(掌握一元二次不等式的解法)6.2一元二次不等式１．一元二次不等式的解法判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}??R{x|x∈R且x≠} 提示：利用分解因式的方法求解不等式時，要注意各因式中未知數(shù)的系數(shù)是否為正，再結(jié)合不等號的方向?qū)懗鼋饧谠E是“大于取兩邊，小于取中間”．2．簡單分式不等式的解法： 提示：分式不等式的一側(cè)不為0時，要進行移項、通分、整理，進而轉(zhuǎn)化為整式不等式．1．(2009·北京卷)設(shè)集合A＝，B＝{x|x2≤1}，則A∪B＝() A．{x|－1≤x<2} B. C．{x|x<2} D．{x|1≤x<2} 解析：B＝{x|－1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|－1≤x<2}． 答案：A2．不等式x2>x的解集是() A．(－∞，0) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：x2－x>0，解得x<0或x>1. 答案：D3．在R上定義運算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1 對任意實數(shù)x成立，則() A．－1＜a＜1B．0＜a＜2 解析：(x－a)(x＋a)＜1對任意實數(shù)x成立， 即(x－a)(1－x－a)＜1對任意實數(shù)x成立．∴x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立．

∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0， 答案：C4．不等式的解集是________． 解析：原不等式等價于 答案：{x|x<－2}1.解一元二次不等式的方法及注意事項： (1)化二次項系數(shù)為正值，同時注意判別式與因式分解的靈活運用． (2)與二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，注意解集的端點是否在區(qū)間內(nèi)． (3)特別注意解集為R和?兩種特殊情況．2．分式不等式可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(或不等式組)進行求解．【例1】解下列不等式： 解答：(1)原不等式可化為 即2x2－3x＋1≤0.即(2x－1)(x－1)≤0. 所以原不等式的解集為 (2)原不等式等價于 因此原不等式的解集為此類問題是解不等式的逆向思維問題，要在熟練掌握不等式解法的基礎(chǔ)上進行求解．【例2】(1)關(guān)于x的不等式＜1的解集為{x|x＜1或x＞2}， 則實數(shù)a＝________. (2)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，則不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是________． 解析：(1)原不等式可化為

∵解集為{x|x＜1或x＞2}，∴a－1＜0且

(2)由已知條件知a＜0，且

即不等式cx2＋bx＋a＜0即x2＋x－6＜0，其解集為(－3,2)．

變式2.若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，則a的范圍是________． 解析：∵(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，∴ 由①得a＞－2，由②得a≤－3或a≥2. 答案：[2，＋∞)解含參數(shù)的一元二次不等式可按如下步驟進行：(1)二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0、小于0、還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程的根B的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式．【例3】解下列關(guān)于x的不等式： (1)x2－(a＋a2)x＋a3>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 解答：(1)將不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0變形為(x－a)(x－a2)>0. 當(dāng)a<0時，有a<a2，解集為{x|x<a或x>a2}； 當(dāng)0<a<1時，有a>a2，解集為{x|x<a2或x>a}； 當(dāng)a>1時，有a<a2，解集為{x|x<a或x>a2}； 當(dāng)a＝0時，解集為{x|x∈R，且x≠0}； 當(dāng)a＝1時，解集為{x|x∈R，且x≠1}．(2)若a＝0，原不等式?－x＋1<0?x>1.若a<0，原不等式?(x－1)>0?x<或x>1.若a>0，原不等式?(x－1)<0.(*)其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故①當(dāng)a＝1時，(*)式?x∈?；②當(dāng)a>1時，(*)式?<x<1；③當(dāng)0<a<1時，(*)式?1<x<.綜上所述，當(dāng)a<0時，解集為；當(dāng)a＝0時，解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時，解集為當(dāng)a＝1時，解集為?；當(dāng)a>1時，解集為變式3.已知不等式＞0(a∈R)． (1)解這個關(guān)于x的不等式； (2)若x＝－a時不等式成立，求a的取值范圍． 解答：(1)原不等式等價于(ax－1)(x＋1)＞0. ①當(dāng)a＝0時，由－(x＋1)＞0，得x＜－1； ②當(dāng)a＞0時，不等式化為(x＋1)＞0， 解得x＜－1或x＞；綜上所述，a＜－1時，解集為a＝－1時，原不等式無解；－1＜a＜0時，解集為a＝0時，解集為{x|x＜－1}；a＞0時，解集為(2)∵x＝－a時不等式成立，∴＞0，即－a＋1＜0，∴a＞1，即a的取值范圍為a＞1.1．一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，解任何一方面的問題，都可以借助其他方面加深對問題的理解并解決．2．解一元二次不等式，可借助其對應(yīng)的二次函數(shù)，用函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解決不等式問題．3．在含有參數(shù)的不等式中，由于參數(shù)取值的不同，從而導(dǎo)致解集的不確定，所以需要對參數(shù)進行分類討論.

【方法規(guī)律】(2009·天津)(本題滿分4分)若關(guān)于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整數(shù)恰有3個，則實數(shù)a的取值范圍是________.【考卷實錄】1.二次三項式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)等構(gòu)成的“二次”板塊是高考考查的熱點內(nèi)容．本題解決不等式的解集中恰有3個整數(shù)立意非常新穎，在考卷實錄中雖然提供了本題的一種正確解法，但過于依賴運算，確有“小題大作”之嫌．2．本題主要考查一元二次不等式的有關(guān)知識，在考卷實錄中提供的解法是根據(jù)一元二次方程的判別式和求根公式進行求解，要根據(jù)已知各件判斷出兩根的具體范圍，還要解無理不等式．【分析點評】3．而利用數(shù)形結(jié)