工程力學第12章應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論中國石油大學（北京）應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法應(yīng)力狀態(tài)的概念平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法三向應(yīng)力狀態(tài)位移與應(yīng)變分量之間的--幾何方程

廣義虎克定律復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能2應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論莫爾強度理論及其相當應(yīng)力強度理論的概念四個強度理論及其相當應(yīng)力強度理論的應(yīng)用3一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP4應(yīng)力狀態(tài)的概念4四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

三、單元體：單元體——構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、平行面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。二、一點的應(yīng)力狀態(tài)

過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy5應(yīng)力狀態(tài)的概念5四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

xyzs

xsz

s

ytxy6材料力學剪應(yīng)力正負號定義彈性力學剪應(yīng)力正負號定義應(yīng)力狀態(tài)的概念6xyzs

xsz

s

ytxy五、剪應(yīng)力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個面上的這兩個剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。7應(yīng)力狀態(tài)的概念7tzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx8應(yīng)力狀態(tài)的概念8七、主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbidy)：各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主面(PrincipalPlane)：剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipalStress

）：主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，s1s2s3xyzsxsysz9應(yīng)力狀態(tài)的概念9單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateofStress）：三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz10應(yīng)力狀態(tài)的概念1011應(yīng)力狀態(tài)的概念當鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠小于它的內(nèi)直徑D時（譬如D大于20t），稱之為薄壁圓筒。薄壁容器承受內(nèi)壓力的壓強為p

圓筒部分橫截面上的正應(yīng)力:由圓筒及其受力的對稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合。因此圓筒部分的橫截面上各點處的正應(yīng)力可按軸向拉伸時的公式計算1112應(yīng)力狀態(tài)的概念圓筒部分縱截面上的正應(yīng)力:用相距為l的兩個橫截面和包含直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分1213應(yīng)力狀態(tài)的概念圓筒內(nèi)壁的微分面積壓力為該部分內(nèi)壓力在y方向的投影的代數(shù)和為1314應(yīng)力狀態(tài)的概念在橫截面和縱向截面上都沒有切應(yīng)力作用于內(nèi)壁的內(nèi)壓力p和作用于外壁的大氣壓力1415應(yīng)力狀態(tài)的概念壓力容器內(nèi)壁應(yīng)力？用過球心的平面的球分成兩個半球作用在半球上壓力的合力容器截面的內(nèi)力15sxtxysyxyzxysxtxysyO16平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法16規(guī)定：截面外法線同向為正；

ta繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；

a逆時針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應(yīng)力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖217平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法17圖1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2同理：18平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法18二、極值應(yīng)力19平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法19′′xysxtxysyO20平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法20xysxtxysyO21平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法21xysxtxysyO在剪應(yīng)力相對的項限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

￠

￠）（22平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法22例2分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應(yīng)力txyCtyxMCxyOtxytyx23平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法23破壞分析低碳鋼鑄鐵24平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法24對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：OttoMohr引入）25平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法25建立應(yīng)力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2626sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)

應(yīng)力圓上一點(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。2727四、在應(yīng)力圓上標出極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s328平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法2829平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法2930平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法3031平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法3132平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法323333343435三向應(yīng)力狀態(tài)3536三向應(yīng)力狀態(tài)3637三向應(yīng)力狀態(tài)3738三向應(yīng)力狀態(tài)3839三向應(yīng)力狀態(tài)39s3例3求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應(yīng)力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點4040s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB41三向應(yīng)力狀態(tài)41解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO42三向應(yīng)力狀態(tài)42解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO43三向應(yīng)力狀態(tài)43解法2—解析法：60°xyO44主應(yīng)力力方向三向應(yīng)力狀態(tài)44解法2—解析法：60°xyO45主應(yīng)力力方向三向應(yīng)力狀態(tài)4546幾何方程位移與應(yīng)變分量之間的關(guān)系—幾何方程46一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyz

x

y47廣義虎克定律47三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx48廣義虎克定律48主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:s1s3s249廣義虎克定律49主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?50廣義虎克定律50五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:s1s3s2a1a2a351廣義虎克定律51例7

已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點處的平面應(yīng)力狀態(tài)52廣義虎克定律5253廣義虎克定律5323

1圖a圖

c3

-m

1-m2-mm圖bmm54復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能54稱為形狀改變比能或畸形能。圖

c3

-m

1-m2-m55復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能55例9用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：txyA1356復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能56一、引子：1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP強度理論的概念57二、強度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強度失效（failurebyloststrength）起因”的假說。1、伽利略播下了第一強度理論的種子；三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。2、馬里奧特關(guān)于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應(yīng)力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。強度理論的概念58一、最大拉應(yīng)力（第一強度）理論：認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當最大拉應(yīng)力達到單向拉伸的強度極限時，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。四個強度理論及其相當應(yīng)力59二、最大伸長線應(yīng)變（第二強度）理論：

認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當最大伸長線應(yīng)變達到單向拉伸試驗下的極限應(yīng)變時，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。四個強度理論及其相當應(yīng)力60三、最大剪應(yīng)力（第三強度）理論：認為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當最大剪應(yīng)力達到單向拉伸試驗的極限剪應(yīng)力時，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。2、強度準則：四個強度理論及其相當應(yīng)力61四、形狀改變比能（第四強度）理論：認為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強度準則3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。四個強度理論及其相當應(yīng)力62莫爾認為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。莫爾強度理論及其相當應(yīng)力63[y]saaot[

L]O1O2莫爾理論危險條件的推導2、強度準則：1、破壞判據(jù)：O3

1

3MKLPN莫爾強度理論：任意一點的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。莫爾強度理論及其相當應(yīng)力64三、相當應(yīng)力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當應(yīng)力。3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極限強度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。莫爾強度理論及其相當應(yīng)力65一、強度計算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值。2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面。3、應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險點并畫出單元體，求主應(yīng)力。4、強度分析：選擇適當?shù)膹姸壤碚?，計算相當?yīng)力，然后進行強度計算。強度理論的應(yīng)用66二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；3、簡單變形時：一律用與其對應(yīng)的強度準則。如扭轉(zhuǎn)，都用：2、塑性材料：當最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！當最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時，使用莫爾理論。當最大主應(yīng)力小于等于零時，使用第三或第四理論。其它應(yīng)力狀態(tài)時，使用第三或第四理論。強度理論的應(yīng)用67解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例1

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構(gòu)件，[]=40MPa,試用第一強度理論校核桿的強度。故，安全。PPTTAAst強度理論的應(yīng)用68例2薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時,測得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，試用第三強度理論校核其強度。解：由廣義虎克定律得:AsxsyxyA所以，此容器不滿足第三強度理論。不安全。強度理論的應(yīng)用69作業(yè)劉鴻文材料力學第四版P253習題7-14;7-19;7-29;7-36;7-37應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論70711.二向應(yīng)狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力

2.二向應(yīng)狀態(tài)下主應(yīng)力及其主方向3.二向應(yīng)狀態(tài)下最大剪應(yīng)力、最小剪應(yīng)力及其作用面方應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論71724廣義虎克定律5平面狀態(tài)下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論72736.位移與應(yīng)變分量之間的關(guān)系—幾何方程7.三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能應(yīng)變能密度體積改變能密度畸變能密度應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論73747.強度理論第一強度理論(最大拉應(yīng)力強度理論)

第二強度理論(最大伸長線應(yīng)變理論)第三強度理論(最大剪應(yīng)力強度理論)第四強度理論(形狀改變比能理論)莫爾強度理論莫爾應(yīng)力圓應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論74757.7鍋爐直徑D＝1m,壁厚10mm，蒸汽壓力，求內(nèi)壁主應(yīng)力，及最大切應(yīng)力，斜面ab上的正應(yīng)力剪應(yīng)力。解：這是典型的二向應(yīng)力狀態(tài)問題，環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力分別是主應(yīng)力徑向應(yīng)力下面求斜面ab上的正應(yīng)力剪應(yīng)力，已知75767.8已知矩形截面梁上給定截面的彎矩及剪力分別為，，給出截面上1、2、3、4各點的應(yīng)力狀態(tài)，并求這四點的主應(yīng)力解：橫截面對z軸的慣性矩下面求各點的應(yīng)力狀態(tài)和主應(yīng)力1點的應(yīng)力分量1點處于單向應(yīng)力狀態(tài)76772點的應(yīng)力分量2點處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)77783點的應(yīng)力分量按照主應(yīng)力符號規(guī)定78794點的應(yīng)力分量4點處于單向應(yīng)力狀態(tài)79807.10薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)－拉伸試驗示意圖如圖所示，已知，

求A點在指定截面上的應(yīng)力以及主應(yīng)力大小和方向解：A點指定橫截面上的應(yīng)力因為是薄壁圓筒，可以使用下面近似公式8081A點指定斜截面上的應(yīng)力A點的主應(yīng)力大小A點的主應(yīng)力方向81827.14在通過一點的兩個平面上，應(yīng)力如圖所示，單位為MPa，求主應(yīng)力數(shù)值及主平面位置解：建立如下坐標系8283主應(yīng)力公式主應(yīng)力力方向單元體草圖83847.19a求下圖所示的應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力解:本題屬于三向應(yīng)力狀態(tài),但是一個方向只有主應(yīng)力,即已經(jīng)是主應(yīng)力面,已經(jīng)知道一個主應(yīng)力為,原來問題簡化為二向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力:最大切應(yīng)力84857.19b求下圖所示的應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力解:本題屬于三向應(yīng)力狀態(tài),但是一個方向只有主應(yīng)力,即已經(jīng)是主應(yīng)力面,已經(jīng)知道一個主應(yīng)力為,原來問題簡化為二向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力:最大切應(yīng)力85867.19c求下圖所示的應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力解:本題屬于三向應(yīng)力狀態(tài),但是一個方向只有主應(yīng)力,即已經(jīng)是主應(yīng)力面,已經(jīng)知道一個主應(yīng)力為,原來問題簡化為二向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力最大切應(yīng)力86877.25列車通過鋼橋時，在鋼橋橫梁的A點用變形儀測量得：試求A點在x-x,y-y方向的正應(yīng)力，設(shè)，問這樣能否求出A點主應(yīng)力