數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)課程設(shè)計(jì)報(bào)告姓名:陶英學(xué)號(hào):081410124任課教師:楊熙南京航空航天大學(xué)2016年6月22日求解線(xiàn)性方程組的三種迭代法及其結(jié)果比較綱要現(xiàn)在的環(huán)境下，數(shù)值計(jì)算愈來(lái)愈依靠于計(jì)算機(jī)。大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算和工程技術(shù)中很多問(wèn)題的解決，最后究結(jié)為大型稀少線(xiàn)性方程組的求解，其求解時(shí)間在整個(gè)問(wèn)題求解時(shí)間中據(jù)有很大的比重，有的甚至達(dá)到80%。因?yàn)楫?dāng)今科學(xué)研究和大型項(xiàng)目中各樣復(fù)雜的能夠?qū)τ?jì)算精度和計(jì)算速度的要求愈來(lái)愈高。所以，作為大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算基礎(chǔ)的線(xiàn)性代數(shù)方程組的高效數(shù)值求解惹起了人們的廣泛關(guān)注。這類(lèi)方程組的求解一般采納迭代法。對(duì)于迭代法，是有好多種解決公式的：Jacobi，G-S和超廢弛迭代法。這三種方法的原理大概相同，Jacobi需要給定初向量，G-S則需要給定初值，超廢弛法是對(duì)Guass-Seidel迭代法的加權(quán)均勻改造。而本文則是對(duì)大型稀少線(xiàn)性方程組迭代求解與三種迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超廢弛迭代法）的收斂速度與精準(zhǔn)解的偏差比較做出研究。重點(diǎn)詞：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；線(xiàn)性方程組方法與理論的表達(dá)1.1迭代法簡(jiǎn)介1.Jacobi迭代法：對(duì)于非奇怪線(xiàn)性方程組Ax=b，令A(yù)=D-L-U，此中則原方程組可改寫(xiě)為：（2.2）此中給定初始向量：由（2.2）能夠結(jié)構(gòu)迭代公式：其重量形式為：Guass-Seidel迭代法：近似于Jacobi迭代法，給定初值：令則獲得Guass-Seidel公式：其重量形式為：超廢弛迭代法（SOR迭代法）：SOR迭代法是對(duì)Guass-Seidel迭代法的加權(quán)均勻改造，即為Guass-Seidel迭代解，即它的重量形式為：此中ω稱(chēng)為廢弛因子，當(dāng)ω>1時(shí)稱(chēng)為超廢弛；當(dāng)ω<1時(shí)叫低廢弛；ω=1時(shí)就是Guass-Seidel迭代。上述三種經(jīng)典迭代法收斂的充分必需條件是迭代矩陣譜半徑小于1。譜半徑不易求解，而在必定條件下，經(jīng)過(guò)系數(shù)矩陣A的性質(zhì)可判斷迭代法的收斂性。定理1：若系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不行約對(duì)角占優(yōu)，則Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂。定理2：（1）SOR迭代法收斂的必需條件是0<w<2；（2）若系數(shù)矩陣A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不行約對(duì)角占優(yōu)且0<w<1,則SOR迭代法收斂。w=1時(shí)，SOR迭代法退化為Gauss-Seidel迭代法。數(shù)值結(jié)果2.1問(wèn)題考慮兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：d2ydya,0a1dx2dxy(0)0,y(1)1.x簡(jiǎn)單知道它的精準(zhǔn)解為：y1a1/(1e)ax1e為了將微分方程失散，把[0,1]區(qū)間n平分，令h=1/n，xiih,i1,2,...n1，得到差分方程(h)yi1(2h)yiyi1ah2，進(jìn)而獲得迭代方程組的系數(shù)矩陣A。對(duì)=1，a=1/2,n=100,分別用jacobi，G-S，超廢弛迭代法分別求線(xiàn)性方程組的解，要求4位有效數(shù)字，而后比較與精準(zhǔn)解的偏差。對(duì)=0.1，=0.01，=0.001，考慮相同問(wèn)題。方程的表示及儲(chǔ)存因?yàn)榇祟}中線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣為三對(duì)角矩陣，所以能夠采納收縮方法儲(chǔ)存，即而后在矩陣乘法時(shí)對(duì)下標(biāo)辦理一下即可?？墒强紤]到三種迭代方法的一般性，且此題中n=200其實(shí)不是很大，所以實(shí)驗(yàn)中并無(wú)采納收縮儲(chǔ)存，而是采納了直接儲(chǔ)存。邊值條件的辦理因?yàn)椴罘肢@得的方程組的第一行和最后一行中分別出現(xiàn)了邊值y(0)與y(1)作為常數(shù)項(xiàng)，所以要在常向量的第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)作一些改正：迭代停止條件第一確立要求的精度tol，我們希望當(dāng)則停止迭代。對(duì)于迭代格式

，若

且

，則迭代序列

的第k次近似解和精準(zhǔn)解之間有預(yù)計(jì)式由題目要求知我們需要有

。，而由上邊的迭代預(yù)計(jì)，只需，即即可。而此題中q可近似取為，所以最后令迭代停止條件為4.SOR迭代中最正確廢弛因子的選用因?yàn)镾OR迭代法的成效和其廢弛因子w的選用相關(guān)，所以有必需選用適合的松弛因子。入選擇最正確廢弛因子時(shí)，SOR方法的迭代速度最快。Matlab實(shí)現(xiàn)：迭代矩陣是n-1階的，不是n階；等號(hào)右端向量b的最后一項(xiàng)，不是ah^2，而是ah^2-eps-h2.2精準(zhǔn)解x1ay1e1/(1e)ax帶入a=1/2,=1代碼：clearx=linspace(0,1);truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1))*(1-exp(-x./1))+x.*0.5;figure;plot(x,truy,'g','LineWidth',1.5);holdon;Grid圖：2.3三種迭代法Jacobi法：代碼見(jiàn)附錄Eps=1結(jié)果：迭代次數(shù)k：22273結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）Eps=0.1結(jié)果：迭代次數(shù)k：8753結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）Eps=0.01結(jié)果：迭代次數(shù)k：661結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）G-S迭代法：代碼見(jiàn)附錄Eps=1結(jié)果：迭代次數(shù)k：11125結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）Eps=0.1結(jié)果：迭代次數(shù)k：4394結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）Eps=0.01結(jié)果：迭代次數(shù)k：379結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）超廢弛法：代碼見(jiàn)附錄Eps=1w=1.56結(jié)果：迭代次數(shù)k：3503結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）Eps=0.1w=1.56結(jié)果：迭代次數(shù)k：1369結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）Eps=0.01w=1.56結(jié)果：迭代次數(shù)k：131結(jié)果與精準(zhǔn)解的比較圖（綠色粗線(xiàn)是精準(zhǔn)解，黑色細(xì)線(xiàn)是迭代結(jié)果）剖析議論及心得領(lǐng)會(huì)3.1三種方法的比較Jacobi、G-S、超廢弛法，三者都能夠獲得對(duì)精準(zhǔn)解的優(yōu)秀迫近，可是，在相同的精度條件下，三者的收斂速度是不相同的，jacobi<G-S<超廢弛，也就是說(shuō)，在迭代次數(shù)相同的條件下，精度：jacobi<G-S<超廢弛。3.2心得領(lǐng)會(huì)此次課程設(shè)計(jì)，平常感覺(jué)挺簡(jiǎn)單的那些乏味單一的代碼和數(shù)學(xué)公式，真實(shí)到了自己運(yùn)用的時(shí)候卻無(wú)從下手，可是，解決問(wèn)題的過(guò)程正是不停學(xué)習(xí)的過(guò)程：數(shù)學(xué)算法變換為代碼的過(guò)程要對(duì)題目有深入的認(rèn)識(shí)，而后對(duì)程序函數(shù)定義還要有一定的掌握能力，經(jīng)過(guò)這個(gè)的過(guò)程讓我穩(wěn)固了自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)和MATLAB的操作有了更深的領(lǐng)會(huì)。課程設(shè)計(jì)中碰到的問(wèn)題只憑自己冥思苦想是不可以所有解決的，這是同學(xué)老師的建講和網(wǎng)絡(luò)給了我很大的幫助。碰到自己解決不了的問(wèn)題時(shí)，多多向老師同學(xué)討教，也許問(wèn)題就能水到渠成。參照文件徐樹(shù)方.數(shù)值線(xiàn)性代數(shù).北京:北京大學(xué)第一版社,1995.馬昌鳳.現(xiàn)代數(shù)值剖析.北京:國(guó)防工業(yè)第一版社.2013.劉春鳳,米翠蘭.適用數(shù)值剖析教程.北京冶金工業(yè)第一版社.2006附錄源代碼1.Jacobi：function[y,k]=jacobi2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;fori=1:n-1forj=1:n-1A(i,j)=0;endendfori=1:n-1A(i,i)=-(2*eps+h);endfori=1:n-1forj=1:n-1ifi==j+1A(i,j)=eps;endifi==j-1A(i,j)=eps+h;endendendb=zeros(n-1,1);fori=1:n-2b(i,1)=a*h^2;endb(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);fori=1:n-1D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi>jL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi<jU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D\(L+U);g=D\b;while1z=B*y+g;ifnorm(z-y,inf)<deltabreak;endy=z;k=k+1;endx=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);holdon;gridholdon;plot(y,'b')2.G-S:function[y,k]=gs2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;fori=1:n-1forj=1:n-1A(i,j)=0;endendfori=1:n-1A(i,i)=-(2*eps+h);endfori=1:n-1forj=1:n-1ifi==j+1A(i,j)=eps;endifi==j-1A(i,j)=eps+h;endendendb=zeros(n-1,1);fori=1:n-2b(i,1)=a*h^2;endb(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);fori=1:n-1D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi>jL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi<jU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D\(L+U);g=D\b;while1z=(D-L)\U*y+(D-L)\b;ifnorm(z-y,inf)<deltabreak;endy=z;k=k+1;endx=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);holdon;gridholdon;plot(y,'b')3.SOR：function[y,k]=sor(a,eps,h,delta,w)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;fori=1:n-1forj=1:n-1A(i,j)=0;endendfori=1:n-1A(i,i)=-(2*eps+h);endfori=1:n-1forj=1:n-1ifi==j+1A(i,j)=eps;endifi==j-1A(i,j)=eps+h;endendendb=zeros(n-1,1);fori=1:n-2b(i,1)=a*h^2;endb(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);fori=1:n-1D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi>jL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi<jU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D\(L+U);g=D\b;Lw=((D-w*L)^-1