6.2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】理解直線上向量的坐標(biāo)的含義及其運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】理解直線上向量的坐標(biāo)的含義【教學(xué)難點(diǎn)】理解直線上向量的坐標(biāo)的含義【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】新知初探1．直線上向量的坐標(biāo)給定一條直線l以及這條直線上一個(gè)單位向量e，由共線向量基本定理可知，對(duì)于直線l上的任意一個(gè)向量a，一定存在唯一的實(shí)數(shù)x，使得a＝xe，此時(shí)，x稱為向量a的坐標(biāo)．當(dāng)x>0時(shí)，a的方向與e的方向相同；當(dāng)x＝0時(shí)，a是零向量；當(dāng)x<0時(shí)，a的方向與e的方向相反．也就是說(shuō)，在直線上給定了單位向量之后，直線上的向量完全被其坐標(biāo)確定．思考：向量a的坐標(biāo)x能刻畫它的模與方向嗎?提示:能.(1)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.(2)當(dāng)x>0時(shí),a的方向與e的方向相同;當(dāng)x=0時(shí),a是零向量;當(dāng)x<0時(shí),a的方向與e的方向相反.2．直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系假設(shè)直線上兩個(gè)向量a，b的坐標(biāo)分別為x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e，則a＝b?x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．如果u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么ua＋vb的坐標(biāo)為ux1＋vx2，ua－vb的坐標(biāo)為ux1－vx2．設(shè)A(x1)，B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝x1e，eq\o(OB,\s\up6(→))＝x2e，因此，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2－x1|．思考2:向量在平移前后，其坐標(biāo)是否改變？提示:不變..小試牛刀1.數(shù)軸上兩點(diǎn)，A的坐標(biāo)為1，B的坐標(biāo)為－2，eq\o(AB,\s\up12(→))的坐標(biāo)為()A．3B．(3,0)C．－3D．(－3,0)解析：A的坐標(biāo)為1，B的坐標(biāo)為－2，則eq\o(AB,\s\up12(→))的坐標(biāo)為－3.答案：C2.已知直線上向量a的坐標(biāo)為3,則b=-2a的坐標(biāo)為()A.-2B.2C.6D.-6解析：-2a的坐標(biāo)為-2×3=-6.答案：D3.若e是直線l上的一個(gè)單位向量,向量a=e是這條直線上的向量,則向量a的坐標(biāo)為 解析：由直線上向量的坐標(biāo)的定義知,向量a的坐標(biāo)為.答案：4.如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－4,2，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則向量eq\o(AC,\s\up16(→))的坐標(biāo)為______．解析：由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－4,2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\f(－4＋2,2)＝－1，故eq\o(AC,\s\up16(→))的坐標(biāo)為－1－(－4)＝3.答案：3例題講授直線上向量的坐標(biāo)例1已知直線上向量a的坐標(biāo)為,b的坐標(biāo)為5：求下列向量的坐標(biāo)：⑴a+b；⑵；⑶.解：⑴a+b的坐標(biāo)為；⑵的坐標(biāo)為；⑶的坐標(biāo)為方法總結(jié)直線上向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于初中數(shù)學(xué)上的代入求值問(wèn)題,解題時(shí)要特別注意符號(hào),以防出錯(cuò).當(dāng)堂練習(xí)1直線上向量a的坐標(biāo)為5，b的坐標(biāo)為－eq\f(1,3)，求下列向量的坐標(biāo)：(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b．解(1)－3b的坐標(biāo)為(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝1.(2)a－b的坐標(biāo)為5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(16,3).(3)2a＋3b的坐標(biāo)為2×5＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝9.(4)－a－6b的坐標(biāo)為－5－6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－3.例2設(shè)數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為3，－7，求：(1)向量eq\o(AB,\s\up12(→))的坐標(biāo)，以及A與B的距離；(2)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】(1)由題意得eq\o(OA,\s\up12(→))的坐標(biāo)為3，eq\o(OB,\s\up12(→))的坐標(biāo)為－7，又因?yàn)閑q\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))的坐標(biāo)為－7－3＝－10，而且AB＝|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|－10|＝10.(2)設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為x，則x＝eq\f(3＋－7,2)＝－2.方法總結(jié)數(shù)軸上A點(diǎn)坐標(biāo)x1，B點(diǎn)坐標(biāo)x2(1)則eq\o(AB,\s\up12(→))坐標(biāo)x2－x1，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|x2－x1|(2)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)eq\f(x1＋x2,2)當(dāng)堂練習(xí)2⑴已知數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N，且|eq\o(MN,\s\up16(→))|＝4，若xM＝－3，則xN等于()A．1 B．2C．－7 D．1或－7解析|eq\o(MN,\s\up16(→))|＝|xN－(－3)|＝4，∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.答案D⑵如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－4,2，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則向量eq\o(AC,\s\up16(→))的坐標(biāo)為________．解析由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為－4,2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\f(－4＋2,2)＝－1，故eq\o(AC,\s\up16(→))的坐標(biāo)為－1－(－4)＝3.答案3課堂小結(jié)1.直線上向量的坐標(biāo)給定一條直線l及這條直線上一個(gè)單位向量e,對(duì)于這條直線上的任意一個(gè)向量a,一定存在唯一的實(shí)數(shù)x,使得a=xe,此時(shí)x稱為向量a