例1

例2

解常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p的0-1分布pB(n,p)npP()2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明：僅就證性質(zhì)（4）解引入隨機(jī)變量

例7一民航送客車載有20位旅客從機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車，以X表示停車次數(shù)，求EX（設(shè)每位旅客在各車站下車時(shí)等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）則有

故

（次）

例8按規(guī)定，某車站每天8：00~9:00,9:00~10:00都恰巧有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立，其規(guī)律為解3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123解例9已知（X,Y）的聯(lián)合分布列為為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血,可采用兩種方法驗(yàn)血：分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n次；

驗(yàn)血方案的選擇3、數(shù)學(xué)期望的簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè)某地區(qū)化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，且每個(gè)人是否為陽(yáng)性是相互獨(dú)立的.試說(shuō)明選擇哪一種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù).

將k個(gè)人的血混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果為陰性,則此k個(gè)人的血只需化驗(yàn)一；若為陽(yáng)性,則對(duì)k個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn)，找出有病者,這時(shí)k個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.解為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè)n是k的倍數(shù)，設(shè)共分成n/k組第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為XiXi

P

1k+1若則EX<n例如，二方差引例

檢驗(yàn)兩批燈泡的質(zhì)量,從中分別隨機(jī)抽樣5只,測(cè)得使用壽命(單位:小時(shí))如下:A:2000150010005001000B:15001500100010001000試比較這兩批燈泡質(zhì)量的好壞計(jì)算得:平均壽命分別為:A:1200B:1200觀察得:A中使用壽命偏離較大,B中使用壽命偏離較小,所以,B產(chǎn)品質(zhì)量較好數(shù)學(xué)期望方差

1.方差的定義(X-EX)2——隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的情況,是X的函數(shù),也是隨機(jī)變量

E(X-EX)2——隨機(jī)變量X的取值偏離平均值的平均偏離程度——數(shù)注:方差反映了隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度若

X

為離散型隨機(jī)變量，概率分布為若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x)常用的計(jì)算方差的公式：

2.方差的性質(zhì)例1設(shè)X~P(),求DX解

3.方差的計(jì)算例2設(shè)X~B(n,p)，求DX解一仿照上例求DX解二

引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()例8設(shè)X表示獨(dú)立射擊直到擊中目標(biāo)n次為止所需射擊的次數(shù)，已知每次射擊中靶的概率為p，求EX,DX解令Xi表示擊中目標(biāo)i-1次后到第i次擊中目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i=1,2,…,n相互獨(dú)立,且故僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布