§2.9函數(shù)與方程

考向瞭望?把脈高考§2.9函數(shù)與方程考向瞭望?把脈高考考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)y＝f(x)的圖像與__________________稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與_______有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有_______橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)橫軸零點(diǎn)．思考感悟1．函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)嗎？2．是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)？提示：1.函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說(shuō)函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)．2．并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)，只有f(x)＝0有根的函數(shù)y＝f(x)才有零點(diǎn)．2．利用函數(shù)性質(zhì)判定函數(shù)零點(diǎn)若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是__________，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)______，即__________，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解．3．二分法(1)每次取區(qū)間的_______，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中_____________的方法稱(chēng)為二分法．連續(xù)曲線(xiàn)相反f(a)f(b)<0中點(diǎn)一個(gè)小區(qū)間課前熱身答案：C2．(教材習(xí)題改編)下列四個(gè)函數(shù)圖像中，方程fi(x)＝0(i＝1,2,3,4)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)有解的是________．答案：B答案：C4．若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)為2，則g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是________5．若函數(shù)f(x)＝ax2－x＋a沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷可從以下幾個(gè)方面入手考慮：(1)結(jié)合函數(shù)圖像；(2)根據(jù)零點(diǎn)存在定理求某些點(diǎn)的函數(shù)值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否唯一等．例1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)零零點(diǎn)的概念念或借助圖圖像判斷．．【答案】C【規(guī)律小結(jié)】(1)函數(shù)的零點(diǎn)點(diǎn)是一個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)，當(dāng)自自變量取該該值時(shí)，其其函數(shù)值等等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零零點(diǎn)定義可可知，函數(shù)數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是是f(x)＝0的根，因此此判斷一個(gè)個(gè)函數(shù)是否否有零點(diǎn)，，有幾個(gè)零零點(diǎn)，就是是判斷方程程f(x)＝0是否有實(shí)根根，有幾個(gè)個(gè)實(shí)根．(3)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是是方程f(x解：顯然當(dāng)當(dāng)x≤0時(shí)，2x＞x即y＝2x－考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間要正確理解和和運(yùn)用函數(shù)零零點(diǎn)的性質(zhì)在在函數(shù)零點(diǎn)所所在區(qū)間的判判斷中的應(yīng)用用，若f(x)圖像在[a，b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，則f(x)在(a，b)上必有零點(diǎn)，，若f(a)f(b)＞0，則f(x)在(a，b)上不一定沒(méi)有有零點(diǎn)．(2010年高考天津卷卷)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的的一個(gè)區(qū)間是是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．例2【解析】由于f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0.根據(jù)函數(shù)的零零點(diǎn)存在性定定理，知函數(shù)數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間間(0,1)內(nèi)．【答案】C【失誤點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)題目易出出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤誤而導(dǎo)致函數(shù)數(shù)值與零的大大小判斷錯(cuò)誤誤的解題錯(cuò)誤誤．考點(diǎn)三用二分法求方程的近似解用二分法求函函數(shù)零點(diǎn)的近近似值，首先先要選好計(jì)算算的初始區(qū)間間，這個(gè)區(qū)間間既要符合條條件，又要使使其長(zhǎng)度盡量量小，其次要要依據(jù)條件給給定的精確度度及時(shí)檢驗(yàn)計(jì)計(jì)算所得到的的區(qū)間是否滿(mǎn)滿(mǎn)足這一精確確度，以決定定是停止計(jì)算算還是繼續(xù)計(jì)計(jì)算．求方程x3＋2x2－3x－6＝0的一個(gè)為正數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)根(精確到0.1)．【思路點(diǎn)撥】令f(x)＝x3＋2例3【解】令f(x)＝x3＋2x2－3x－6.由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取區(qū)間[1,2]作為計(jì)算的初初始區(qū)間．用二分法逐次次計(jì)算，列表表如下：計(jì)算次數(shù)左端點(diǎn)右端點(diǎn)11221.5231.51.7541.6251.7551.68751.7561.718751.7571.718751.734375由上表可知，，區(qū)間[1.71875,1.734375]中的的每每一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)精精確確到到0.1的近近似似值值都都等等于于1.7，所所以以1.7就是是函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)誤誤差差不不超超過(guò)過(guò)0.1的正正數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)．．【規(guī)律律小小結(jié)結(jié)】在二二分分法法求求方方程程解解的的步步驟驟中中，，初初始始區(qū)區(qū)間間的的選選定定，，往往往往需需要要通通過(guò)過(guò)分分析析函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)和和試試驗(yàn)驗(yàn)估估計(jì)計(jì)，，初初始始區(qū)區(qū)間間可可以以選選的的不不同同，，不不影影響響最最終終計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果．．方法感悟方法法技技巧巧1．方方程程的的根根或或函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)的的存存在在性性問(wèn)問(wèn)題題，，可可以以根根據(jù)據(jù)區(qū)區(qū)間間端端點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)值值的的正正負(fù)負(fù)來(lái)來(lái)確確定定，，但但要要確確定定零零點(diǎn)點(diǎn)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)還還需需進(jìn)進(jìn)一一步步研研究究函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的單單調(diào)調(diào)性性，，在在給給定定的的區(qū)區(qū)間間上上，，如如果果函函數(shù)數(shù)是是單單調(diào)調(diào)的的，，它它至至多多有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，，如如果果不不是是單單調(diào)調(diào)的的，，可可繼繼續(xù)續(xù)細(xì)細(xì)分分出出小小的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間，，再再結(jié)結(jié)合合這這些些小小的的區(qū)區(qū)間間的的端端點(diǎn)點(diǎn)處處函函數(shù)數(shù)值值的的正正負(fù)負(fù)，，作作出出正正確確判判斷斷．．(如例例1)2．如如果果函函數(shù)數(shù)通通過(guò)過(guò)零零點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào)發(fā)發(fā)生生改改變變，，稱(chēng)稱(chēng)這這樣樣的的零零點(diǎn)點(diǎn)為為變變號(hào)號(hào)零零點(diǎn)點(diǎn)；；若若函函數(shù)數(shù)通通過(guò)過(guò)零零點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)不不變變號(hào)號(hào)，，稱(chēng)稱(chēng)之之為為不不變變號(hào)號(hào)零零點(diǎn)點(diǎn)．．不不變變號(hào)號(hào)零零點(diǎn)點(diǎn)不不能能用用零零點(diǎn)點(diǎn)存存在在定定理理來(lái)來(lái)判判斷斷，，只只能能借借助助函函數(shù)數(shù)圖圖像像或或解解方方程程得得到到．．(如例2)3．二分法法是求方方程的根根的近似似值的一一種計(jì)算算方法．．其實(shí)質(zhì)質(zhì)是通過(guò)過(guò)不斷地地“取中點(diǎn)”來(lái)逐步縮縮小零點(diǎn)點(diǎn)所在的的范圍，，當(dāng)達(dá)到到一定的的精確度度要求時(shí)時(shí)，所得得區(qū)間的的任一點(diǎn)點(diǎn)就是這這個(gè)函數(shù)數(shù)零點(diǎn)的的近似值值．(如例3)失誤防范范1．對(duì)于函函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，我們把把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)數(shù)的零點(diǎn)點(diǎn)，注意意以下幾幾點(diǎn)：(1)函數(shù)的零零點(diǎn)是一一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)，當(dāng)函函數(shù)的自自變量取取這個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)時(shí)，，其函數(shù)數(shù)值等于于零．(2)函數(shù)的零零點(diǎn)也就就是函數(shù)數(shù)y＝f(x)的圖像與與x軸的交點(diǎn)點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)．(3)一般我我們只只討論論函數(shù)數(shù)的實(shí)實(shí)數(shù)零零點(diǎn)．．(4)函數(shù)的的零點(diǎn)點(diǎn)不是是點(diǎn)，，是方方程f(x)＝0的根．．2．對(duì)函函數(shù)零零點(diǎn)存存在的的判斷斷中，，必須須強(qiáng)調(diào)調(diào)：(1)f(x)在[a，b]上連續(xù)續(xù)；(2)f(a)·f(b)＜0；(3)在(a，b)內(nèi)存在在零點(diǎn)點(diǎn)．事實(shí)上上，這這是零零點(diǎn)存存在的的一個(gè)個(gè)充分分條件件，但但不必必要．．考情分析考向瞭望?把脈高考函數(shù)與與方程程是每每年必必考的的知識(shí)識(shí)點(diǎn)之之一，，函數(shù)數(shù)與方方程思思想是是中學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)最重重要的的思想想方法法之一一．本本節(jié)考考查重重點(diǎn)是是函數(shù)數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)的存存在性性以及及利用用零點(diǎn)點(diǎn)(方程實(shí)實(shí)根)的存在在情況況求相相關(guān)參參數(shù)等等．題題型既既有選選擇題題、填填空題題，又又有解解答題題，主主要考考查相相關(guān)函函數(shù)的的圖像像和性性質(zhì)．．預(yù)測(cè)2012年高考考仍將將以函函數(shù)的的零點(diǎn)點(diǎn)為主主要考考點(diǎn)，，重點(diǎn)點(diǎn)考查查分析析問(wèn)題題解決決問(wèn)題題的能能力．．真題透析例(2010年高考考浙江江卷)設(shè)函數(shù)數(shù)f(x)＝4sin(2x＋(1)－x，則在在下列列區(qū)間間中函函數(shù)f(x)不存在在零點(diǎn)點(diǎn)的是是()A．C．[0,2] D．[2,4]【思路點(diǎn)撥】函數(shù)在某個(gè)個(gè)區(qū)間上不不存在零點(diǎn)點(diǎn)，不好直直接判斷，，但可以根根據(jù)三角函函數(shù)值的情情況，結(jié)合合函數(shù)的零零點(diǎn)定理進(jìn)進(jìn)行分析，，判斷函數(shù)數(shù)在哪些區(qū)區(qū)間上存在在零點(diǎn)，然然后再結(jié)合合排除法找找到答案．．【答案】A【名師點(diǎn)評(píng)】(1)函數(shù)的零點(diǎn)點(diǎn)定理只能能判斷函數(shù)數(shù)在某個(gè)區(qū)區(qū)間上的變變號(hào)零點(diǎn)，，而不能判判斷函數(shù)的的不變號(hào)零零點(diǎn)，而且且連續(xù)函數(shù)數(shù)在一個(gè)區(qū)區(qū)間端點(diǎn)處處的函數(shù)值值異號(hào)是這這個(gè)函數(shù)在在這個(gè)區(qū)間間上存在零零點(diǎn)的充分分條件，而而不是必要要條件，即即函數(shù)在一一個(gè)區(qū)間端端點(diǎn)處的函函數(shù)值同號(hào)號(hào)時(shí)，函數(shù)數(shù)在這個(gè)區(qū)區(qū)間上也可可能存在零零點(diǎn)，所以以在判斷一一個(gè)函數(shù)在在某個(gè)區(qū)間間上不存在在零點(diǎn)時(shí)，，不能完全全依賴(lài)函數(shù)數(shù)的零點(diǎn)定定理，要