第4章

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)（I)李映輝西南交通大學(xué)2015.092023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》22023年2月2日中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)大會(huì)‘2005’22023年2月2日2聲明本課件可供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中免費(fèi)使用。不可用于任何商業(yè)目的。本課件的部分內(nèi)容參閱了上海交通大學(xué)陳國(guó)平教授和太原科技大學(xué)楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無(wú)意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動(dòng)力學(xué)》（中國(guó)鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎(chǔ)編寫。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》3教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》3弦、桿的的振動(dòng)梁的橫向的振動(dòng)薄板的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)固有特性的近似解法2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》4教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》4弦、桿的的振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)方程弦的自由振動(dòng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)方程桿的縱向自由振動(dòng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程桿的扭轉(zhuǎn)自由和強(qiáng)迫振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》5連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)

連續(xù)系統(tǒng)：具有分布質(zhì)量和分布彈性的系統(tǒng)。如柔索或弦、梁、板等。

連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用時(shí)間和坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)描述y=f(x,t)基本假設(shè)如下：（1）材料是均勻連續(xù)的，且各向同性；

（2）線彈性，即服從胡克定律；

（3）小變形。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》6連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)4.1弦、桿的振動(dòng)弦、繩索構(gòu)件：懸索橋的索[圖4.1(a)]、斜拉橋的斜拉索[圖4.1(b)]、懸索屋頂結(jié)構(gòu)[圖4.1(c)]、高壓輸電線[圖4.1(d)]、小提琴、胡琴等琴弦。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》7連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)4.1.1弦橫向振動(dòng)方程兩端固定，張力T0

，單位體積質(zhì)量ρ，橫截面積A，長(zhǎng)度l，如圖4.2。

開始受干擾（沖擊力或位移），干擾消失后，弦將在Oxy平面內(nèi)發(fā)生橫向自由振動(dòng)。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》8連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)(1)離散化方法

將弦任意分割為n+1段，如圖4.3（a）。將每段的質(zhì)量對(duì)半聚縮到兩端。各質(zhì)量點(diǎn)質(zhì)量為mi(i=1,2,…,n)，且mi=ρA.Δxi。

使連續(xù)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)n自由度的離散系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》9連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)用yi表示各質(zhì)點(diǎn)mi偏離平衡位置的橫向位移，設(shè)各質(zhì)點(diǎn)mi作微振動(dòng)。考查3個(gè)相鄰質(zhì)點(diǎn)mi-1、mi和mi+1，mi受力如圖4.3（b）所示。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》10連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)mi的橫向振動(dòng)方程為式中αi、

βi分別為質(zhì)點(diǎn)mi上兩相鄰弦段的張力T0與x軸的夾角。對(duì)微振動(dòng)，sinαi≈

tanαi,sinβi≈tanβi,且代入整理得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》11連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)

令yi-1=yi-yi-1,yi=yi+1-yi,代入式（4.1）得兩邊同除以xi，得令xi0,離散系統(tǒng)趨近連續(xù)系統(tǒng)。為弦橫向自由振動(dòng)方程。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》12連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)（2）連續(xù)化方法在離左邊固定端x處取微段dx[圖4.4a]，x點(diǎn)的橫向位移y=y(x,t)，其質(zhì)量為dm=ρAdx。微段受力如圖該微段的運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)微幅振動(dòng)，有2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》13連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)因=y/x，得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》14連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)4.1.2弦橫向自由振動(dòng)將（4.2）簡(jiǎn)寫為式中c2=T0/ρA,c為波沿弦長(zhǎng)度方向傳播速度.式（4.3）一般稱為一維波動(dòng)方程。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》15連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)設(shè)（4.3）的解為式中,Y(x)為弦的振型,而T(t)為弦的振動(dòng)方式，式（4.4）代入（4.3）得整理得方程中含x和t兩個(gè)變量，這種方法稱為分離變量法。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》16連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)因兩邊分別為x和t的函數(shù)，兩邊必為同一常數(shù)，設(shè)為-ω2，得式（4.6a）和式（4.6b）的解分別為（4.7b）稱為振型函數(shù)，表明弦按固有頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)形態(tài)，即為主振型。

代入得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》17連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)式中A、B、φ、ω為4個(gè)待定常數(shù)，除需振動(dòng)的初始條件外，還需端點(diǎn)條件確定。對(duì)兩端固定弦，邊界條件為代入（4.8）得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》18連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)式（4.9）為弦振動(dòng)的特征方程，也就是頻率方程，由于對(duì)應(yīng)于正弦函數(shù)為零的固有頻率ω值應(yīng)有無(wú)限多個(gè)，即所以為此，對(duì)應(yīng)于無(wú)限多階的固有頻率ωn，就有無(wú)限多階的主振動(dòng)，代入（4.8）得式中為主振型，即2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》19連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)通常稱Y(x)為特征函數(shù)。為此Yn(x)為一特征函數(shù)族，主振型也應(yīng)是一函數(shù)族。通常，弦的自由振動(dòng)為無(wú)限多階主振動(dòng)的疊加，或式中An、?n或Cn、Dn根據(jù)初始條件來(lái)決定。

設(shè)初始條件為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》20連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)代入式（4.13b），有把f1(x)、f2(x)按傅里葉級(jí)數(shù)展開，有式中2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》21連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)由式（a）、（b），得弦的自由振動(dòng)響應(yīng)為在求解弦的自由振動(dòng)微分方程的過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程（4.7b）的解必須滿足初始條件和邊界條件。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》22連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)初始條件和邊界條件稱為定解條件，只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題（或柯西問(wèn)題）；沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題，兩者皆有稱為混合問(wèn)題。

（2）特征方程（頻率方程）由邊界條件獲得，解由無(wú)限多的特征值組成的。（3）特征函數(shù)族中的An是未定振幅，故Yn(x)僅描述了振型的形狀。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》23連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)（4）系統(tǒng)的固有頻率中，當(dāng)n=1時(shí)，，稱為基頻。較高次的頻率ωn(n=2,3,4,…)是基頻的整數(shù)倍，ωn與ρ、T0、l有關(guān)?？芍呵傧揖o一些，可調(diào)高音調(diào)，松一些可調(diào)低音調(diào)。圖4.52023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》24連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)3.弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程及其解兩端固定，長(zhǎng)l的弦上，作用橫向分布力q(x,t)，弦線作強(qiáng)迫振動(dòng)，如圖4.6所示。設(shè)張力T0，單位體積質(zhì)量和橫截面積A皆為常量,強(qiáng)迫振動(dòng)方程為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》25連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)式中c2=

T0/ρA，振型函數(shù)為振動(dòng)方式Hn（t）為未知的時(shí)間函數(shù)，振型函數(shù)必須滿足邊界條件。因此，令也必須滿足邊界條件，同時(shí)式（4.13）的解也應(yīng)滿足邊界條件，設(shè)方程（4.15）的解為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》26連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)式（4.16）代入式（4.15），得設(shè)An=1，上式兩邊乘以，對(duì)x在[0,l]上積分，根據(jù)振型函數(shù)正交性得式中與無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)在外激勵(lì)下方程形式相同，其解為：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》27連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)式中,為待定常數(shù),由初始條件決定。分別表示廣義坐標(biāo)和廣義速度的初始值，稱為廣義力。將式（4.18）代入式（4.16）中，可得弦的強(qiáng)迫振動(dòng)解，即得系統(tǒng)在初始條件下和任意激振的響應(yīng)。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》28連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)【例4.1】在一旋轉(zhuǎn)的圓平臺(tái)上，沿直徑方向安裝了一根弦AB，弦內(nèi)初拉力為T0，弦長(zhǎng)為l，弦的一端A離圓平臺(tái)的圓心距離為l1，弦在圓平臺(tái)上作微振動(dòng)，如圖4.7（a）。在這種情況下，弦實(shí)為測(cè)量平臺(tái)旋轉(zhuǎn)角速度的敏感元件，即由測(cè)量弦振動(dòng)基頻來(lái)確定平臺(tái)的角速度。試建立此弦的振動(dòng)方程。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》29連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)【解】平臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，張力T(x)大小沿其長(zhǎng)度方向變化。設(shè)分布離心力在x軸上投影為qx(x)，則作用在dx微段上的離心力因弦AB總伸長(zhǎng)為0，m(x)=m0=常數(shù)有（b）2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》30連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)式中，E為材料彈性模量，F(xiàn)為橫截面面積，Nq(x)為qx(x)作用引起弦的內(nèi)力,有（c）代入（b）有2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》31連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)分布力離心力引起的弦內(nèi)張力為對(duì)有初拉力為T0，弦內(nèi)總張力為離心力q(x)在y方向的投影為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》32連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)由平衡方程整理得此為該弦振動(dòng)方程。【例4.2】?jī)啥斯潭ㄏ遥L(zhǎng)l，橫截面A,單位體積質(zhì)量ρ，開始時(shí)，在距O點(diǎn)a處把弦拉高h(yuǎn)，然后放手，如圖4.9。設(shè)張力T0大小不變。求弦自由振動(dòng)響應(yīng)和弦以第n階主振型振動(dòng)時(shí)的總能量。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》33連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)圖4.9解：弦作自由振動(dòng)，其響應(yīng)可由式（4.14）表為：式中ωn=cnπ/l,f1(x)、f2(x)為初始條件。根據(jù)題意2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》34將f1(x)和f2(x)代入式(a)得連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》35連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)當(dāng)弦以第n階主振型振動(dòng)時(shí)，它的總能量公式為將yn(x,t)代入上式得由此可見，En將隨n值的增大而快速變小，當(dāng)n=1時(shí)，它的總能量有最大值。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》362023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》36作業(yè)第156頁(yè)4.4連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/弦的橫向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》372023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》37教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》37弦、桿的的振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)方程弦的自由振動(dòng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)方程桿的縱向自由振動(dòng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程桿的扭轉(zhuǎn)自由和強(qiáng)迫振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》38連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)1.桿縱向振動(dòng)方程基本假設(shè)：（1）只考慮桿的縱向變形；（2）垂直于桿軸線的任一截面始終保持為平面，且始終垂

直于桿的軸線；（3）各橫截面內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)只沿著桿軸線方向作相等位移，即

不計(jì)桿的橫向變形?；緟?shù)：截面抗拉剛度EA(x)，彈性模量E，橫截面積A(x)，單位體積質(zhì)量ρ。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》39連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)

設(shè)u(x,t)為t時(shí)刻，x處截面縱向位移。微段dx受力如圖4.10（b），x處橫截面上軸力N，x+dx處橫截面上軸力、位移為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》40連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)軸向應(yīng)變量由σx=Eεx及有由平衡方程得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》41連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)整理有（4.19）代入得對(duì)等直桿，EA(x)為常量時(shí)，式（4.20）寫為式中c2=E/ρ，c為彈性縱波沿桿軸線的傳播速度（材料內(nèi)聲的速率）。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》42連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2.桿的縱向自由振動(dòng)式（4.21）與（4.3）有相同形式，是一維波動(dòng)方程。用分離變量法求解。

設(shè)解u(x,t)=U(x)T(t)，得解得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》43連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)A、B、ω、φ為待定常數(shù)，由初始條件和邊界條件決定。對(duì)兩端固定桿，邊界條件為代入式（4.23）得得出對(duì)應(yīng)的主振型2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》44連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)兩端自由桿，邊界條件為自由端軸力為零，代入邊界條件有則有主振型為

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》45連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)與兩端固定桿不同處：

存在n=0時(shí)的固有頻率ωn=0，表示桿順軸線方向作剛體平移。對(duì)零頻率ω0=0，若取B0=1，則其主振型為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》46連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)三種邊界條件下的桿縱向振動(dòng)頻率方程、固有頻率及主振型2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》47連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)其它情況的邊界條件2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》48連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)桿縱向振動(dòng)響應(yīng)：由無(wú)限多階主振型的疊加得到，如對(duì)兩端固定桿或式中An、φn或Cn、Dn兩個(gè)待定常數(shù)，由初始條件決定。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》49連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)

【例4.3】圖中等直桿橫截面積A，單位體積質(zhì)量ρ，彈性模量E，長(zhǎng)l，左端固定，右端固結(jié)一質(zhì)量M的質(zhì)量塊，計(jì)算其固有頻率,并進(jìn)行正交性條件推導(dǎo)。【解】（1）計(jì)算固有頻率

由（4.23）響應(yīng)為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》50連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)邊界條件為代入及c2=E/ρ，得ρAl/M為桿質(zhì)量和附加質(zhì)量之比。式（a）為頻率方程。

設(shè)ρAl/M=1，ωl/c=β，式（a）為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》51連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)tanβ和1/β的曲線如圖由兩曲線交點(diǎn)β1，β2，…，可求得各階固有頻率。由圖可得β1=0.86，β2=3.43，則2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》52連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)【討論】(1)當(dāng)桿質(zhì)量和附加質(zhì)量比不為1，令v為質(zhì)量比，由（a）有則（a）可簡(jiǎn)化為由（c），當(dāng)給定質(zhì)量比時(shí)，可求出一系列的β值，代入ωl/c=β中，可得即可求出各階固有頻率。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》53連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)【討論】(2)當(dāng)質(zhì)量比v在兩種極端情況，即v≈∞和v≈0時(shí)。a.當(dāng)v≈∞時(shí)，由（c）知tanβ=

∞,即將（e）代入（d）得與表4.1中一端固定一端自由桿固有頻率相同。

說(shuō)明此質(zhì)量塊M的作用可以不計(jì)。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》54連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)b.當(dāng)v≈0時(shí)，tanβ≈β

，代入（c）得將v=ρAl/M和ωl/c=β

代入上式，得因EA/l是桿的縱向剛度，說(shuō)明（h）為略去桿質(zhì)量后，得到的單自由度系統(tǒng)固有頻率。值得注意的是，若v=0.1時(shí)，由數(shù)值計(jì)算可得β1=0.32，代入（d）得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》55連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)若v=0.1,代入v=ρAl/M中，則M=10ρAl，再代入(h)，則（j）與（i）比較，相對(duì)誤差僅1.18%。為此，當(dāng)v值較小時(shí)，略去桿的質(zhì)量，可得到精度較好的結(jié)果。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》56連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)（2）正交性條件的推導(dǎo)兩個(gè)不同階主振型Yn、Ym之間正交性定義為對(duì)右端帶一質(zhì)量塊的桿主振型正交性證明如下：設(shè)Un(x)

和Um(x)為n階和m階主振型函數(shù)，則它們滿足方程2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》57連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)式中c2=E/ρ，整理得式中m=ρA，將Un(x)和Um(x)代入（a），得用Um和Un分別（b）和（c），并積分得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》58連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)應(yīng)用分部積分，得兩式相減得由將邊界條件2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》59連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)代入式（f）得故有當(dāng)m≠n時(shí)，ωm2≠ωn2，則有上式為右端帶質(zhì)量塊的桿縱向振動(dòng)主振型對(duì)質(zhì)量的正交性條件。

與無(wú)質(zhì)量塊的桿縱向振動(dòng)主振型對(duì)質(zhì)量的正交性條件相比較，多了MUn(l)

Um(l)。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》60連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)當(dāng)m=n時(shí)，ωm2=ωn2，，則有式中，λ是一個(gè)任意常數(shù)。若取λ=1，則振型函數(shù)即可按照下面方式規(guī)格化2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》61連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)3.桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的解在兩端自由桿上作用均布軸向力Q(x,t)，如圖4.13。截面抗拉剛度為EA(x)，E為彈性模量，A(x)為橫截面面積，單位體積質(zhì)量為ρ，桿振動(dòng)方程為式中q(x,t)=Q(x,t)/ρA。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》62連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)設(shè)桿振動(dòng)方式Tn(t)為時(shí)間函數(shù)，則必須滿足邊界條件時(shí)設(shè)方程（4.25）的解為代入（4.25），應(yīng)用正交性條件和規(guī)格化后，得式中Un(x)是正則振型函數(shù)，根據(jù)杜哈美積分求得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》63連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》64連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)【例4.4】圖4.14（a）為一端自由，一端固定端的細(xì)長(zhǎng)桿。其固定端支承相對(duì)于地面按拋物線函數(shù)作平移。設(shè)桿長(zhǎng)l,桿截面抗拉剛度EA，E為彈性模量，A為橫截面面積，ρ為單位體積質(zhì)量。在初瞬時(shí)，桿處于靜止。試確定支承運(yùn)動(dòng)所引起的桿的縱向振動(dòng)響應(yīng)。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》65連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)【解】設(shè)u(x,t)為

x處縱向位移。X處微段dx，受力如圖4.14（b）軸向應(yīng)變由動(dòng)靜法得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》66連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)

整理后得（a）代入（b）中，得設(shè)則有代入式（c）中，得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》67連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)

令c2=E/ρ，整理得令q(x,t)=,代入上式式（e）和式4.25）相同。先解齊次方程：根據(jù)邊界條件，得到固有頻率2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》68連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)

式中，Un*(x)是規(guī)格化的正則振型函數(shù)，根據(jù)（4.28）有由支承運(yùn)動(dòng)引起的桿的縱向振動(dòng)響應(yīng)為故2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》692023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》69作業(yè)第156頁(yè)4.7連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》702023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》70教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》70弦、桿的的振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)方程弦的自由振動(dòng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)方程桿的縱向自由振動(dòng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程桿的扭轉(zhuǎn)自由和強(qiáng)迫振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》71連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

4.1.3桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

1.振動(dòng)微分方程

圓截面細(xì)長(zhǎng)直桿，單位體積質(zhì)量ρ，截面抗扭剛度GJt(x)，G為剪切彈性模量，It(x)為截面抗扭常數(shù)，圓形截面It(x)=Ip(x),Ip(x)為截面極慣性矩。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》72連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)基本假設(shè)：桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，截面翹曲可忽略不計(jì)，且始終保持截面平面繞x軸作微擺動(dòng)，φ(x,t)表x處截面的角位移，微段dx，其受力如圖4.15（b）。則由動(dòng)量矩定理整理后式（4.29）代入，得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》73連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對(duì)等直桿，It為一常數(shù)，上式可化簡(jiǎn)為式中，對(duì)于圓截面桿，It=Ip，則c2=G/ρ，c為剪切彈性波沿x軸的傳播速度。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》74連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)2.桿扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)式（4.30）與（4.21）形式相同，也是一維波動(dòng)方程，故其解可直接寫成式中A、B、ω、φ四個(gè)待定常數(shù)，由初始條件和邊界條件來(lái)確定。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》75連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)表4.3為一些常用的邊界條件。表4.3常用邊界條件2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》76連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)桿扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)通解由各主振型疊加而成，即給定初始條件后，則由來(lái)決定式（4.32）中常數(shù)項(xiàng)An（或Bn）和αn。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》77連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)桿扭轉(zhuǎn)受迫振動(dòng)式（4.28）形式相同，其解也有相同的形式?，F(xiàn)以表4.4給出弦、桿振動(dòng)方程的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》78連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)如已知兩端固定均勻弦的固有頻率，正則振型表達(dá)式，根據(jù)表4.4，兩端固定均勻軸固有頻率及正則振型表達(dá)式：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》792023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》79作業(yè)第157頁(yè)4.11連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》80教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》80梁的橫向振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)方程Euler梁的橫向振動(dòng)方程Timosheko梁的橫向振動(dòng)方程軸力作用下梁的橫向振動(dòng)方程梁的雙向橫向振動(dòng)方程梁的橫向振動(dòng)解梁的橫向自由振動(dòng)主振型的正交性梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)移動(dòng)載荷作用下梁的橫向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》81連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)4.2梁的橫向振動(dòng)房屋中的主梁、次梁，鋼軌、枕木，橋梁等都是梁的例子。梁在垂直其軸線方向發(fā)生的振動(dòng)，稱為梁的橫向振動(dòng)或彎曲振動(dòng)。

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》82連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)梁的三種力學(xué)模型（1）歐拉-伯努利梁（Euler-Bernoullibeam）只考慮梁的彎曲變形，不計(jì)剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響。（2）瑞利梁（Rayleighbeam）除考慮梁的彎曲變形外，還考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，但不計(jì)剪切變形影響。（3）鐵木辛科梁（Timoshenkobeam）既考慮梁的彎曲變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，還考慮其剪切變形影響。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》83連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)4.2.1梁的橫向振動(dòng)微分方程

1.歐拉-伯努利梁的振動(dòng)方程設(shè)y(x,t)為梁的橫向位移，如圖4.17(a)，它是橫截面位置x和時(shí)間t的函數(shù)。橫截面對(duì)中心主軸的截面慣性矩為I(x),單位體積質(zhì)量為ρ,橫截面積為A(x)，作用有分布力q(x,t)。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》84連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)取微段dx，受力如圖4.17（b）。Q為剪力，M為彎矩,慣性力由整理得由2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》85連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)略去二階微量，可得由彎矩和撓度關(guān)系有把式(a)和(4.35)代入式(4.36)，整理得為歐拉-伯努利梁橫向振動(dòng)方程。對(duì)等直梁，EI(x)和A(x)為常量，得到2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》86連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)2.鐵木辛科梁的振動(dòng)方程鐵木辛科梁力學(xué)模型考慮了梁的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。取微段dx，如圖4.18。梁軸線（截面）轉(zhuǎn)角ψ由彎矩、剪力共同作用產(chǎn)生。彎矩作用產(chǎn)生的梁軸線（截面）轉(zhuǎn)角θ，剪力作用產(chǎn)生的梁軸線（截面）轉(zhuǎn)角β，則2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》87連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)由彎矩M和剪力Q關(guān)系式(b)代入上式得式中，k’=1/k，k為取決于截面幾何形狀的常數(shù)。矩形截面k=1.2，圓形截面k=1.11，而k’A為截面有效剪切面積。由得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》88連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)整理得式(d)代入上式得由，得略去二階微量，整理得式中I為橫截面對(duì)中心主軸慣性矩，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩，ρIdx為微段轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》89連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)式(c)、(d)代入上式，得對(duì)等截面梁，將(e)、(f)中θ消去，得(4.39)為鐵木辛科梁振動(dòng)方程。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》90連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)3.在軸向力影響下，梁的橫向振動(dòng)方程梁除承受橫向載荷外，常還受平行于軸線的軸向力，如圖4.19。因軸向力和橫向位移相互影響，不能直接應(yīng)用橫向振動(dòng)方程，需推導(dǎo)其振動(dòng)方程。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》91連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)設(shè)軸力N為常量，取微段dx，受力圖如圖4.19(b)，由，得因θ很小，sinθ≈θ，整理得由，得含軸力的梁振動(dòng)方程2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》92連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)4.梁的雙向橫向振動(dòng)方程以上討論的梁，在振動(dòng)中軸線始終在同一平面內(nèi)。若截面主方向隨x改變，在振動(dòng)中軸線將不再位于同一平面內(nèi)。對(duì)每一主振動(dòng)，皆包含兩個(gè)相互垂直的分量，兩個(gè)方向的橫向振動(dòng)是互相耦合的。稱這種振動(dòng)為梁的雙向橫向振動(dòng)。建立梁的雙向橫振動(dòng)方程。常采用哈密頓原理，式中，T為動(dòng)能，U為勢(shì)能，δW為主動(dòng)力的虛功。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》93連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)設(shè)x軸為變形前的彈性線，坐標(biāo)軸如圖4.20，彈性線上各點(diǎn)位移沿y和z方向的分量為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》94連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)則梁上任一點(diǎn)a在3個(gè)方向的位移分量為由圖4.20(b)-(c)得因sinθ=θ，sinφ=φ，則2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》95連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)微元的動(dòng)能、勢(shì)能為式中，則系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能為：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》96連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)式中，Iz、Iy

為截面對(duì)于z軸和y軸的慣性矩，Iyz為相應(yīng)的慣性積。

設(shè)梁受分布載荷為qz(x,t)

、

qy(x,t)

，兩端作用彎矩和剪力為Qy0、Qz0、My0、Mz0、Qy1、Qz1、My1、Mz1，如圖4.20(a)，則主動(dòng)力的虛功為將(4.42a)、(4.42b)、(4.42c)代入(4.41)得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》97連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)式中，“.”表示，“’”表示，且δv(0)、

δv(l)、δv’(0)、

δv’(l)、δw(0)、δw(l)、δw’(0)、δw’(l)為兩個(gè)端點(diǎn)的虛位移。式（4.43）中動(dòng)能變分為（a）中第一項(xiàng)式中，因?yàn)閠1、t2瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)已給定。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》98連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)式中。同理（4.43）中勢(shì)能變分為（b）中第一項(xiàng)為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》99連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)

同理（b）其余三項(xiàng)為以上結(jié)果代入（4.43），整理得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》100連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》101連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)在邊界上的變分δv(0)、δv’

(0)、δw(0)、δw’(0)對(duì)應(yīng)于位移邊界條件為零，而力邊界條件是任意的，同時(shí)δv、δw也是任意的，得到2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》102連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)由（4.45）得梁的雙向橫振動(dòng)方程以上方程相互耦合。欲使不耦合，則Iyz=0，有2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》103連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的橫向振動(dòng)相應(yīng)于（4.47）的邊界條件為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》104連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)4.2.2梁的橫向自由振動(dòng)1.梁的橫向自由振動(dòng)

(1)歐拉-伯努利梁橫向自由振動(dòng)方程對(duì)等截面直梁，振動(dòng)方程為設(shè)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》105連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)代入（4.50）中得有得到2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》106連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)（4.53）第一式為式中設(shè)其基本解為Y(x)=eλx，代入(4.54)得四次代數(shù)方程，四個(gè)根為則通解為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》107連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)因整理得(4.55)為梁橫向振動(dòng)的振型函數(shù)。由(4.53)第二式得代入整理得(4.50)的通解。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》108連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)式中，A、B、C、D、ω和φ為6個(gè)待定常數(shù)，將由初始條件和邊界條件決定。如兩端簡(jiǎn)支的梁，其邊界條件為代入(4.57)得及由(a)-(b)得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》109連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)因shkl≠0，故C=0。代入(a)得因A≠0,得頻率方程：其根為knl=nπ,n=1,2,3,…又，則固有頻率為相應(yīng)主振型為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》110表4.5各種邊界條件下的頻率方程和固有頻率連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》111表4.6振型函數(shù)與主振型連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》112常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零（2）簡(jiǎn)支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》113例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》114簡(jiǎn)化后，得：頻率方程當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)各階固有頻率：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》115鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》116例：簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》117頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》118例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》119頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng)

時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》120第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》121例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡(jiǎn)支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》122連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)解：梁的自由振動(dòng)方程：邊界條件固定端：自由端：模態(tài)函數(shù)：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》123連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》124連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)非零解條件：頻率方程：求得：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：代入：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》125連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.5602023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》126例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》127固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》128或非零解條件導(dǎo)出頻率方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》129（1）若k1、k2

同時(shí)為零，則退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)討論：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》130（2）若k1＝0、k2

無(wú)窮大，則退化為一端固定另一端簡(jiǎn)支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)討論：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》131例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》132連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)

(2)鐵木辛科梁橫向自由振動(dòng)由(4.39)得對(duì)簡(jiǎn)支梁代入(4.59)，得頻率方程2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》133連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)若僅考慮(4.59)中前二項(xiàng)，即不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形影響，得式中，λn=l/n為振動(dòng)中梁的半波長(zhǎng)度，得固有頻率與歐拉-伯努利梁模型固有頻率相同。若僅考慮(4.59)中前三項(xiàng)，即只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，得頻率方程2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》134連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)由二項(xiàng)展開，得固有頻率若只考慮剪切變形影響，則頻率方程得出固有頻率2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》135連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形都是使梁固有頻率降低，對(duì)高階固有頻率影響更大。因考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，梁慣性增加，考慮剪切變形后，剛度就降低，兩者都引起梁固有頻率降低。剪切變形影響比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響大。最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一微量，略去得固有頻率2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》136連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2.主振型的正交性自由振動(dòng)解通常為無(wú)限多階主振型的疊加，對(duì)簡(jiǎn)支梁有式中An、φn為待定常數(shù)，由初始條件決定。設(shè)Yn(x)和Ym(x)為n、m階固有頻率ωn和ωm對(duì)應(yīng)的主振型函數(shù)。對(duì)歐拉-伯努利梁，滿足方程：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》137連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)將Yn(x)、Ym(x)代入(a)，得由Yn(x)、Ym(x)分別乘(b)、(c)，并在[0l]上積分,得對(duì)(d)、(e)應(yīng)用分部積分，得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》138連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)兩式相減，得對(duì)簡(jiǎn)支、固定、自由三種支承的任意組合，右邊皆為零，故m≠n，ωn≠ωm時(shí)，有2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》139連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)此式為主振型對(duì)質(zhì)量的正交條件。將(4.65)代入（f)或(g)，得此式為主振型對(duì)剛度的正交條件。對(duì)等截面梁,主振型正交性條件可表為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》140連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)當(dāng)m=n時(shí)，則式中，正常數(shù)Mn稱為廣義質(zhì)量。如果Mn=1，則稱Yn(x)為正則振型函數(shù)，即滿足代(4.68)入(d)，得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》141連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)(4.66a)、(4.68)可統(tǒng)一寫為(4.69)可寫為

對(duì)等直梁

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1422023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》142作業(yè)第157頁(yè)4.12、4.13、4.14、4.16連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》143連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)3.梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)長(zhǎng)l的均質(zhì)等截面歐拉-伯努利梁，受分布力q(x,t)作用，其強(qiáng)迫振動(dòng)方程為設(shè)其解為式中，Yn(x)為固有頻率ωn對(duì)應(yīng)的正則振型函數(shù)，Hn(t)待求時(shí)間函數(shù)，即正則坐標(biāo)(廣義坐標(biāo))。將(4.72)代入(4.38)，得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》144連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)注意：主振型的正交性對(duì)等直梁2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》145連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)式(4.73)兩邊均乘Ym(x)，并對(duì)x在[0l]上積分，應(yīng)用正交性條件(4.70)、(4.71a)得式中，稱為廣義力，(4.74)通解為因此歐拉-伯努利梁強(qiáng)迫振動(dòng)解為式中，為廣義坐標(biāo)和廣義速度初值。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》146連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)【例4.5】圖4.21為長(zhǎng)l簡(jiǎn)支梁，截面抗彎剛度EI，單位體積質(zhì)量ρ，截面積A，離梁一端a處，作用周期性集中載荷F=F0sinω0t。梁初位移及初速度均為零，求此系統(tǒng)的響應(yīng)?！窘狻孔饔糜趚=a處的集中載荷可寫為對(duì)簡(jiǎn)支梁，正則振型函數(shù)為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》147連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)由(4.75)有因t=0時(shí)，，則兩邊均乘ρAYm(x)，對(duì)x在[0l]積分，利用振型正交性得2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》148連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)代入初始條件得廣義力則系統(tǒng)響應(yīng)為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》149連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)4.2.3移動(dòng)載荷作用下的梁的橫向振動(dòng)橋梁、橋式吊車大梁皆承受移動(dòng)載荷，在其作用下將產(chǎn)生振動(dòng)。

1.恒值集中動(dòng)荷作用下梁的橫向振動(dòng)對(duì)歐拉-伯努利梁，所受恒值集中載荷F以速度v向右運(yùn)動(dòng)。在t=0，F(xiàn)位于支承A處，t時(shí)刻F距A距離為a=vt。設(shè)x處橫向位移y(x,t)，則振動(dòng)方程為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》150連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)式(4.76)通解為式中，Yn(x)為正則振型函數(shù)，表達(dá)式為廣義力則2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》151連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)故系統(tǒng)響應(yīng)為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》152連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2.移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的橫向振動(dòng)考慮歐拉-伯努利梁。對(duì)移動(dòng)質(zhì)量m，以等速度v向右移動(dòng)，t=0時(shí)位于支承A處。則t時(shí)刻，移動(dòng)質(zhì)量距A距離a=vt，聯(lián)連于移動(dòng)質(zhì)量上的坐標(biāo)ξ，則有2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》153連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)以移動(dòng)質(zhì)量為對(duì)象，受力如圖4.23(b)，由牛頓定律有梁的橫向位移y(x,t)，則橫向振動(dòng)方程為把(b)代入(c)中，有因2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》154連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)將以上關(guān)系代入(d)中，得當(dāng)x=vt時(shí)當(dāng)x≠vt時(shí)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》155連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)(4.79a)解可表示為代入(4.79a)，得式(4.80)為非常系數(shù)微分方程，可用逐步漸近法求解。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1562023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》156作業(yè)第158頁(yè)4.18連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)/桿的縱向振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》157連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)3.車輪滾動(dòng)時(shí)軌道的橫向振動(dòng)對(duì)圖4.24模型，車輪為剛性，半徑R，質(zhì)量m，受軸重G和驅(qū)動(dòng)力MA作用。MA隨Ω變化如圖4.25，且車輪中心以速度v在無(wú)限長(zhǎng)彈性軌道上滾動(dòng)。軌道基礎(chǔ)認(rèn)為是粘彈性基礎(chǔ)。

將軌道簡(jiǎn)化為歐拉-伯努利梁，彎曲剛度EI，單位長(zhǎng)度質(zhì)量μ，軌道高度h<<R，單位長(zhǎng)度基礎(chǔ)剛度k，單位長(zhǎng)度基礎(chǔ)阻尼b。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》158連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)建立如圖4.24的坐標(biāo)系，考慮車輪有微小的偏移s(t)、y(t)、φ(t)，梁在垂直方向有微小的偏移w(x,t)，輪心到K點(diǎn)的半徑為R，鉛垂線偏轉(zhuǎn)了一個(gè)微小的角度α(t)，車輪的平均角速度是ω=v/R，接觸點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為xK=vt+sK，由圖4.24可見式中“′”表示?/?x。假設(shè)車輪為純滾動(dòng)，則在接觸點(diǎn)K處不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，又假設(shè)梁在接觸點(diǎn)處水平方向運(yùn)動(dòng)非常小而忽略不計(jì)，在接觸點(diǎn)K處有一下的運(yùn)動(dòng)關(guān)系式：2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》159連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)又假設(shè)梁在接觸點(diǎn)處水平方向運(yùn)動(dòng)非常小而忽略不計(jì)，在接觸點(diǎn)K處有一下的運(yùn)動(dòng)關(guān)系式：式中，“·”表示?/?t。因?yàn)榉蔷€性項(xiàng)，又可忽略不計(jì)，故上兩式可化為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》160連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)根據(jù)圖4.26所示車輪的受力圖，應(yīng)用動(dòng)靜法可寫出車輪的運(yùn)動(dòng)微分方程為而非線性項(xiàng)可忽略不計(jì)，J0為車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則式(g)可寫為對(duì)梁而言，其振動(dòng)微分方程為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》161連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)則本系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程共有4個(gè)：式(4.81)、式(4.82)、式(4.83)、式(4.84)。對(duì)上述方程組將從兩個(gè)方面來(lái)考慮，一方面考慮車輪為靜止時(shí)，即車輪中心的平均速度v=0的情況，另一方面考慮車輪中心的速度v≠0的情況，在此情況下，把坐標(biāo)進(jìn)行變換，取一運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)在輪心，設(shè)將方程(4.84)的齊次方程改寫為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》162連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)其邊界條件為其中間連續(xù)條件(在接觸點(diǎn)處)為式中(4.83)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后，可寫為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1632023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》163教學(xué)內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/弦、桿的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》163薄版的橫向振動(dòng)矩形板的橫向振動(dòng)矩形板橫向振動(dòng)方程矩形板橫向自由振動(dòng)矩形板橫向強(qiáng)迫園板的橫向振動(dòng)園板的橫向振動(dòng)方程園板的自由振動(dòng)園板的強(qiáng)迫振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》164連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)4.3薄板的振動(dòng)工程結(jié)構(gòu)中，除梁、柱基本構(gòu)件外，還有板構(gòu)件。

薄板是指其厚度要比長(zhǎng)、寬這兩方面的尺寸小得多板（通常長(zhǎng)/厚>10)，在上下表面之間存在著一對(duì)稱平面，稱為中面，且假定：

（1）板材料由各向同性彈性材料組成；

（2）振動(dòng)時(shí)薄板的撓度要比它的厚度要??；（3）自由面上的應(yīng)力為零；

（4）原來(lái)與中面正交的橫截面在變形后始終保持正交，即薄板在變形前中面的法線在變形后仍為中面的法線。2023年2月2日165連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)4.3.1矩形薄板的橫向振動(dòng)

1.振動(dòng)方程為了建立應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間的關(guān)系，取一空間直角坐標(biāo)系Oxyz，坐標(biāo)原點(diǎn)及oxy坐標(biāo)面皆放在板變形前的中面位置上，如圖4.27。設(shè)板上任意一點(diǎn)a的位置，將由變形前的坐標(biāo)x、y、z來(lái)確定。2023年2月2日166連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)由假定（2），板的橫向變形w和面內(nèi)變形u、v相互獨(dú)立。為此，其彎曲變形可由中面上各點(diǎn)的橫向位移w(x,y,t)所決定。根據(jù)假定（3），可認(rèn)為σz處處為零;

根據(jù)假定（4），剪切應(yīng)變分量γxz=γyz=0板內(nèi)任意一點(diǎn)a(x,y,z)沿x,y,z三個(gè)方向的位移分量u,v,w分別為2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》167連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)

應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系為

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》168連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》169連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》1702023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》170連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)整理得

《振動(dòng)力學(xué)》171連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)整理得

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》172連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)整理后，可得將（4.92）、（4.93）代入（4.91）得

因2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》173連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)將（4.90）代入（4.95），積分得

將（4.96）代入（4.94），得薄板振動(dòng)方程

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》174連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)

四階線性非齊次偏微分方程。2.矩形板橫向振動(dòng)自由振動(dòng)矩形板的橫向自由振動(dòng)方程

應(yīng)用分離法，設(shè)解為

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》175連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)將（4.99）代入（4.98）得

式中由邊界條件可求解固有頻率。2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》176連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)令代入（4.100）得

（4.102）可改寫為

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》177連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)討論式（4.103a）中，首先要滿足邊界條件，設(shè)

根據(jù)上兩式，有則-α4=β4，故有

2023年2月2日《振動(dòng)力學(xué)》178連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)將上兩式代