第三章數(shù)列數(shù)列的概念第講11考點搜索●數(shù)列的概念●數(shù)列通項公式的求解方法●用函數(shù)的觀點理解數(shù)列高考猜想以遞推數(shù)列、新情境下的數(shù)列為載體，重點考查數(shù)列的通項及性質，是近年來高考的熱點，也是考題難點之所在.2一、數(shù)列的定義1.按①

排成的一列數(shù)叫做數(shù)列，其一般形式為a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其特殊性表現(xiàn)在它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集，因此它的圖象是②

.一定順序一群孤立的點3二、數(shù)列的通項公式一個數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關系，如果可以用一個公式an=f(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.4三、數(shù)列的分類1.按照項數(shù)是有限還是無限來分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.2.按照項與項之間的大小關系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.3.按照任何一項的絕對值是否都不大于某一正數(shù)來分：有界數(shù)列、無界數(shù)列.5四、數(shù)列前n項和Sn與an的關系：1.Sn=③

(用an表示).2.an=④

(用Sn表示).Sn(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)a1+a2+a3+…+an61.已知數(shù)列{an}、{bn}的通項公式分別是：an=an+2,bn=bn+1(a,b是常數(shù))，且a>b.那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項的個數(shù)是()A.0個B.1個C.2個D.無窮多個an=bnan+2=bn+1(a-b)n=-1.由于a>b，n∈N*.所以(a-b)n=-1無解.故選A.A72.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，則a5等于()A.B.C.4D.5a1=1，a2=3，an=an-1+(n≥3)A83.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5<ak<8，則k等于()A.9B.8C.7D.69因為數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n,所以，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-10;當n=1時，a1=S1=-8,滿足上式，故an=2n-10(n∈N*).故選B.10題型1：根據(jù)據(jù)數(shù)列前前幾項寫寫出數(shù)列列的一個個通項公公式1.寫出數(shù)列列的一個個通項公公式，使使它的前前4項分別是是下列各各數(shù)：(1)，-，，，-；(2)0,1,0,1；(3)-，-(-)，-，-(-)．11分析：已知數(shù)數(shù)列的有有限幾項項，寫其其通項公公式，常常用的方方法有：：(1)觀察法，，即觀察察an與n之間的關關系，用用歸納法法寫出一一個通項項公式，，體現(xiàn)了了由特殊殊到一般般的思維維規(guī)律．．熟記一一些基本本數(shù)列的的通項公公式，如如{n}，{2n-1}，{n2}，{}，{2n}，…，有助于于歸納；；(2)探尋前后后兩項之之間的關關系．這這類問題題求解的的關鍵在在于尋求求an與n的對應關關系，即即an=f(n)．12點評：根據(jù)有限限的幾項項，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)數(shù)列的的變化規(guī)規(guī)律，然然后歸納納成項an與n的函數(shù)關關系式．．但這只只是不完完全歸納納，其結結論可能能不準確確．13寫出下面面各數(shù)列列的一個個通項公公式：14(1)各項減去去1后為正偶偶數(shù)，所所以an=2n+1.(2)每一項的的分子比比分母少少1，而分母母組成數(shù)數(shù)列21,22,23,24，…，所以an=.15(3)奇數(shù)項為為負，偶偶數(shù)項為為正，故故通項公公式含因因子(-1)n；各項絕絕對值的的分母組組成數(shù)列列1,2,3,4，…；而各項項絕對值值的分子子組成的的數(shù)列中中，奇數(shù)數(shù)項為1，偶數(shù)項項為3，即奇數(shù)數(shù)項為2-1，偶數(shù)項項為2+1，所以an=(-1)n.也可寫為為16(4)偶數(shù)項為為負而奇奇數(shù)項為為正，故故通項公公式必含含因子(-1)n+1；觀察各各項絕對對值組成成的數(shù)列列，從第第3項到第6項可見，，分母分分別由奇奇數(shù)7,9,11,13組成，而而分子則則是32+1,42+1,52+1,62+1，按照這這樣的規(guī)規(guī)律第1、2兩項可改改寫為，，-，所以an=(-1)n+1.(5)將數(shù)列各各項改寫寫為，，，，，，,….分母都是是3，而分子子分別是是10-1,102-1,103-1,104-1，…，所以an=(10n-1)．17題型2：運用an與Sn的關系解解題2.(原創(chuàng))設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，分別在在下列條條件下求求數(shù)列{an}的通項公公式.(1)an+Sn=2；(2)18(1)當n=1時，a1+a1=2，解得a1=1.當n≥2時，由an+Sn=2，得an-1+Sn-1=2.此兩式相相減得2an-an-1=0，即所以{an}是首項為為1，公比為的的等比比數(shù)列，，即由于n=1時，也符符合上式式，所以數(shù)列列{an}的通項公公式是(n∈N*).19(2)當n≥2時，an=Sn-Sn-1，所以Sn-Sn-1=Sn·Sn-1，所以所以數(shù)列列為為等差差數(shù)列.所以，所以20當n≥2時，an=Sn-Sn-1所以an=(n∈N*，且n≥2).21【點評】：由數(shù)列的的前n項和Sn得an的關系是是：an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n∈N*，且n≥2).一般分n=1與n≥2進行討論論，如果果n=1時的通項項公式也也符合n≥2的式子，，則可以以合并成成一個通通項公式式，如果果不能合合并，則則按分段段形式寫寫結論.22設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，分別在在下列條條件下求求數(shù)列{an}的通項公公式.(1)Sn=3n-2;(2)Sn=n2+2n.(1)當n=1時，a1=S1=1;當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1.23由于a1=1不適合上上式，因因此數(shù)列列{an}的通項項公式式為an=1(n=1)2·3n-1(n∈N*，且n≥2).(2)當n=1時，a1=S1=3;當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.因為a1=3滿足上上式，，所以以數(shù)列列{an}的通項項公式式為an=2n+1(n∈N*).24題型3：由遞遞推關關系式式求通通項公公式3.設數(shù)列列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N*，求數(shù)數(shù)列{an}的通項項公式式.依題意意得a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，①a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2)，②25由①-②得所以驗證n=1時也滿滿足上上式，，故數(shù)列列{an}的通項項公式式為(n∈N*).26【點評】：數(shù)列是是特殊殊的函函數(shù)，，數(shù)列列的遞遞推關關系式式反映映的就就是函函數(shù)的的一個個對應應關系系.如果已已知的的是n=k時的命命題，，則n=k-1(k≥2)時的命命題，，或n=1時的命命題的的相應應形式式我們們應該該能準準確的的寫出出來，，然后后由這這些式式子經(jīng)經(jīng)過加加減等等運算算得到到我們們所需需要的的遞推推關系系式或或通項項公式式.27數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=n2·an，則數(shù)數(shù)列{an}的通項項公式式an=.設數(shù)列列{an}的前n項和為為Sn，則Sn=n2·an.所以當當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，28所以所以291.根據(jù)數(shù)數(shù)列的的前面面幾項項，寫寫出它它的一一個通通項公公式，，關鍵鍵在于于找出出這些些項(a1，a2，a3，…)與項數(shù)數(shù)(1，2，3，…)之間的的關系系，常常用方方法有有觀察察法、、逐項項法、、轉化化為特特殊數(shù)數(shù)列法法等.2.利用Sn與an的關系系求通通項是是一個個重要要內(nèi)容容，應應注意意Sn與an間關系系的靈靈活運運用，，同時時要注注意a1并不一一定能能統(tǒng)一一到an中去.303.已知數(shù)數(shù)列的的遞推推關系系式求求數(shù)列列