12/12§6.1平面向量的概念一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量的概念．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第六章第1節(jié)的內(nèi)容．本節(jié)課內(nèi)容包括向量的實際背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量.本節(jié)從物理學中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念.由于向量所特有的數(shù)形二重性，使它成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介，在高中數(shù)學教學內(nèi)容中有廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課是向量的入門課，概念較多，但難度不大，學生可借鑒對物理學中的位移、力、速度等的認識來學習.二、目標和目標解析目標：（1）了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示.（2）掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等定義.（3）通過用向量的語言描述客觀實際培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).目標解析：（1）通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景；初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別；通過類比用帶箭頭的線段表示位移，理解用有向線段表示向量，進而理解向量的表示.（2）借助有向線段的長度和方向，理解向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等定義；能弄清平行向量、相等向量、共線向量的關(guān)系.（3）數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教學的重要目標，但數(shù)學核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實．通過本節(jié)課的學習，教會學生用向量語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學和物理中的問題，培養(yǎng)提升學生的“直觀想象”和“邏輯推理”等數(shù)學素養(yǎng).基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：向量的概念，向量的幾何表示，相等向量和共線向量的概念.三、教學問題診斷分析1．教學問題一：學生已經(jīng)學習過數(shù)量，但是形如確定位置的問題，只用數(shù)量是無法滿足需要的，這就使得學習新知識是自然的有必要的，同時可以引導(dǎo)學生類比“學習數(shù)量的過程”明確研究向量概念的基本方向，因此，復(fù)習回顧數(shù)量的相關(guān)知識是有必要的.2.教學問題二：學生在物理學科中已經(jīng)知道重力，彈力，摩擦力，位移，速度等是既有大小又有方向的物理量即矢量，知道借助有向線段來作力的圖示，經(jīng)歷并了解了實數(shù)的形成過程，針對實際生活中一些常見的量，能識別是否具有大小，方向.基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：向量的概念和共線向量的概念.四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示.為了讓學生通過觀察、類比得到平面向量的相關(guān)概念，讓學生體會“向量集形與數(shù)于一身”的特征，應(yīng)該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺，引導(dǎo)學生的思考置疑.通過直觀形象→具體→抽象→再具體的反復(fù)過程，正向思考與逆向思考相結(jié)合，使學生逐步理解概念，克服思維的負遷移.在教學設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學．問題的設(shè)置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點.在教學過程中，讓學生體會用聯(lián)系的觀點、類比的方法研究向量，通過類比“數(shù)及其運算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā),再一次體會研究一類新的數(shù)學問題的基本思路。因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內(nèi)容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結(jié)合的嘗試.五、教學過程與設(shè)計教學環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境引入新知[問題1]南轅北轍——戰(zhàn)國時，有個北方人要到南方的楚國去.他從太行山腳下出發(fā)，乘著馬車一直往北走去.有人提醒他：“到楚國應(yīng)該朝南走，你怎能往北呢?”他卻說：“不要緊，我有一匹好馬！”他能如愿到達楚國嗎？[問題2]老鼠以10m/s的速度向東跑，貓以50m/s的速度向西追，貓能否追上老鼠？[問題3]質(zhì)量、力、速度這三個物理量有什么區(qū)別？教師1：提出問題1.學生1：不能．教師2：產(chǎn)生這個結(jié)果的原因是？學生2：方向錯誤．教師3：提出問題2.學生3：不能.教師4：提出問題3.學生4：質(zhì)量只有大小；力、速度既有大小，又有方向.問題引入:提出問題．設(shè)置實際的生活情境，從學生熟悉的經(jīng)驗和問題開始，激發(fā)學生學習欲望，同時為學習向量的概念做好鋪墊.探索新知形成概念（一）向量的實際背景與概念[問題4]在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？【練習】下列量不是向量的是（）（1）質(zhì)量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度（6）面積（7）年齡（8）身高（二）向量的幾何表示[問題5]一條有向線段由哪幾個基本要素所確定？[問題6]向量與有向線段有什么區(qū)別？（三）向量的相關(guān)概念[問題7]向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？[問題8]零向量的方向是什么？兩個單位向量的方向相同嗎？[問題9]向量由其模和方向所確定.對于兩個向量,就其模等與不等,方向同與不同而言,有哪幾種可能情形?【練習】判斷：1.如果|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，那么eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→)).()2.若都是單位向量，則.()3.若，且與的起點相同，則終點也相同.()4.零向量的大小為0，沒有方向.()（四）相等向量與共線向量[問題10]向量由其模和方向所確定.對于兩個向量，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？[問題11]若平行向量有相同的起點，那么它們是否一定有相同的終點？[問題12]不相等的兩個向量可能平行嗎？[問題13]如果兩個向量所在的直線互相平行,那么這兩個向量的方向有什么關(guān)系?【練習】判斷(1)平行向量方向一定相同.()(2)不相等向量一定不平行.()(3)與零向量相等的向量是零向量.()(4)若兩向量平行,則這兩向量的方向相同或相反.()(5)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．()教師5：提出問題4．學生5：不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小.教師6：提出定義：向量與數(shù)量的定義：既有大小，又有方向的量叫做向量(物理學中稱為矢量);只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量(物理學中稱為標量).注意：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、能比較大?。幌蛄烤哂写笮『头较蜻@雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量不能比較大小.教師7：完成練習題.學生6：（1）（6）（7）（8）教師8：（1）明確有向線段的概念：1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段.以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|（2）提出問題5.學生7：起點、方向、長度.教師9：（1）明確向量的表示：2.向量的表示：(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.A(起點A(起點)B（終點）(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用).（2）提出問題6.學生8：向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小相等和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量.有向線段有起點、方向與長度三個要素，若起點不同，盡管方向與長度相同，也是不同的有向線段.教師10：（1）明確向量的模：1.向量的模向量的大小，就是向量的長度（或模），記作或記作.（2）提出問題7.學生9：可以為0,1，不能為負數(shù)。教師11：（1）明確零向量、單位向量：2.零向量：長度為0的向量，記作.3.單位向量：長度等于1個單位的向量.（2）提出問題8.學生10：零向量的方向是任意的．兩個單位向量的方向不一定相同.教師12：提出問題9.學生11：有四種情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.教師13：完成練習學生12：（1）×，（2）×，（3）√，（4）×．教師14：提出問題10.學生13：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；教師15：（1）明確平行向量、相等向量、共線向量的概念：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.記法：向量與平行，記作.規(guī)定：零向量與任意向量平行.2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.（2）提出問題11.學生14：不一定，只有當兩個平行向量相等時，它們才有相同的終點.教師16：提出問題12.學生15：可能.事實上，考慮到零向量的特殊性，向量平行有如下三種情況：(1)兩個向量中，有一個為零向量，另一個為非零向量；(2)兩個向量均為非零向量，方向相同，但模不相等；(3)兩個向量均為非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.教師17：提出問題13.學生16：方向相同或相反.教師18：完成練習學生17：(1)×(2)×(3)√(4)√（5）×借助熟悉的物理背景，通過相關(guān)量的對比研究，讓學生深刻理解“向量既有大小，又有方向”的特征.學習有向線段的含義，明確如何用有向線段表示向量，同時理解好“有向線段與向量的區(qū)別”，進一步明確“向量與起點無關(guān)”.在學習向量的表示之后，借助有向線段，進一步學習“向量的模、零向量、單位向量”等相關(guān)概念.通過探究讓學生理解平面向量的概念、平行向量、相等向量的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).典例探究落實鞏固1.平面向量的相關(guān)概念例1.給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點是平行四邊形的四個頂點；②在中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；③若，，則.其中所有正確命題的序號為________．2.平面向量的表示例2.在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°方向；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，點B在點A正東方向；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，點C在點B北偏東30°方向．3.相等向量與共線向量例3.如圖，四邊形為邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點，從中選取兩個交點作為向量，則與平行且長度為的向量個數(shù)有________個．教師19：例題1中，正確的命題有哪些？學生18：②③．教師20：能否分析一下各個命題？學生19：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四點可能在同一條直線上，故①不正確；在中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②正確；，則，且與的方向相同；，則，且與的方向相同，則與長度相等且方向相同，故，故③正確．教師20：哪位同學能上臺展示一下你的答案？學生19：教師21：請同學分析一下例3.學生20：如圖所示，滿足與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量有eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))，eq\o(HG,\s\up6(→))，eq\o(IJ,\s\up6(→))，eq\o(JI,\s\up6(→))共8個．教師21：與同向且長度為的向量有幾個？學生20：與同向且長度為的向量占與平行且長度為的向量中的一半，共4個.例題講解：通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應(yīng)用意識。課堂小結(jié)升華認知[問題14]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，則()A.與共線B.與共線 B.eq\o(DE,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線C.與相等D.與相等 D.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))相等2．如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(DC,\s\up12(→))的關(guān)系是()A.eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))B．|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|C.eq\o(AB,\s\up