1第十一章無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)2第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,時(shí),這個(gè)和逼近于圓的面積A.它們的面積可表示為即31.定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依次相加，簡(jiǎn)記為即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第

n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),2.級(jí)數(shù)的前n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.如果存在,記作否則稱為發(fā)散.收斂,并稱S為級(jí)數(shù)的和,則稱無窮級(jí)數(shù)45例1.討論等比級(jí)數(shù)

(又稱幾何級(jí)數(shù))(

q

稱為公比)的斂散性.解:1)若當(dāng)時(shí),從而因此級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí),從而因此則部分和級(jí)數(shù)發(fā)散.由于其和為由于62).若當(dāng)因此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則時(shí)級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.7例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和8例2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和9解1011121314二.無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)

c

所得級(jí)數(shù)也收斂,其和為cS.證：令則這說明收斂，其和為cS.

說明：級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即15性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為16性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,則不一定發(fā)散.例如則級(jí)數(shù)也收斂,其和為(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.用反證法可證17性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:將級(jí)數(shù)的前k

項(xiàng)去掉,的部分和為由于時(shí)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.與極限狀況相同,故新舊兩級(jí)數(shù)所得新級(jí)數(shù)18性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若它按某一規(guī)律加括弧,例如設(shè)為顯然,新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列.推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:原級(jí)數(shù)發(fā)散,則加括號(hào)后不一定發(fā)散級(jí)數(shù)卻發(fā)散.因此必有例如用反證法可證19三.級(jí)數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

由此可知:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,級(jí)數(shù)其一般項(xiàng)為當(dāng)不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí)20注意：并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如，調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.21例3.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)發(fā)散.22因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為23級(jí)數(shù)的部分和為則這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.故24四、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法25P1921（1），（3）；

2（2），（3），（4）；