第四節(jié)數(shù)列求和第四節(jié)數(shù)列求和考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．公式法求和(1)直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和．(2)掌握一些常見數(shù)列前n項(xiàng)和1＋2＋3＋…＋n＝__________.1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_______n2.2．錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是____________和___________3．倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和，它是__________求和公式的推廣．等差數(shù)列等比數(shù)列．等差數(shù)列4．分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并．5．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng)；常見的拆項(xiàng)公式有：裂項(xiàng)相消時(shí)的注意事項(xiàng)有哪些？思考感悟課前熱身2．(2011年鎮(zhèn)江調(diào)研)設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，則f(n)等于________．答案：64．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(－1)n－1(4n－3)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S100等于________．答案：－200考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破倒序相加法求和考點(diǎn)一這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1＋an)，其最簡單的形式為：若數(shù)列{an}中有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…，就可以用此方法求和．例1【名師點(diǎn)評(píng)】當(dāng)數(shù)列具有“首尾配對(duì)”，“中心對(duì)稱”特征時(shí)，常用用倒序相加法法．錯(cuò)位相減法求和考點(diǎn)二用乘公比錯(cuò)位位相減法求和和時(shí)，應(yīng)注意意(1)要善于識(shí)別題題目類型，特特別是等比數(shù)數(shù)列公比為負(fù)負(fù)數(shù)的情形；；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)應(yīng)特別注意將將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．利用錯(cuò)位相減減法求和時(shí)，，轉(zhuǎn)化為等比比數(shù)列求和．．若公比是個(gè)個(gè)參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對(duì)參參數(shù)加以討論論，一般情況況下分等于1和不等于1兩種情況分別別求和．(2010年高考課標(biāo)全全國卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【思路分析】(1)由an＋1－an＝3·22n－1的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可可知用迭代法法或累加法求求an；(2)觀察bn的通項(xiàng)式特點(diǎn)點(diǎn)，用錯(cuò)位相相減法求Sn.例2【名師點(diǎn)評(píng)】錯(cuò)位相減法的的運(yùn)用并不困困難，其難點(diǎn)點(diǎn)是運(yùn)算的結(jié)結(jié)果不易計(jì)算算正確，最后后的結(jié)果，往往往顯得繁瑣瑣，因而整理理化簡過程中中要格外細(xì)心心．分組求和法考點(diǎn)三1．?dāng)?shù)列列求和和應(yīng)從從通項(xiàng)項(xiàng)入手手，若若無通通項(xiàng)，，則先先求通通項(xiàng)，，然后后通過過對(duì)通通項(xiàng)變變形，，轉(zhuǎn)化化為等等差或或等比比或可可求數(shù)數(shù)列前前n項(xiàng)和的的數(shù)列列來求求之．．2．常見見類型型及方方法(1)an＝kn＋b，利用用等差差數(shù)列列前n項(xiàng)和公公式直直接求求解；；(2)an＝a·qn－1，利用用等比比數(shù)列列前n項(xiàng)和公公式直直接求求解；；(3)an＝bn±cn，數(shù)列列{bn}，{cn}是等比比數(shù)列列或等等差數(shù)數(shù)列，，采用用分組組求和和法求求{an}的前n項(xiàng)和．．例3【思路分分析】(1)用a1，q代入兩兩已知知條件件，可可求出出a1，q；(2)化簡bn的式子子，分分組求求和．．【名師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】分組求求和法法要注注意數(shù)數(shù)列的的特征征或求求和式式子的的特征征，分分成哪哪樣的的幾種種數(shù)列列求和和，怎怎樣分分組都都是在在解題題過程程中應(yīng)應(yīng)特別別要注注意的的．拆項(xiàng)、裂項(xiàng)求和法考點(diǎn)四1．利用用裂項(xiàng)項(xiàng)相消消法求求和時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)注意意抵消消后并并不一一定只只剩下下第一一項(xiàng)和和最后后一項(xiàng)項(xiàng)，也也有可可能前前面剩剩兩項(xiàng)項(xiàng)，后后面也也剩兩兩項(xiàng)，，再就就是將將通項(xiàng)項(xiàng)公式式裂項(xiàng)項(xiàng)后，，有時(shí)時(shí)候需需要調(diào)調(diào)整前前面的的系數(shù)數(shù)，使使裂開開的兩兩項(xiàng)之之差和和系數(shù)數(shù)之積積與原原通項(xiàng)項(xiàng)公式式相等等．例4【思路分分析】(1)由基本本量的的運(yùn)算算求出出an及Sn；(2)bn的式子子為分分式結(jié)結(jié)構(gòu)，，考慮慮裂項(xiàng)項(xiàng)相消消法求求和．．使用裂裂項(xiàng)法法，要要注意意正負(fù)負(fù)項(xiàng)相相消時(shí)時(shí)，消消去了了哪些些項(xiàng)，，保留留了哪哪些項(xiàng)項(xiàng)；你你是否否注意意到由由于數(shù)數(shù)列{an}中每一一項(xiàng)an均裂成成一正正一負(fù)負(fù)兩項(xiàng)項(xiàng)，所所以互互為相相反數(shù)數(shù)的項(xiàng)項(xiàng)合并并為零零后，，所剩剩正數(shù)數(shù)項(xiàng)與與負(fù)數(shù)數(shù)項(xiàng)的的項(xiàng)數(shù)數(shù)必是是一樣樣多的的，切切不可可漏寫寫未被被消去去的項(xiàng)項(xiàng)，未未被消消去的的項(xiàng)有有前后后對(duì)稱稱的特特點(diǎn)．．實(shí)質(zhì)質(zhì)上，，正負(fù)負(fù)項(xiàng)相相消是是此法法的目目的．．方法感悟方法技技巧1．求和和問題題可以以利用用等差差、等等比數(shù)數(shù)列的的前n項(xiàng)和公公式解解決，，在具具體問問題中中，既既要善善于從從數(shù)列列的通通項(xiàng)入入手觀觀察數(shù)數(shù)列的的特點(diǎn)點(diǎn)與變變化規(guī)規(guī)律，，又要要注意意項(xiàng)數(shù)數(shù)．2．非等等差(比)的特殊殊數(shù)列列求和和題通通常的的解題題思路路是：：(1)設(shè)法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為等差差數(shù)列列或等等比數(shù)數(shù)列，，這一一思想想方法法往往往通過過通項(xiàng)項(xiàng)分解解或錯(cuò)錯(cuò)位相相消來來完成成．(2)不能轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為等差差(比)的特殊殊數(shù)列列，往往往通通過裂裂項(xiàng)相相消、、錯(cuò)位位相減減和倒倒序相相加法法求和和．一一般如如果數(shù)數(shù)列能能轉(zhuǎn)化化為等等差數(shù)數(shù)列或或等比比數(shù)列列就用用公式式法；；如果果數(shù)列列項(xiàng)的的次數(shù)數(shù)及系系數(shù)有有規(guī)律律，一一般可可用錯(cuò)錯(cuò)位相相減法法；如如果每每項(xiàng)可可寫成成兩項(xiàng)項(xiàng)之差差，一一般可可用拆拆項(xiàng)法法；如如果能能求出出通項(xiàng)項(xiàng)，可可用拆拆項(xiàng)分分組法法．3．?dāng)?shù)列列求和和的關(guān)關(guān)鍵在在于數(shù)數(shù)列通通項(xiàng)公公式的的表達(dá)達(dá)形式式，根根據(jù)通通項(xiàng)公公式的的形式式特點(diǎn)點(diǎn)，觀觀察采采用哪哪種方方法是是這類類題的的解題題決竅竅．4．通項(xiàng)項(xiàng)公式式中含含有(－1)n的一類類數(shù)列列，在在求Sn時(shí)要注注意需需分項(xiàng)項(xiàng)數(shù)n的奇偶偶性討討論．．失誤防防范1．利用用裂項(xiàng)項(xiàng)相減減法求求和，，裂項(xiàng)項(xiàng)能否否等價(jià)價(jià)轉(zhuǎn)化化及怎怎樣相相消易易出錯(cuò)錯(cuò)，為為避免免出錯(cuò)錯(cuò)，在在裂項(xiàng)項(xiàng)時(shí)，，可檢檢驗(yàn)一一下；；前n項(xiàng)和的展展開式可可以多列列舉幾項(xiàng)項(xiàng)尋找“相消”的規(guī)律．．2．?dāng)?shù)列求求和結(jié)果果易化簡簡出錯(cuò)，，若使用用方法不不只一個(gè)個(gè)，可以以分別求求出其中中一部分分的結(jié)果果，化簡簡后再整整理，結(jié)結(jié)果不一一定最簡簡，但要要易于觀觀察，符符合數(shù)學(xué)學(xué)的習(xí)慣慣即可．．考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年年江蘇高高考試題題來看，，數(shù)列求求和常常常會(huì)涉及及，不論論是考查查等差、、等比數(shù)數(shù)列直接接求和，，還是錯(cuò)錯(cuò)位相減減法、裂裂項(xiàng)相消消法等，，都是考考查的熱熱點(diǎn)，題題型以解解答題為為主，又又往往與與其他知知識(shí)相結(jié)結(jié)合，考考查綜合合運(yùn)用知知識(shí)的能能力．江江蘇省的的數(shù)列題題往往設(shè)設(shè)計(jì)新穎穎獨(dú)特，，突出考考查學(xué)生生分析問問題的能能力，題題目有一一定的難難度．預(yù)測在2012年的江蘇蘇高考中中，數(shù)列列求和會(huì)會(huì)以解答答題的形形式出現(xiàn)現(xiàn)，結(jié)合合不等式式的有關(guān)關(guān)知識(shí)，，成為較較為綜合合的問題題．規(guī)范解答例【名師點(diǎn)評(píng)評(píng)】本題主要要考查結(jié)結(jié)論an＝Sn－Sn－1，錯(cuò)位相相減法求求和及運(yùn)運(yùn)算能力力，對(duì)復(fù)復(fù)雜的關(guān)關(guān)系要