第6講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)知

識

梳

理1．對數(shù)的概念

如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，就是ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作

＝b， 其中a叫做對數(shù)的

，N叫做對數(shù)的

．底數(shù)真數(shù)logaNN

N

logad

logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

logaM

3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)(1)定義域：

(2)值域：(3)過點，即x＝

時，y＝(0，＋∞)R(1,0)10性質(zhì)(4)當(dāng)x＞1時，

當(dāng)0＜x＜1時，(5)當(dāng)x＞1時，

當(dāng)0＜x＜1時，

(6)在(0，＋∞)上是

函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是

函數(shù)y＞0y＜0y＜0y＞0增減

[感悟·提升]三個防范一是在運算性質(zhì)中，要特別注意條件，底數(shù)和真數(shù)均大于0，底數(shù)不等于1；二是對公式要熟記，防止混用；三是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、最值與底數(shù)a有關(guān)，解題時要按0＜a＜1和a＞1分類討論，否則易出錯．

規(guī)律方法

(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底或指數(shù)與對數(shù)互化．(2)熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧．規(guī)律方法

一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【訓(xùn)練2】(2014·石家莊二模)設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則兩根滿足的條件是________． ①x1x2＜0；②x1x2＝1；③x1x2＞1；④0＜x1x2＜1.

解析構(gòu)造函數(shù)y＝10x與y＝|lg(－x)|， 并作出它們的圖象，如圖所示． 因為x1，x2是10x＝|lg(－x)|的兩個根， 則兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)分別為

x1，x2，不妨設(shè)x2＜－1，－1＜x1＜0，則10x1＝ －lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因為10x2－10x1＜0，所以lg(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1.

答案④考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(1)(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ卷改編)設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則它們的大小關(guān)系為________．

(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝

若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．規(guī)律方法

在解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解．在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件．(1)研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，要注意底數(shù)a＞1和0＜a＜1的兩種不同情況．有些復(fù)雜的問題，借助于函數(shù)圖象來解決，就變得簡單了，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．(2)利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決

[反思感悟]

(1)利用對數(shù)函數(shù)的圖象研究與對數(shù)有關(guān)的圖象問題時要注意對稱變換的應(yīng)用；(2)本題是以函數(shù)圖象為載體，AC和BD在x軸上的投影長度用坐標(biāo)表示是解決問題的切入點，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，難度稍大．【自主體驗】

已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直線y＝a(a＜0)與這三個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x