第七章直線和圓的方程17.4圓的方程考點搜索●圓的標準方程，一般方程和參數(shù)方程，及其相互轉(zhuǎn)化●由圓的方程確定圓的位置和大小高考猜想1.在相關(guān)條件下求圓的方程.2.解與圓有關(guān)的求值問題和定值問題.3.以圓為背景求變量的取值范圍或最值.2

1.平面內(nèi)與定點的距離①___________的點的軌跡是圓.2.以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是②_____________________.3.圓的一般式方程是③_________________;其中D2+E2-4F④_____;圓心的坐標是⑤_______;圓的半徑為⑥____________.等于定長(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0＞03

4.以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是⑦___________(θ為參數(shù)).

盤點指南：①等于定長；②(x-a)2+(y-b)2=r2;③x2+y2+Dx+Ey+F=0;④＞0;⑤;⑥;⑦4C5

2.點P(5a+1，12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()解：點P在圓(x-1)2+y2=1內(nèi)部(5a+1-1)2+(12a)2＜1|a|＜.D671.已知一個圓的圓心為A(2，1)，且與圓x2+y2-3x=0相交于P1、P2兩點.若點A到直線P1P2的距離為5，求這個圓的方程.

解法1：設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2，即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.題型1求圓的方程第一課時8所以直線P1P2的方程為x+2y-5+r2=0.由已知得所以r2=6.故所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=6.

解法2：已知圓的圓心為點B(，0)，半徑為，所以|AB|=.連結(jié)AB延長交P1P2于C,則AC⊥P1P2.9所以|AC|=，從而|BC|=又|P1B|=，所以在Rt△P1CA中,|P1A|2=|P1C|2+|AC|2=6，故所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=6.

點評：求圓的方程一般是利用待定系數(shù)法求解，即設(shè)圓的方程的標準式(或一般式).如本題圓心坐標已知，則先設(shè)圓的標準式，然后求得半徑r即可.10根據(jù)下下列條條件，，求圓圓的方方程.(1)經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點，，并且且圓心心在直直線3x+10y+9=0上；(2)經(jīng)過P(-2，4)，Q(3，-1)兩點，，并且且在x軸上截截得的的弦長長為6.解:(1)由題意意AB的中垂垂線方方程為為3x+2y-15=0.由解解得得所以圓圓心為為C(7，-3)，半徑徑r=CA=,故所求求圓的的方程程為(x-7)2+(y+3)2=65.11(2)設(shè)圓的的一般般方程程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.①將P、Q兩點坐坐標代代入得得②.令y=0,得x2+Dx+F=0.由弦長長|x1-x2|=6,得D2-4F=36.③③解①②②③可可得D=-2，E=-4，F(xiàn)=-8或D=-6，E=-8，F(xiàn)=0,故所求求圓的的方程程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.122.已知知圓圓x2+y2+x-6y+m=0和直直線線x+2y-3=0交于于P，Q兩點點，，且且OP⊥OQ(O為坐坐標標原原點點)，求求該該圓圓的的圓圓心心坐坐標標及及半半徑徑.解法法1:將x=3-2y,代入入方方程程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1、y2滿足足條條件件：：y1+y2=4,y1y2=因為為OP⊥OQ,所以以x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2，所以以x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.題型型2與圓圓有有關(guān)關(guān)的的求求值值問問題題13所以以9-6(y1+y2)+5y1y2=0，即9-6××4+12+m=0,所以以m=3,此時時Δ＞0,圓心心坐坐標標為為(-,3),半徑為.解法2：如圖所示示，設(shè)弦PQ中點為M，因為O1M⊥PQ，所以kO1M=2.所以O(shè)1M的方程為為y-3=2(x+),即y=2x+4.14由方程組組解解得得M的坐標為為(-1，2).則以PQ為直徑的的圓可設(shè)設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2.因為OP⊥OQ,所以點O在以PQ為直徑的的圓上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.所以所以m=3,所以半徑徑為,圓心為(-,3).15點評：求參數(shù)的的值的問問題，就就是轉(zhuǎn)化化題中條條件得到到參數(shù)的的方程(組)，然后解解方程(組)即可.注意有時時還需對對方程的的解進行行檢驗.16已知曲線線C1：(t為參數(shù)),C2：(θ為參數(shù)).(1)化C1，C2的方程為為普通方方程，并并說明它它們分別別表示什什么曲線線；(2)若C1上的點P對應(yīng)的參參數(shù)為t=，Q為C2上的動點點，求PQ中點M到直線C3:(t為參數(shù))距離的最最小值.解：(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:17C1是圓心為為(-4,3)，半徑為為1的圓.C2是中心在在坐標原原點，焦焦點在x軸上，長長半軸長長為8，短半軸軸長為3的橢圓.(2)當t=時，P(-4,4)、Q(8cosθ,3sinθ),所以M(-2+4cosθ,2+sinθ).C3為直線x-2y-7=0,所以M到C3的距離離d=|4cosθ-3sinθ-13|.從而當當cosθ=,sinθ=-時，d取得最最小值值.181.由標準準方程程和一一般方方程看看出圓圓的方方程都都含有有三個個參變變數(shù)，，因此此必須須具備備三個個獨立立條件件，才才能確確定一一個圓圓.求圓的的方程程時，，若能能根據(jù)據(jù)已知知條件件找出出圓心心和半半徑，，則可可用直直接法法寫出出圓的的標準準方程程，否否則可可用待待定系系數(shù)法法求解解.