§5.4數(shù)列求和

§5.4數(shù)列求和考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考雙基研習(xí)?面對高考雙基研習(xí)?面對高考基礎(chǔ)梳理1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝_________＝___________.(3)12＋22＋…＋n2＝______________；13＋23＋…＋n3＝2__________

.2．錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．3．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．5．倒序相加法把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣)．思考感悟你認(rèn)為非等差、非等比數(shù)列求和的思路是什么？提示：非等差、非等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思路：①是轉(zhuǎn)化思想，即將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或分組等方法來轉(zhuǎn)化完成，像乘公比錯(cuò)位相減法最終就是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；②對于不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法，倒序相加法，分組求和或并項(xiàng)求和等方法來求和．課前熱身答案：A答案：C答案：D4．(教材習(xí)習(xí)題改改編)已知等等比數(shù)數(shù)列{an}中，an＝2×3n－1，則由由此數(shù)數(shù)列的的奇數(shù)數(shù)項(xiàng)所所組成成的新新數(shù)列列的前前n項(xiàng)和為為________．答案：：5．已知知數(shù)列列{an}的前n項(xiàng)和為為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝________.答案：：(n－1)··2n＋1＋2考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法與公式法求和分組轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化法法就是是把一一個(gè)數(shù)數(shù)列的的通項(xiàng)項(xiàng)拆成成若干干個(gè)數(shù)數(shù)列的的通項(xiàng)項(xiàng)的和和，分分別求求出每每個(gè)數(shù)數(shù)列的的和，，從而而求出出原數(shù)數(shù)列的的和．．例1【思路點(diǎn)撥】分組分別求求和，然后后相加【名師點(diǎn)評】非等差、非非等比數(shù)列列求和的最最關(guān)鍵步驟驟是“轉(zhuǎn)化”，即根據(jù)通通項(xiàng)公式的的特點(diǎn)，利利用拆項(xiàng)分分組的方法法，拆分為為等差或等等比數(shù)列的的和或差，，再進(jìn)行求求和運(yùn)算．．考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和一般地，如如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列列，{bn}是等比數(shù)列列，求數(shù)列列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可可采用錯(cuò)位位相減法．．例2知數(shù)列{an}滿足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1，公比為a的等比數(shù)列列．(1)求an；(2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【名師點(diǎn)評】利用錯(cuò)位相相減法求和和時(shí)，轉(zhuǎn)化化為等比數(shù)數(shù)列求和．．若公比是是參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對對參數(shù)加以以討論，一一般情況下下分等于1和不等于1兩種情況分分別進(jìn)行求求和．考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消是是將數(shù)列的的項(xiàng)分裂為為兩項(xiàng)之差差，通過求求和相互抵抵消，從而而達(dá)到求和和的目的．．例3【思路點(diǎn)撥】把S＝an(Sn－)化為只含有有Sn的式子，可可求出Sn；把Sn代入bn用裂項(xiàng)法可可求出Tn.【方法總結(jié)】利用裂項(xiàng)相相消法求和和時(shí)，應(yīng)注注意抵消后后并不一定定只剩下第第一項(xiàng)和最最后一項(xiàng)，，也有可能能前面剩兩兩項(xiàng)，后面面也剩兩項(xiàng)項(xiàng)，再就是是將通項(xiàng)公公式裂項(xiàng)后后，有時(shí)候候需要調(diào)整整前面的系系數(shù)，使裂裂開的兩項(xiàng)項(xiàng)之差與系系數(shù)之積與與原通項(xiàng)公公式相等．．考點(diǎn)四數(shù)列求和的綜合應(yīng)用有關(guān)數(shù)列列的通項(xiàng)項(xiàng)、求和和及綜合合問題在在近幾年年高考中中考查力力度非常常大，常常以解答答題形式式出現(xiàn)，，同時(shí)數(shù)數(shù)列與三三角函數(shù)數(shù)、解析析幾何以以及不等等式證明明問題相相結(jié)合更更是高考考考查的的重點(diǎn)．．例4【名師點(diǎn)評評】數(shù)列求和和與函數(shù)數(shù)、三角角、不等等式等知知識相結(jié)結(jié)合命題題是近幾幾年高考考考查的的熱點(diǎn)，，也是考考查的重重點(diǎn)，與與三角相相結(jié)合要要明確三三角函數(shù)數(shù)自身的的性質(zhì)，，如周期期性，單單調(diào)性等等，尤其其周期性性是題目目中的隱隱含條件件，要善善于挖掘掘，這也也是解決決三角與與數(shù)列綜綜合問題題的關(guān)鍵鍵．方法感悟悟方法技巧巧1．求數(shù)列列通項(xiàng)的的方法技技巧：(1)通過對數(shù)數(shù)列前若若干項(xiàng)的的觀察、、分析，，找出項(xiàng)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)數(shù)之間的的統(tǒng)一對對應(yīng)關(guān)系系，猜想想通項(xiàng)公公式；(2)理解數(shù)列列的項(xiàng)與與前n項(xiàng)和之間間滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)的關(guān)系，，并能靈靈活運(yùn)用用它解決決有關(guān)數(shù)數(shù)列問題題．3．?dāng)?shù)列求求和的方方法技巧巧(1)倒序相加加：用于于等差數(shù)數(shù)列與二二項(xiàng)式系系數(shù)相關(guān)關(guān)聯(lián)的數(shù)數(shù)列的求求和．(2)錯(cuò)位相減減：用于于等差數(shù)數(shù)列與等等比數(shù)列列的積數(shù)數(shù)列的求求和．(如例2)(3)分組求和和：用于于若干個(gè)個(gè)等差或或等比數(shù)數(shù)列的和和數(shù)列的的求和．．(如例1)失誤防范范1．直接用用公式求求和時(shí)，，注意公公式的應(yīng)應(yīng)用范圍圍和公式式的推導(dǎo)導(dǎo)過程．．2．重點(diǎn)通通過數(shù)列列通項(xiàng)公公式觀察察數(shù)列特特點(diǎn)和規(guī)規(guī)律，在在分析數(shù)數(shù)列通項(xiàng)項(xiàng)的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，判判斷求和和類型，，尋找求求和的方方法，或或拆為基基本數(shù)列列求和，，或轉(zhuǎn)化化為基本本數(shù)列求求和．求求和過程程中同時(shí)時(shí)要對項(xiàng)項(xiàng)數(shù)作出出準(zhǔn)確判判斷．3．含有字字母的數(shù)數(shù)列求和和，常伴伴隨著分分類討論論考情分析考向瞭望?把脈高考數(shù)列求和和的眾多多方法中中，錯(cuò)位位相減法法求和是是高考的的熱點(diǎn)，，題型以以解答題題為主，，往往與與其他知知識結(jié)合合考查，，在考查查基本運(yùn)運(yùn)算、基基本概念念的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，又又注重考考查學(xué)生生分析問問題、解解決問題題的能力力，考查查較為全全面．預(yù)測2012年高考，，錯(cuò)位相相減法仍仍是高考考的重點(diǎn)點(diǎn)，同時(shí)時(shí)應(yīng)重視視裂項(xiàng)相相消法求求和．規(guī)范解答答例(本題滿分12分)(2010年高考課標(biāo)全全國卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)由已知得，當(dāng)當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22n＋1.…….3分而a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為為an＝22n－1.…4分(2)由bn＝nan＝n·22n－1，……6分知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①……7分從而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②…8分①－②得，(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.……10分【名師點(diǎn)評】(1)本題易失誤的的是：①對an的常見形式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1等不熟或不知知，致使第一一步不知從何何下手；②第