4.3.1對(duì)數(shù)的概念

對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發(fā)明了供天文計(jì)算作參考的對(duì)數(shù)，并于1614年在愛(ài)丁堡出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書》，公布了他的發(fā)明。恩格斯把對(duì)數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就。1.了解對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念.2.會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.3.掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式.4.會(huì)求簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值.學(xué)習(xí)目標(biāo)

22=4

25=32

2x=26X=引入對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).x＝logaN一、對(duì)數(shù)的概念ab=N?logaN=b底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)冪底數(shù)真數(shù)注意：(1)對(duì)數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來(lái)，而底數(shù)a、指數(shù)或?qū)?shù)x、冪或真數(shù)N的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換；(2)logaN的讀法：以a為底N的對(duì)數(shù).（3）在對(duì)數(shù)式中N>0（負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)）一、對(duì)數(shù)的概念例1

若對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)解析：要使對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，解得t>2，且t≠3.所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞).題型一：對(duì)數(shù)概念的理解2<x<4且x≠3

題型二：指數(shù)式對(duì)數(shù)式互化例2.若logx＝z，則x，y，z之間滿足A.y7＝xz

B.y＝x7zC.y＝7xz

D.y＝z7x∴y＝(xz)7＝x7z.題型二：指數(shù)式對(duì)數(shù)式互化[歸納提升]

1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法技巧(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式．(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．2．互化時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時(shí)，要注意字母的位置改變．(2)對(duì)數(shù)式的書寫要規(guī)范：底數(shù)a要寫在符號(hào)“l(fā)og”的右下角，真數(shù)正常表示．方法總結(jié)：例1：已知logx16＝2，則x等于A.4 B.±4 C.256 D.2題型三：求值解析由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，又x>0，且x≠1，∴x＝4.例2：已知

＝x，則x等于A.－8 B.8 C.4 D.－4解析由題意得()x＝81，即

＝34，則x＝8.(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN；(2)以無(wú)理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN.二、兩類特殊函數(shù)(1)loga1＝

(a>0，且a≠1).(2)logaa＝

(a>0，且a≠1).(3)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).(4)對(duì)數(shù)恒等式

；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0).三、對(duì)數(shù)的性質(zhì)01題型三：對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用

例1：

求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1; (4)lg(lnx)＝0.[解析]

(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10.(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.變式：求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；解：（1）由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)log2[log3(log2x)]＝1.（2）由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2，∴l(xiāng)og2x＝9，∴x＝29.題型三：對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用題型三：對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用例3：若a＝log23，則2a＋2－a＝____.解析∵a＝log23，∴2a＝

＝3，題型三：對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用例4：化簡(jiǎn)

－lg0.01＋lne3等于A.14 B.0 C.1 D.6例5：若

＝0，試確定x，y，z的大小關(guān)系.題型三：對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用解由

＝0，得

＝1，log3y＝

，y＝

＝由

＝0，得

＝1，log2x＝

，x＝

＝由

＝0，得

＝1，log5z＝

，z＝

，∵310>215>56，

∴y>x>z.

利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值的